2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高二下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市第五高级中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知等比数列中，，，则(    )A．27 B．36 C．54 D．81【答案】D【分析】根据等比数列的定义求其公比即可求其第5项．【详解】公比，∴．故选：D．2．已知向量，，且，那么等于（    ）A． B． C． D．5【答案】C【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可.【详解】因为，，且，所以，即，所以，所以，故选：C．3．如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意可得 .故选：D     4．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选A．【解析】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．5．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】先求出抽到的两名医生性别相同的事件的概率，再求抽到的两名医生都是女医生事件的概率，然后代入条件概率公式即可【详解】解：由已知得,，则，故选：A【点睛】此题考查条件概率问题，属于基础题6．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（    ）A．21 B．22 C．23 D．24【答案】B【分析】由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质可求得结果.【详解】由题意可知，第n行的数就是二项式的展开式中各项的二项式系数.因为只有第12项的二项式系数最大，所以n为偶数，故，解得，故选：B7．将4名北京冬奥会志愿者分配到短道速滑、冰球和冰壶3个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）A．36种 B．72种 C．108种 D．144种【答案】A【分析】先将4名志愿者分成3组，然后再分配3个项目.【详解】解：先从4名志愿者中选出两名作为一组，其余每人个为一组，共种方法，然后将3组志愿者分配到3个不同项目，共种，所以总的分配方案为种.故选：A.8．已知函数，，若有两个零点，则k的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，即与有两个交点．【详解】令，则与有两个交点，则设直线与相切时，切点坐标为，则斜率则切线方程为∵切线过原点，代入得，解得∴，因为与有两个交点，所以故选：D． 二、多选题9．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则（    ）A．该校学生成绩的期望为B．该校学生成绩的标准差为C．该校学生成绩的标准差为D．该校学生成绩及格率超过【答案】ABD【分析】利用正态分布的性质以及“原则”进行计算即可.【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布，则，方差为，标准差为，，.所以，该校学生成绩的期望为，该校学生成绩的标准差为，该校学生成绩及格率超过.所以，ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD.10．一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（    ）A．若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布B．若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布C．若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为D．若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为【答案】ABD【分析】直接利用二项分布和超几何分布的应用，排列数和组合数的应用直接判断.【详解】对A，取出白球和取出黑球的概率分别为和，符合二项分布，故A正确；对B，一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数的分布列，符合超几何分布，故B正确；对C，一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为，故C错误；对D，取出的白球为3和4，故，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确理解二项分布和超几何分布的概念.11．圆和圆的交点为A，B，则有（    ）A．公共弦AB所在直线的方程为B．公共弦AB所在直线的方程为C．公共弦AB的长为D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为【答案】AD【分析】对于AB，两圆方程相减消去二次项可求得公共弦AB所在直线的方程，对于C，求出圆心到公共弦的距离，然后利用弦心距，弦和半径的关系可求出公共弦的长，对于D，点P到直线AB距离的最大值为【详解】由与作差可得，即公共弦AB所在直线的方程为，故A正确，B错误；对于C，圆心到直线的距离为，圆的半径，所以，故C错误；对于D，点P为圆上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为，故D正确.故选：AD.12．如图，在棱长为的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一个动点，则（    ）A．三棱锥的体积为定值B．线段上存在点，使平面C．线段上存在点，使平面平面D．设直线与平面所成角为，则的最大值为【答案】ABD【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解【详解】易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．对于B, 如图所示, 以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系, 则，, ，，，所以 ，，，设（），则所以，平面即解之得当为线段上靠近的四等分点时，平面.故B正确对于C，设平面的法向量则，取得 设平面 的法向量 ,则取 , 得 ,平面平面设 , 即 ,解得 ，，不合题意 线段上不存在点, 使平面//平面，故C错误．对于D，平面的法向量为则因为所以所以的最大值为．故D正确．故选：ABD 三、填空题13．已知直线与直线平行，则实数【答案】1或-1【解析】直接利用两直线平行斜率相等列方程求解即可.【详解】时，不合题意；时，由直线与直线平行可得直线斜率相等，即，故答案为：1或-1.14．_________．【答案】0 【分析】根据排列数的定义计算．【详解】.故答案为：0.15．甲和乙两个箱子中各装有个球，其中甲箱中有个白球､个红球，乙箱中有个红球､个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为或，从甲箱子随机摸出个球；如果点数为，从乙箱子中随机摸出个球.则摸到红球的概率为___________.【答案】/0.7【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为，再从甲箱中摸到红球的概率为，故从甲箱中摸到红球的概率为；从乙箱中摸红球：掷到点数为1，2，3，4的概率为，再从乙箱中摸到红球的概率为，故从乙箱中摸到红球的概率为；综上所述：摸到红球的概率为.故答案为：16．已知正项数列前项和满足，且，则__________.【答案】【分析】利用得出数列是等差数列，且公差为1，然后求得，再代入可得．【详解】，，，，，，∴，即，所以是等差数列，公差为1，，，，即，．故答案为：． 四、解答题17．在①只有第项的二项式系数最大，②第项与第项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.已知，若的展开式中，______.（1）求的值及展开式中所有项的系数和；（2）求展开式中含的项.【答案】（1）若选①，，若选②，，若选③，，系数和为1；（2）.【分析】（1）若选①，则，即可求得n值，若选②，则，即可求得n值，若选③，则，即可求得n值，令代回原式，即可得系数和.（2）先求得展开式的通项公式，令，即可得答案.【详解】（1）若选①，则，解得；若选②，则，解得；若选③，则，解得，令，可得系数和为.（2）由（1）可得展开式的通项公式为：，令，可得含的项为.18．已知公差不为0的等差数列中，，，成等比数列，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据等差数列与等比数列的性质联立方程组，计算即可.(2)利用裂项相消法计算即可.【详解】（1）设等差数列的公差为，∵，，成等比数列，∴，又．联立可得，解得，∴．（2），∴数列的前n项和．19．某商场举办店庆活动，消费者凭借购物发票进行现场抽奖．抽奖盒中装有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同抽奖规则为：抽奖者一次从中摸出2个小球，若摸到2个红球就中奖，否则均为不中奖．小球用后放回盒子，下一位抽奖者继续抽奖．（1）求每一位抽奖者中奖的概率；（2）现有甲，乙、丙三人依次抽奖，用表示中奖的人数，求的分布列及均值．【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）根据古典概型公式计算即可；（2）由题知，，再根据二项分布概率公式计算即可得答案.【详解】解：（1）根据题意，结合古典概型公式，每一位抽奖者中奖的概率（2）由题可知，随机变量的可能取值为，，，，，所以的分布列为： 所以.20．如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.（1）证明：；（2）若，，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由平面平面可得面，从而可得；（2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果.【详解】（1）依题意，面面，，∵面，面面，∴面.又面，∴.（2）解法一：向量法在中，取中点，∵，∴，∴面，以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，∵，∴，∴，，，，，∴，，.设面法向量为，则，解得.设直线与平面所成角为，则，因为，∴.所以直线与平面所成角的余弦值为.（2）解法二：几何法过作交于点，则为中点，过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，过作交于点，连结，连结，取中点，连结，，四边形为矩形，所以面，所以，又，所以面，所以为线与面所成的角.令，则，，，由同一个三角形面积相等可得，为直角三角形，由勾股定理可得，所以，又因为为锐角，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．(1)求双曲线的方程；(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设,通过,求解,通过在圆上,求解,得到双曲线的标准方程.（2）当动直线的斜率不存在时,求解三角形的面积;当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,联立直线与双曲线方程,求出,然后求解的坐标,求解,结合原点到直线的距离,求解的面积是为定值即可.【详解】（1）不妨设 , 因为,从而 故由 , 又因为, 所以 ,又因为 在圆 上, 所以 所以双曲线的标准方程为：（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,当动直线的斜率不存在时, ,，,当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 , 故由 依题意，且, 化简得 ,故由 , 同理可求,,所以又因为原点到直线的距离,所以,又由所以,故的面积是为定值,定值为22．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，记函数在上的最大值为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导数判断出在上单调递增，在上单调递减，得到.令，，求出，即可证明.【详解】（1）由题意可得，所以.又知，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由题意，则.当时，.令，则，所以在上单调递增.因为，，所以存在，使得，即，即，故当时，，又，故此时；当时，，又，故此时.即在上单调递增，在上单调递减，则.令，，则，所以在上单调递增，则，所以.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)利用导数证明不等式．