2022-2023学年江苏省南京外国语学校高二下学期期中数学试题（A卷）含解析

2022-2023学年江苏省南京外国语学校高二下学期期中数学试题（A卷）

一、单选题

1．正方体中，为与的交点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量的运算及基底表示进行求解.

【详解】因为在正方体中，为与的交点，

所以为的中点；

，

由正方体的性质可知,

所以.

故选：A.

2．某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性

B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性

C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值

D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值

【答案】A

【分析】根据正态分布密度曲线的对称轴为，图像越瘦高数据越稳定可得.

【详解】由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.

故选：A

3．医院每周周一至周五这5天要安排3名医生值夜班，每天只安排一名医生，每周每名医生至少值一天班，同一名医生不能连续3天值班，那么不同的安排方案的种数为（    ）

A．90 B．132 C．150 D．222

【答案】B

【分析】将3名医生的值班天数分为，求出所有的安排方案，再减去同一名医生连续3天值班的安排方案，即可得出答案.

【详解】第一种情况是某名医生安排3天值班，其余2名医生均安排1天值班，则共种；

第二种情况是某名医生安排1天值班，其余2名医生均安排2天值班，种；

综上不同的安排方案共有种，

同一名医生连续3天值班的情况有种，

所以同一名医生不能连续3天值班安排方案的种数为：.

故选：B.

4．口袋中有6个球（除颜色外其他属性都相同），其中3个黑球，2个红球，1个白球，表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．无法判断

【答案】A

【分析】分别求得与的值，进而得到二者间的关系.

【详解】表示有放回的摸球3次，每次摸一个，取出红球的数目，

的可能取值为0，1，2 ，则，则；

表示不放回的摸球3次，每次摸一个，取出黑球的数目，

的可能取值为0，1，2 ，3，满足超几何分布，

则，则

故选：A

5．一次射击比赛中，若连续2次未击中目标，那么中止射击，甲击中目标的概率是，假设甲各次射击是否击中目标相互之间没有影响，甲恰好射击5次后被中止的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析甲恰好射击5次后被中止的情况，然后利用独立事件概率的计算公式求解.

【详解】甲击中目标的概率是，所以甲没有击中目标的概率是，

甲恰好射击5次后被中止的情况是第一、二次至少击中其中一次，

第三次击中，第四、五次没有击中，且相互之间是独立的，

所以甲恰好射击5次后被中止的概率为.

故选：A

6．由数字组成的各位上没有重复数字的五位数中，从小到大排列第88个数为（    ）

A．42031 B．42103 C．42130 D．42301

【答案】C

【分析】利用排列数公式分类求得由数字组成的各位上没有重复数字的五位数的各种情况，进而得到从小到大排列第88个数为.

【详解】由数字组成的各位上没有重复数字的五位数中，

1在万位的有（个）；2在万位的有（个）；

3在万位的有（个）；4在万位的有（个）；

则从小到大排列第88个数为4在万位的五位数.

4在万位0在千位的有（个）；4在万位1在千位的有（个）；

4在万位2在千位的有（个），

则从小到大排列第88个数为4在万位2在千位的五位数.

4在万位2在千位的五位数从小到大排列依次为：

则从小到大排列第88个数为

故选：C

7．10张奖券中只有2张中奖，从中任取张，至少有一张中奖的概率大于0.5，则的最小值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据题意可得可得，解之即可得出答案.

【详解】当或时，至少有一张中奖的概率为，

当时，

至少有一张中奖的概率为，

由题意可得，即，

即，整理得，

解得，所以，

又，所以，

所以，

所以至少有一张中奖的概率大于0.5，则的最小值为.

故选：C.

8．在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面为的中点，点在平面内，且平面，则点到面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，可设，再求出，根据平面，可求出点的坐标，即可得解.

【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，

则，

，

由点在平面内，则可设，

所以，故，

因为平面，

所以，解得，

所以，

又因平面与面重合，

所以点到面的距离为.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若随机变量，其中，则

B．若事件与互斥，且，则

C．若事件发生，则事件一定发生，且则

D．甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为

【答案】BD

【分析】由正态分布的对称性可判断A；由互斥事件的定义和条件概率的公式可判断B；由事件的包含关系和条件概率的公式可判断C；根据全概率公式可判断D.

【详解】对于A，若随机变量，其中，

则或，故A不正确；

对于B，若事件与互斥，则，

，

所以，因为，

，故B正确；

对于C，若事件发生，则事件一定发生，则，

，，故C不正确；

对于D，设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，

设事件表示从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，

则有,

所以，故D正确.

故选：BD.

10．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和相等均为64，则下列结论正确的是（    ）

A． B．二项式系数最大的项为第3项

C．有理项有3项 D．系数最小项为第2项

【答案】AD

【分析】先根据各项系数和与二项式系数和均为64求出，利用通项公式结合选项可得答案.

【详解】因为各项系数和与二项式系数和相等均为64，所以且；

解得，或（舍），所以A正确；

因为，所以二项式系数中最大，即二项式系数最大的项为第4项，所以B不正确；

通项公式为，其中；

当时为有理项，所以C不正确；

由通项公式可知时，系数才可能最小，

，

，

，

比较发现系数最小项为第2项，所以D正确.

故选：AD.

11．如图，在正方体中，是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．三棱锥的体积为定值

C．随着的增大，直线与面所成角增大

D．二面角的平面角余弦值的最小值为

【答案】ABC

【分析】对于A项，通过线面垂直的性质即可判定；

对于B项，通过等体积法转化即可判定；

对于C、D项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角与面面角即可.

【详解】对于A项，在正方体中易得AD1∥BC1，B1C⊥BC1，DC⊥BC1，如图所示，

所以有AD1⊥B1C ，AD1⊥DC，且面DB1C，面DB1C,

∴AD1⊥面DB1C，而面DB1C，故AD1⊥B1E，即A正确；

对于B项，易知，

显然三棱锥的顶点E到底面的距离不变，始终为正方体的棱长，且底面积不变，

故体积不变，B正确；

如图建立以D为原点的空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为1，

则

对于C项， 设面的法向量，则，即，

不妨令，则，所以

设直线与面所成角为，故

，

由对勾函数及复合函数的单调性可得在上单调递增，故C正确；

对于D项，由上知面的一个法向量，

设平面的法向量，

则，即，

不妨令，则，所以，

设二面角为，

则，

令，

故在定义域上单调递减，则，

由图象可知，故D错误.

故选：ABC

12．4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量为空盒的个数，下列说法正确的是（    ）

A．随机变量的取值为 B．

C． D．

【答案】BD

【分析】写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求出期望，即可得出答案.

【详解】4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，

则随机变量可取，故A错误；

则，，

，，

故B正确，C错误；

，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取100件产品，则次品数的数学期望为__________.

【答案】/

【分析】记事件：选取的产品为次品，记事件：此件次品来自甲生产线，记事件：此件次品来自乙生产线，记事件：此件次品来自丙生产线，由题意可得，，，再利用全概率公式求出，结合二项分布的期望公式求解即可.

【详解】记事件：选取的产品为次品，

记事件：此件次品来自甲生产线，

记事件：此件次品来自乙生产线，

记事件：此件次品来自丙生产线，

由题意可得，，，

由全概率的公式可得，

从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为，

则任意选取100件产品，设次品数为,则,即.

故答案为：.

14．展开式中的系数为__________.

【答案】

【分析】表示个因式的乘积，分类讨论即可得出答案.

【详解】表示个因式的乘积，

的项可以是：从个因式中选个提供，个提供，个提供，

此时的系数为，

的项也可以是：从个因式中选个提供，个提供，个提供，

此时的系数为，

所以展开式中的系数为.

故答案为：.

15．若三棱锥的棱长都为为的中点，为棱上一点，且，则的长为__________.

【答案】

【分析】利用空间向量的数量积求模长即可.

【详解】如图所示，由已知可得三棱锥为正四面体，故，

所以，

故.

故答案为：

【点睛】16．公共汽车门的高度是按照确保以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的.如果某地成年男子的身高（单位：），则车门应设计至少高__________（结果精确到）.参考数据：若，则.

【答案】

【分析】设车门设计的高度为，由题意结合题中所给数据可得，从而可得出答案.

【详解】设车门设计的高度为，

由题意需使，

因为，，

所以，解得，

所以车门应设计至少高.

故答案为：.

四、解答题

17．在的展开式中，含项的系数是.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】(1)2

(2)0

【分析】（1）利用的展开式与的展开式即可求得的值；

（2）利用赋值法分别求得，的值，进而求得的值.

【详解】（1）由，

可得在的展开式中含的项是由

的展开式中含项与的展开式中含项合并得到的，

则

（2）由（1）得，，

令，则

令，则

则，

则.

18．新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门.

(1)若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；

(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布.

①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人；

②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度.

附：，，.

【答案】(1)

(2)①人；②不可信.

【分析】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语，若另一门相同的选择物理、历史中的一门或若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，根据排列组合分别计算即可；

（2）①由正态分布的对称性计算180分到360分的概率，即可求出4000名学生中成绩介于180分到360分之间的人数；

②利用正态分布可得，即可根据统计学中的原则进行判断.

【详解】（1）甲乙两个学生必选语文、数学、外语，

若另一门相同的选择物理、历史中的一门，有种，在生物学、化学、思想政治、地理4门中甲乙选择不同的2门，则，即种；

若另一门相同的选择生物学、化学、思想政治、地理4门中的一门，则有种，

所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共种方法.

（2）①设此次网络测试的成绩记为X，则，

由题知，，，，

则，

所以，

所以估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有人；

②不可信.

，

则，

4000名学生中成绩大于420分的约有人，

这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，

所以说“某校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，

说法错误，此宣传语不可信.

19．如图，平面，，，四边形是菱形.

(1)证明：平面；

(2)若菱形的边长为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）利用线面垂直判定定理即可证得平面；

（2）先利用题给条件求得直线与平面所成角，进而求得其正弦值.

【详解】（1）设，连接OE，

由平面，，可得

又，则，则

又，则，则.

由平面，，则平面，

则，又，，平面，

则平面，则，

又，,平面，则平面.

（2）由（1）可得平面，设垂足为P，连接BP，

则为直线与平面所成角，，

又，，，

则

20．为了回馈顾客，某商场通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，每位顾客从一只装有4个标有面值的球的袋子中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励金额.

(1)若袋子所装的4个球中有2个所标面值为50元，2个所标面值为10元，求顾客所获得奖励金额的概率分布和数学期望；

(2)现有标有面值10元，20元，40元，50元小球（除所标面值外其他属性都相同）若干.

①若袋中的4个球有且仅有两种面值，且两种面值的和为60，袋中的4个球有多少种装法；

②若商场奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励近可能符合商场的预算且每位顾客所获得的奖励金额相对均衡，请从①的装法中选择一个最合适的，并说明理由.

【答案】(1)见解析，60元

(2)①6；②选择装法为，理由见解析

【分析】（1）根据古典概型求出概率，列出分布列，求出期望即可；

（2）根据期望分析可能方案为，(20,20,40,40)，计算两个方案的期望与方差，即可比较得出结论.

【详解】（1）设顾客所获得奖励金额为，则的可能取值为20，60，100，

，，

所以的分布列为：

（元）.

（2）①两种面值的和为60可以装10元与50元，也可装20元与40元面值的小球，

每类都有3种装法：其中一种面值1,2,3个小球，另一种面值小球对应个数3,2,1个小球，

故由分类加法原理知，袋中小球不同的装法共有种.

②选择装法为，理由如下，

根据商场的预算,每名顾客的平均奖励额为60000÷1000=60(元),故先寻找数学期望为60元的可能方案.

当小球标有的面值为10元和50元时,若选择(10,10,10,50)的方案,60元是面值之和的最大值，数学期望不可能为60；

当选择(50,50,50,10)的方案,60元是面值之和的最小值，数字期望也不可能是60元.

因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.

当小球标有的面值为20元和40元时,同理可排除(20,20,20,40),(40,40,40,20)的方案,

可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2

以下对两个方案进行分析:

对于方案1，即方案(10,10,50,50)，由（1）知元,

.

对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为元，的可能取值为40,60,80.

则 ，，.

所以的分布列为：

所以（元）.

.

∵两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差要比方案1的小，

应该选择方案2，即袋中标有面值20元和40元的球各两个.

21．如图所示，在四棱锥中，，，且.

(1)求证：平面平面；

(2)已知点是线段上的两点，且是线段上一点，若二面角与二面角的平面角相等，求的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可证得平面平面；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法表示二面角与二面角的平面角相等，进而求得的值.

【详解】（1）连接BD，由，

可得，又，则

又由，可得，

又，平面，

则平面，又平面，

则平面平面；

（2）过点D作平面，又

以为D原点，分别以所在直线为x、y、z轴空间直角坐标系，

则，，，，，

令，则，

则，，，，

设是平面的一个法向量，

则，令，则，则

设是平面的一个法向量，

则，令，则，则，

设是平面的一个法向量，

则，

令，则，则，

由二面角与二面角的平面角相等，

可得，即，

又，，则，

则，

解之得，或（舍去）

则的值为

22．一质点从数轴上的原点出发每次只能向前或者向后运动1个单位，且每次运动方向相互独立，质点向前运动的概率为.

(1)设质点运动9次后，所在位置对应的数为的概率为，求的最大值点；

(2)以（1）中确定的值为的值，设运动次后质点所在位置对应的数为随机变量.

①若，求质点最有可能运动到的位置对应的数，并说明理由；

②求的值.

【答案】(1)

(2)① ②

【分析】（1）由题意知质点向前运动3次，向后运动6次，利用独立重复试验的概率公式求出，再由导数求即可；

（2）①设运动2023次中有次向前运动，由二项分布求出，利用不等式组及组合求出最大时的值即可；②根据二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质求解.

【详解】（1）因为质点运动9次后，所在位置对应的数为，

所以质点向前运动3次，向后运动6次，在一次运动中，质点向前运动的概率为，

故，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，有最大值，即.

（2）①设运动2023次中有次向前运动，则，，

，

由，解得，

又，所以，

即时，最大，此时，

即时，质点最有可能运动到的位置对应的数为.

②设运动次中有次向前运动，则，，

由，，

，，

.