2022-2023学年山西省高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年山西省高二下学期期中数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省高二下学期期中数学试题

一、单选题
1．某同学从5本不同的科普杂志，4本不同的文摘杂志中任选1本阅读，则不同的选法共有（    ）
A．20种 B．9种 C．10种 D．16种
【答案】B
【分析】所选的杂志可以分成2类，求出每类杂志任选一本的方法，然后相加，即可求出结论.
【详解】某同学从5本不同的科普杂志任选1本，有5种不同选法，
从4本不同的文摘杂志任选1本，有4种不同的选法，
根据分类加法原理可得，该同学不同的选法有：种.
故选：B.
2．关于线性回归的描述，下列表述错误的是（    ）
A．回归直线一定经过样本中心点
B．相关系数越大，相关性越强
C．决定系数越接近1，拟合效果越好
D．残差图的带状区域越窄，拟合效果越好
【答案】B
【分析】根据相关概念直接判断即可得解.
【详解】根据回归直线方程中知，回归直线一定经过样本中心点，故A正确；
相关系数越大，相关性越强，故B错误；
决定系数越接近1，拟合效果越好，故C正确；
残差图的带状区域越窄，说明拟合效果越好，故D正确.
故选：B
3．从集合任取两个数作为，可以得到不同的焦点在轴上的椭圆方程的个数为（    ）
A．25 B．20 C．10 D．16
【答案】C
【分析】根据椭圆的性质可知，结合列举法即可求解.
【详解】焦点在x轴上的椭圆方程中，必有，
则a可取5，7，9，11共4个可能，b可取3，5，7，9共4个可能，
若，则，1个椭圆；
若，则，2个椭圆；
若，则，3个椭圆；
若，则，4个椭圆，
所以共有1+2+3+4=10个椭圆.
故选：C.
4．某种作物的种子每粒的发芽概率都是0.8，现计划种植该作物1000株，若对首轮种植后没有发芽的每粒种子，需再购买2粒种子用以补种及备用，则购买该作物种子总数的期望值为（    ）
A．1200 B．1400 C．1600 D．1800
【答案】B
【分析】根据二项分布的期望公式求值即可.
【详解】设没有发芽的种子粒数为，则，
所以，
故需要购买粒种子，
故选：B
5．已知随机变量满足为常数），则的方差（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据所给概率公式利用概率之和为1求出a，再求出期望即可计算方差得解.
【详解】，
，解得，
所以，
所以，
，
故选：D
6．算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数､列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大､重要的发明.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：
项目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式









横式









用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如“”表示的三位数为732.如果把4根算筹以适当的方式全部放入表格“”中，那么可以表示不同的三位数的个数为（    ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】D
【分析】利用题中表格中的信息结合分类计数原理进行分析求解，即可得到答案．
【详解】共有4根算筹，
当百位数为4根，十位0根，个位0根时，则有2个三位数；
当百位数为3根，十位1根，个位0根时，则有2个三位数；
当百位数为3根，十位0根，个位1根时，则有2个三位数；
当百位数为2根，十位2根，个位0根时，则有4个三位数；
当百位数为2根，十位0根，个位2根时，则有4个三位数；
当百位数为2根，十位1根，个位1根时，则有2个三位数；
当百位数为1根，十位3根，个位0根时，则有2个三位数；
当百位数为1根，十位0根，个位3根时，则有2个三位数；
当百位数为1根，十位2根，个位1根时，则有2个三位数；
当百位数为1根，十位1根，个位2根时，则有2个三位数.
所以共有2+2+2+4+4+2+2+2+2+2=24个．
故选：D．
7．某车间使用甲､乙､丙三台车床加工同一型号的零件，车床甲和乙加工此型号零件的优质品率分别为，且甲和乙加工的零件数分别占总数的.如果将三台车床加工出的零件全部混放在一起，并随机抽出一件，得到优质品的概率是0.54，则车床丙加工此型号零件的优质品率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据全概率公式列出方程求解即可得解.
【详解】设车床丙加工此型号零件的优质品率为，
则，
解得，
故选：A
8．标有数字的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是3”，表示事件“第二次取出的数字是2”，表示事件“两次取出的数字之和是6”，表示事件“两次取出的数字之和是7”，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用列表法写出所有的基本事件，由古典概型的概率公式分别求出，结合条件概率的计算公式依次求解即可.
【详解】由题意得，从6张卡片中有放回地随机抽取两次，所有的基本事件为：

1
2
3
4
5
6
1






2






3






4






5






6






共36个.
则A事件有：，，，，，共6个，
B事件有：，，，，，共6个，
C事件有：，，，，共5个，
D事件有：，，，，，共6个，
所以，，，，
，
所以，而，故A错误；
，而，故B错误；
，而，故C错误；
，而，故D正确.
故选：D.

二、多选题
9．为了考察某种疫苗的预防效果，先选取某种动物进行实验，试验时得到如下统计数据：

未发病
发病
总计
未注射疫苗



注射疫苗
40


总计
70

100
现从实验动物中任取一只，若该动物“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（    ）
A．未注射疫苗发病的动物数为30只
B．从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为
C．在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关
D．注射疫苗可使实验动物的发病率下降约10%
【答案】BC
【分析】根据所给数据分析，填写列联表，由卡方公式计算，结合独立性检验的思想，依次判断选项即可.
【详解】现从实验动物中任取一只，若该动物“注射疫苗”的概率为0.5，
注射疫苗的动物共只，则未注射疫苗的动物共只，
所以未注射疫苗未发病的动物共30只，未注射疫苗发病的动物共20只，
注射疫苗发病的动物共10只，
列联表如下：

未发病
发病
合计
未注射疫苗
30
20
50
注射疫苗
40
10
50
合计
70
30
100
所以未注射疫苗发病的动物共20只，故A错误；
从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为，故B正确；
，
则在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关，故C正确；
未注射疫苗的动物的发病率为，
注射疫苗的动物的发病率为，
则注射疫苗可使实验动物的发病率下降约，故D错误.
故选：BC.
10．某种袋装蔬菜种子每袋质量（单位：），下面结论不正确的是（    ）
A．的标准差是9
B．
C．随机抽取1000袋这种蔬菜种子，每袋质量在区间中约819袋
D．随机抽取10000袋这种蔬菜种子，每袋质量小于的不多于14袋
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的相关知识与概率计算公式即可求解.
【详解】对于A，，，故A错误;
对于B，某种袋装食品每袋质量(单位:，
，故B错误;
对于C，，
故随机抽取1000袋这种食品，每袋质量在区间的约819袋，故C正确，
对于D，根据概率的意义，有可能多于14袋，故D错误.
故选：ABD.
11．袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数量为，红球的数量为，则以下说法正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据超几何分布计算概率可判断AB，再计算期望可判断C，根据方差的性质可判断D.
【详解】由题意，，故A错误；
因为，，，故B正确；
由题意知, ，则,
，，
所以，,
故，故C正确；
由知，，故D正确.
故选：BCD
12．3名男同学和3名女同学报名参加3个不同的课外活动小组，且每人只能报一个小组，则以下说法正确的是（    ）
A．共有种不同的报名方法
B．若每个活动小组至少有1名同学参加，则各活动小组的报名人数共有10种不同的可能
C．若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，则共有108种不同的报名方法
D．若每个活动小组最少安排一名同学，且甲､乙两名同学报名同一个活动小组，则共有150种不同的报名方法
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算即可求解.
【详解】A：每位同学都有3个选择，所以共有种不同的安排方法，故A正确；
B：每个活动小组至少有1名同学参加，各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有6种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有1种可能；
若3个活动小组的报名人数分别为114，则有3种可能，
所以共有6+1+3=10种可能，故B正确；
C：若每个活动小组都有一名男同学和一名女同学报名，
则3个活动小组的报名人数分别为222，
所以报名的方法有种，故C错误；
D：若每个活动小组最少安排一名同学，则各活动小组的报名人数可分为123，222，114三种情况，
而甲､乙两名同学报名同一个活动小组，
若3个活动小组的报名人数分别为123，则有种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为222，则有种方法；
若3个活动小组的报名人数分别为114，则有种方法，
所以报名的方法有96+18+36=150种，故D正确.
故选：ABD.

三、填空题
13．已知随机变量的分布列为

-1
0
1
2

0.1
0.2
0.3
0.4
则随机变量的数学期望__________.
【答案】2
【分析】根据题意求出的分布列，结合数学期望公式计算，即可求得结果.
【详解】由题意知，的取值为0，1，4，
则，
，
，

0
1
4

0.2
0.4
0.4
.
故答案为：2.

四、双空题
14．据某市有关部门统计，该市对外贸易近几年持续增长，年至年每年进口总额（单位：千亿元）和出口总额（单位：千亿元）之间的数据统计如下：

年
年
年
年










若每年的进出口总额、满足线性相关关系，则__________；若计划年出口总额达到千亿元，预计该年进口总额为__________千亿元.
【答案】 // //
【分析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可得出的值，然后令，求出的值，可得出结论.
【详解】由表格中的数据可得，，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得，
当时，即，解得.
若计划年出口总额达到千亿元，预计该年进口总额为千亿元.
故答案为：；.

五、填空题
15．课外活动小组共9人，其中男生5人，女生4人，现从中选5人主持某种活动，则至少有2名男生和1名女生参加的选法有__________种.
【答案】120
【分析】求出9人中任选5人的取法种数，再去掉5个男生及4个女生1个男生的取法种数.
【详解】利用间接法求解，先求出9人中任选5人的取法种数，再去掉5个男生及4个女生1个男生的取法种数，即种，
故答案为：120
16．除以所得的余数为__________.
【答案】
【分析】由二项式定可得，即可得出结论.
【详解】因为，则


，
因为能被整除，
因此，除以所得的余数为.
故答案为：.

六、解答题
17．为了实现五育并举，鼓励学生在学好文化知识的同时也要锻炼好身体，某学校随机抽查了100名学生，统计他们每天参加体育运动的时间，并把他们之中每天参加体育运动时间大于或等于60分钟的记为“达标”，运动时间小于60分钟的记为“不达标”，统计情况如下图：

(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关.

运动达标
运动不达标
总计
男生



女生



总计



(2)现从“不达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中任选2人进行体育运动指导，求选中的2人都是女生的概率.
参考数据：

0.25
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001

1.323
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

【答案】(1)表格见解析，能
(2)

【分析】（1）由题意列联表，计算与临界值比较得出结论；
（2）分层抽样可知抽出女生4人，男生2人，根据古典概型求解即可.
【详解】（1）列联表为：

运动达标
运动不达标
总计
男生
38
12
50
女生
26
24
50
总计
64
36
100
，
所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能认为“运动达标”与“性别”有关.
（2）由（1）知“运动不达标”的男生､女生分别有12人和24人，按分层抽样的方法从中抽取6人，则男生､女生分别抽到2人和4人，所以，所以选中的2人都是女生的概率为.
18．5名男生，2名女生，站成一排照相.
(1)两名女生不排在队伍两头的排法有多少种？
(2)两名女生不相邻的排法有多少种？
(3)两名女生中间有且只有一人的排法有多少种？
【答案】(1)2400
(2)3600
(3)1200

【分析】（1）中间5个位置先排2名女生，然后其余5个位置排剩下的5人，由分步乘法计数原理即可求解；
（2）利用插空法，结合分步乘法计数原理即可求解；
（3）先利用插空法将1名男生插入2名女生中，结合捆绑法和分步乘法计数原理即可求解；
【详解】（1）中间5个位置先排2名女生，有种排法，
然后其余5个位置排剩下的5人，有种排法，
故共有种排法；
（2）先排5名男生，有种排法，
然后在5名男生排列的6个空中选2个空插入2名女生，有种排法，
故共有种排法；
（3）两名女生有种排法，从剩下的5人中选一人插入两名女生中间，有种，
然后再将三人看作一个元素，和其他四个元素作全排列，有种排法，
故共有种排法.
19．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①展开式中第4项与第7项的二项式系数相等；②偶数项的二项式系数和为256；③前三项的二项式系数之和为46.
已知在的展开式中，__________.
(1)求含项的系数；
(2)求展开式中系数绝对值最大的项.
【答案】(1)-144
(2)

【分析】（1）若选填条件①②，由二项式系数的性质可得；若选填条件③，由组合数的计算可得.结合二项式展开式的通项公式计算即可求解；
（2）由（1），设第项系数绝对值最大，则，利用组合数的计算公式可解得，求解r即可求解.
【详解】（1）若选填条件①，，由二项式系数的性质可得，；
若选填条件②，偶数项的二项式系数和为256，即，可得，；
若选填条件③，，
即，解得或，因为，所以
二项式展开式的通项：.
由，得.
展开式中含项的系数为.
（2）假设第项系数绝对值最大，则，
所以，
所以，因为，所以，
所以展开式中系数绝对值最大的项为.
20．对某地区过去20年的年降水量（单位：毫米）进行统计，得到以下数据：


将年降水量处于799毫米及以下､800至999毫米､1000毫米及以上分别指定为降水量偏少､适中､偏多三个等级.
(1)将年降水量处于各等级的频率作为概率，分别计算该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率；
(2)根据经验，种植甲､乙､丙三种农作物在年降水量偏少､适中､偏多的情况下可产出的年利润（单位：千元/亩）如下表所示.你认为这三种作物中，哪一种最适合在该地区推广种植？请说明理由.
年降水量作物种类
偏少
适中
偏多
甲
8
12
8
乙
12
10
7
丙
7
10
12

【答案】(1)该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为；
(2)作物丙最适合在该地区推广种植，理由见解析

【分析】（1）由数据得出降水量偏少､适中､偏多的年数，计算频率，估计出概率；
（2）分别计算种植甲､乙､丙每亩地获利的期望及方差，比较大小得出结果.
【详解】（1）将20年的年降水量按照降水量等级分类，可知：
降水量偏少的年份有4年，概率可估计为；
降水量适中的年份有10年，概率可估计为；
降水量偏多的年份有6年，概率可估计为.
于是该地区年降水量偏少､适中､偏多的概率分别为；
（2）设种植农作物甲､乙､丙一年后每亩地获得利润分别是随机变量，
则的分布列为：

8
12

0.5
0.5
故种植甲则每亩地获利的期望千元，
则的分布列为：

12
10
7

0.2
0.5
0.3
故种植乙则每亩地获利的期望千元，

7
10
12

0.2
0.5
0.3
故种植丙则每亩地获利的期望千元，
所以，
即种植甲､丙的获利的期望值比乙更高，不考虑推广乙，
又，
，
，故种植丙时获利的稳定性更好，
因此，作物丙最适合在该地区推广种植.
21．某生产制造企业统计了近10年的年利润（千万元）与每年投入的某种材料费用（十万元）的相关数据，作出如下散点图：

选取函数作为每年该材料费用和年利润的回归模型.若令，则，得到相关数据如表所示：




31.5
15
15
49.5
(1)求出与的回归方程；
(2)计划明年年利润额突破1亿，则该种材料应至少投入多少费用？（结果保留到万元）参考数据：.
【答案】(1)
(2)498万元

【分析】（1）由表中数据代入最小二乘法公式计算即可；
（2）按照（1）中所求回归方程，结合参考数据，代入计算即可.
【详解】（1）因为
由表中数据得，
所以，所以，
所以年该材料费用和年利润额的回归方程为；
（2）令，得，
所以（十万），
故下一年应至少投入498万元该材料费用.
22．盒中有6只乒乓球，其中黄色4只，白色2只.每次从盒中随机取出1只用于比赛.
(1)若每次比赛结束后都将比赛用球放回盒内，记事件“三次比赛中恰有两次使用的是黄色球”，求；
(2)已知黄色球是今年购置的新球，在比赛中使用后仍放回盒内；白色球是去年购置的旧球，在比赛中使用后丢弃.
①记事件“第一次比赛中使用的是白色球”，=“第2次比赛中使用的是黄色球”，求概率；
②已知，记事件“在第次比赛结束后恰好丢弃掉所有白球”，求概率.
【答案】(1)
(2)①；②

【分析】（1）记3次比赛中，使用黄色球的次数为随机变量，则，由二项分布的概率公式求解即可；
（2）①由条件概率和全概率公式求解即可；
②分析题意，由相互独立事件的概率乘法公式和等比数列的前项和公式求解即可.
【详解】（1）由题意知，每次比赛中，使用黄色球的概率为，
记3次比赛中，使用黄色球的次数为随机变量，则，
故；
（2）记事件“第次比赛使用黄色球”，
事件“第次比赛使用白色球”，
①根据题意，，
，
故；
②由题意，表示第次比赛中使用了最后一只白色球，即第2次使用白色球，
不妨设第次比赛中，首次使用白色球，
故在第次比赛中，使用黄色球，
即比赛流程为，
根据规则可知，在前局比赛中，每次比赛开始前盒中均有4只黄球2只白球，故每次比赛选择黄球的概率均为，
第局比赛前，盒中有4只黄球2只白球，此时选择白球的概率为，
第至局比赛（共计局）中，每次比赛前盒中均有4只黄球1只白球，故每次比赛选择黄球的概率均为，
第次比赛中，比赛前盒中有4只黄球1只白球，故比赛选中白球的概率为，
故，
考虑到的取值可能从1变化到，
故
.