2022-2023学年山西省吕梁市高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山西省吕梁市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（    ）

A．14 B．64 C．72 D．80

【答案】B

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法，

所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种.

故选：B．

2．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6

【答案】D

【分析】根据两点分布的期望即可求解.

【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，

．

故选:D．

3．的展开式中，的系数为12，则实数的值为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】分别得到，中项，由其系数和为12可得答案.

【详解】中项为，中项为.

由题意得：．

故选：C．

4．一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（    ）

A．没有白球 B．至多有2个黑球

C．至少有2个白球 D．至少有2个黑球

【答案】B

【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解

【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率，

表示任取5个球中，有1个黑球的概率

表示任取5个球中，没有黑球的概率

所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率．

故选：B．

5．对任意实数，有，则的值为（    ）

A．  B．  C．22 D．30

【答案】B

【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解.

【详解】因为，所以，

故选：B．

6．小王､小李等9名同学相约去游玩，在某景点排成一排拍照留念，则小王不在两端，且小李不在正中间位置的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分小王在正中间和不在正中间两种情况讨论，求出小王不在两端，且小李不在正中间位置的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】第一种情况：小王在正中间，排法数为；

第二种情况：小王不在正中间，先排小王有种排法，再排小李有种排法，剩下的同学有种排法．

记“小王不在两端，且小李不在正中间位置”为事件，则．

故选：A．

7．已知随机变量，且，又，则实数的值为（    ）

A． 或4 B． C．4或1 D．5

【答案】A

【分析】根据二项分布的期望公式可得，进而由正态分布的对称性即可求解.

【详解】由题意可知，

得，当时，，解得或4，

故选：．

8．已知数列满足，且，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由递推公式变形得，所以是等比数列，求出通项后利用累加法，代入得的通项，新数列为等差数列，利用等差数列前项和性质讨论最大值，计算实数的取值范围.

【详解】由得，

则，有，

所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，

，

令，，

所以数列是等差数列，，对称轴，

由的最大值仅为可得

解得．

故选：B．

二、多选题

9．已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用数学期望以及方差的运算性质，求解即可.

【详解】，．

故选：AD．

10．高二年级安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（    ）

A．如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有88种

B．如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有36种

C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有150种

D．如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有36种

【答案】BD

【分析】根据间接法即可判断A,根据分步乘法计数原理即可判断BCD.

【详解】安排甲､乙､丙三位同学到六个社区进行暑期社会实践活动，

对于A：如果社区必须有同学选择，则不同的安排方法有（种）．故A错误；

对于B：如果同学乙必须选择社区，则不同的安排方法有（种）．故B正确；

对于C：如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种）．故C错误；

对于D：如果甲､丙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有（种）．故D正确．

故选:．

11．已知，则的值可能为（    ）

A．2 B．4 C．7 D．9

【答案】BC

【分析】根据组合数的性质可化简进而由组合数的公式得，由组合数性质即可求解.

【详解】由于

所以，得或7．

故选：BC．

12．某商场举办一项抽奖活动，规则如下：每人将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，记第i次正面朝上的点数为，若“”，则算作中奖，现甲､乙､丙､丁四人参加抽奖活动，记中奖人数为，下列说法正确的是（    ）

A．若甲第1次投掷正面朝上的点数为3，则甲中奖的可能情况有4种

B．若甲第3次投掷正面朝上的点数为5，则甲中奖的可能情况有6种

C．甲中奖的概率为

D．

【答案】BCD

【分析】求得甲第1次投掷正面朝上的点数为3时甲中奖的可能情况判断选项A；求得甲第3次投掷正面朝上的点数为5时甲中奖的可能情况判断选项B；求得甲中奖的概率判断选项C；求得的值判断选项D.

【详解】当时，甲中奖情况有种，故错误；

当时，甲中奖情况有种，故B正确；

甲中奖情况如下：当时，共有1种；

当时，共有种；当时，中奖情况有种，

当时，共有种；

记“”的事件为A，则中奖的可能情况共有种，

所有可能情况有种，，故C正确；

四人参加抽奖，每人中奖的概率均为，

中奖人数，所以，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．展开式中的常数项为__________．

【答案】

【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】展开式通项为，

令，得，所以常数项为．

故答案为：.

14．设随机变量，则__________．

【答案】

【分析】根据二项分布的概率计算公式即可求解.

【详解】随机变量服从．

故答案为：

15．由这七个数字组成没有重复数字的七位数，且偶数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有__________个．

【答案】90

【分析】由题可知，偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，据此可得答案.

【详解】因偶数排列顺序固定且0只能在6，5，4位，奇数可任意排列，则

当0排在第6位时，共有（个）数；

当0排在第5位时，共有（个）数；

当0排在第4位时，共有（个）数，

故这样的七位数共有（个）．

故答案为：

16．已知两个不透明的盒中各有形状､大小都相同的红球､白球若干个，盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从两盒中各取1个球，表示所取的2个球中红球的个数，则的最大值为__________．

【答案】/0.5

【分析】由可能的取值，计算相应的概率，得到期望和方差，根据方差的算式，利用基本不等式求最大值.

【详解】的可能取值为，

，

，

，

所以的分布列为

，

，当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为．

故答案为：

四、解答题

17．已知有9本不同的书．

(1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？

(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）

【答案】(1)280

(2)1260

【分析】（1）根据平均分堆即可由排列组合求解，

（2）根据不平均分堆即可由排列组合求解.

【详解】（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为；

（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为．

18．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为，各项的系数之和为，

(1)求的值；

(2)求其展开式中所有的有理项．

【答案】(1)4

(2)

【分析】（1）先利用题给条件列出关于的方程，解之即可求得的值；

（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．

【详解】（1）因为，所以，

当为奇数时，此方程无解，

当为偶数时，方程可化为，解得；

（2）由通项公式，

当为整数时，是有理项，则，

所以有理项为．

19．为迎接年美国数学竞赛，选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高分为、、三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级的分布列如下：

现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为．

(1)求此选手两次成绩的等级不相同的概率；

(2)求的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）计算出该选手连续两次成绩的等级相同的概率，利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；

（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量的可能取值，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.

【详解】（1）解：此选手连续两次成绩的等级相同的概率为，

此选手两次成绩的等级不相同的概率为.

（2）解：由题意可知，的所有可能取值为、、，

，

，

．

的分布列为

则数学期望．

20．设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）．

(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率；

(2)先从乙袋中取2个球放人甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用组合数求出从8个球中取4个球，4个球中恰好有3个红球、1个白球的取法数，进而求概率；

（2）应用全概率公式求从甲袋中取出的是2个红球的概率即可.

【详解】（1）依题意，从8个球中取4个球有种取法，

其中4个球中恰好有3个红球，即恰好有3个红球、1个白球，有种取法，

所以4个球中恰好有3个红球的概率；

（2）记为从乙袋中取出1个红球、1个白球，为从乙袋中取出2个红球，为从甲袋中取出2个红球，

则，，

所以．

21．已知椭圆的右顶点为，右焦点为，上顶点为，过两点的直线平分圆的面积，且（为坐标原点）．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．

【答案】(1)；

(2)或．

【分析】（1）直线的方程为，直线过圆心有，又，解出得椭圆的标准方程；

（2）利用点到直线距离和弦长公式，表示出的面积，由基本不等式求面积最大值，根据等号成立的条件得到的值，可得直线方程.

【详解】（1）如图所示：

由题意可知，所以直线的方程为，

因为过两点的直线平分圆的面积，

所以直线的方程过圆心，即，

又，

两式联立可得，所以椭圆的方程为；

（2）由直线的方程为，则点到直线的距离为，

联立方程组整理可得，

由判别式，解得，

设，则，

可得

，

所以

（当且仅当时，等号成立），

所以所求直线的方程为或．

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数有两个零点，且．证明：．

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）按a分类讨论，利用导数与原函数的关系即可求得函数的单调性；

（2）利用分析法去证明，过程中构造函数，利用导数证得，从而证明原不等式成立.

【详解】（1）的定义域为，

当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，

当时，由，可得

当时，，当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）由题可得，

两式相减可得，

要证，即证，

即证，即证，

令，则，即证，

令，则，

所以在上单调递增，所以，

所以，故原命题成立．