2022-2023学年陕西省汉中市兴华学校与镇巴中学高二下学期期中联考数学（理）试题含解析

2022-2023学年陕西省汉中市兴华学校与镇巴中学高二下学期期中联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，复数的虚部为（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则直接计算得到答案.

【详解】由，虚部为1，故选项C正确.

故选：C.

2．（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】应用微积分基本定理求定积分即可.

【详解】．

故选：C

3．如果函数在区间上的平均变化率为,则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】根据平均变化率的定义，可知

故选

4．函数的导数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用基本初等函数及函数和的导数公式可求函数的导数.

【详解】∵   ，，

∴   ，

故选：C.

5．函数的单调递减区间为（    ）

A．（-1，1） B．（0，1） C．[1，+∞） D．[0，+∞]

【答案】B

【分析】利用导数求函数单调区间.

【详解】函数的定义域为，

，

令，解得，令，解得，

则的单调递减区间为，单调递增区间为，

故选：.

6．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（    ）

A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)

【答案】C

【分析】求导得，再解不等式即得解.

【详解】由得，

根据题意得，解得．

故选：C

7．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：不妨设直线，即椭圆中心到的距离

，故选B.

【解析】1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.

【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线，即椭圆中心到的距离，利用方程思想和数形结合思想建立方程是本题的关键节点.

8．已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选A．

【解析】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．

9．伦教奥运会自行车赛车馆有一个明显的双曲线屋顶，该赛车馆是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的双曲线顶的一段近似看成离心率为的双曲线C：上支的一部分，点F是C的下焦点，若点P为C上支上的动点，则与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

【答案】C

【分析】根据离心率求出双曲线方程，可得出焦点坐标及渐近线方程，再利用双曲线的定义转化为求，数形结合即可得出最小值．

【详解】依题意，双曲线的离心率为，

则，解得，

所以双曲线方程为，

则双曲线得下焦点为，上焦点，渐近线方程为，如图，

根据图形的对称性，不妨取渐近线为，即，

又点P为双曲线上支上的动点，则，

过点P作，垂足为Q，过点作，垂足为M，

则，

所以与P到C的一条渐近线的距离之和的最小值为．

故选：C．

10．函数的极值点为（    ）

A．8 B． C．1 D．

【答案】D

【分析】求出定义域为，然后求导数，从而根据二次函数的图象即可判断导数符号，进而可得出的极值点．

【详解】依题意可得函数定义域为，

则，

令，解得，或（舍去），

则当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

所以是的极值点，且为极小值点．

故选：D．

11．已知函数，下列说法正确的是（    ）

A．在处的切线方程为 B．的单调递减区间为

C．的极小值为 D．方程有两个不同的解

【答案】B

【分析】求出函数的定义域及导数，再逐项求解判断作答.

【详解】函数的定义域为，求导得，

对于A，，而，因此图象在处的切线方程为，A错误；

对于B，当时，，单调递增，当时，，单调递减，B正确；

对于C，由选项B知，当时，取得极大值，C错误；

对于D，因为函数在上单调递增，且，

即方程在上有唯一解，而当时，恒有成立，即该方程在上无解，

所以方程只有一个解，D错误.

故选：B

12．过点作曲线切线有且只有两条，则b的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b的取值范围．

【详解】设切点为，

由，则，

所以过的切线方程为，即，

故有且仅有两根，

设，则，

当时，，此时单调递增；

当，，此时单调递减，

又当时，，，，

所以的图象如下：

故有且仅有两根，则b的取值范围为．

故选：A．

【点睛】关键点点睛：本题考查利用过曲线外一点作曲线切线的条数求参数的取值范围，解题的关键在于写出切线方程，将点的坐标代入切线方程，将切线与切点建立一一对应的关系，转化函数的零点个数，利用导数与数形结合思想求解．

二、填空题

13．抛物线的准线方程为______.

【答案】

【详解】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是

【解析】抛物线方程

14．已知函数，则函数在处的切线方程是____________．

【答案】

【分析】求导，利用导数值求解斜率，再利用点斜式求解即可．

【详解】由，则，

所以，，

所以函数在处的切线方程为，即

故答案为：．

15．求过点且与圆相切的直线方程为______.

【答案】x＝4或3x+4y＝0

【分析】先考虑直线的斜率是否存在，然后结合点到直线的距离公式即可求解.

【详解】当直线的斜率存在时，可设直线方程为y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，

由题意得，

解得k＝，此时直线方程为3x+4y＝0，

当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝4

此时圆心 到直线x＝4的距离为3，所以直线与圆相切，符合题意.

故答案为：x＝4或3x+4y＝0.

16．已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且斜率为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（点在轴下方），且，则的离心率为____________.

【答案】/

【分析】作出图形，可求得，利用角平分线的性质可求得，结合勾股定理可求得，进一步可求得，利用勾股定理可得出的值，结合双曲线的离心率公式可求得双曲线的离心率的值.

【详解】如下图所示：

因为直线的斜率为，由图可知，直线的斜率为，

因为，所以，，

易知直线的方程为，即，所以，，

因为直线、关于轴对称，则，

由角平分线的性质可得，所以，，

，所以，，

由勾股定理可得，即，整理可得，

所以，双曲线的离心率为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知直线与圆.

(1)若直线和圆无公共点，求m的取值范围；

(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的关系可解出范围；

（2）直线与圆相交，两交点与圆心构成等腰直角三角形，得出边长与圆心到直线距离的关系，列出等式出结果.

【详解】（1）由已知，得圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离

∵直线与圆无公共点，

，即，解得或，

故m的取值范围为

（2）若直线和圆交于两点，两点，如图所示，

两条半径、互相垂直，几何关系可知为等腰直角三角形，设到直线的距离为，

，即，解得

18．求下列函数的极值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）极小值为，极大值为．

【分析】（1）求出函数导数，再求出导函数零点，列表即可求解；

（2）根据导数的求导法则求出函数导数，可得导函数零点，列出变化时，，的变化情况即可.

【详解】（1）．令，解得，．

当变化时，，的变化情况如下表：

由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为．

（2）．令，解得，．

当变化时，，的变化情况如下表：

由上表看出，当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为．

19．如图，在正四棱柱中，底面边长为2，高为4.

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明向量数量积等于零来证明；

（2）计算平面的法向量，根据与法向量的夹角与与平面所成角互余求解.

【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，

，

，即.

（2）由（1）得，

设平面的一个法向量为，

则取 则

设直线与平面所成角为 ，则：

所以直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线与椭圆C交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证:直线过定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据长短轴关系得，再利用及关系即可得到椭圆方程；

（2）设，，联立直线与椭圆方程得， 得到韦达定理式，根据，化简得，将韦达定理式代入化简即可得到，则可得到定点坐标.

【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．

所以．

又，所以，解得．所以．

所以椭圆的标准方程为．

（2）联立，得，

设，，可得，，

由题知，即，

即，

即，

化简得，解得，

∴直线的方程为，故直线恒过定点.

【点睛】关键点睛：设，，联立直线与椭圆方程得，则得到韦达定理式，根据，则，展开化简得，再将韦达定理式代入，则可得到定点坐标.

21．已知函数在处有极值.

（1）求a，b的值；

（2）判断函数的单调性并求出单调区间.

【答案】（1）（2）单调减区间是，单调增区间是.

【分析】（1）根据函数解析式先求得导函数，根据极值及极值点即可得关于a，b的方程组，即可求得a，b的值.

（2）将a，b的代入解析式并求得定义域，求得极值点，根据极值点左右两侧导函数的符号即可判断函数的单调性.

【详解】（1）函数，

.

又在处有极值，

∴，即，

解得.

（2）由（1）可知，其定义域是，

且.

令，解得，（舍），

由，得；

由，得.

所以函数的单调减区间是，单调增区间是.

【点睛】本题考查了利用导函数的极值点与极值求参数，利用导函数判断函数的单调性，属于基础题.

22．已知函数．

(1)讨论函数的单调性；

(2)证明：．

【答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【分析】（1）求导，分、与讨论求解单调性即可；

（2）可转化为，令，即证明.设，利用导数求的最小值即可证明.

【详解】（1），

①当时，，在上单调递减；

②当时，令，得，

当时，；当时，.

③当时，令，得，

当时，；当时，.

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）,即为，即，

令，可得，即证明.

设，则，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以，即.

所以.

【点睛】结论点睛：

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．