2022-2023学年四川省宜宾市高县中学高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2022-2023学年四川省宜宾市高县中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．命题：“，”的否定是（    ）

A．， B．，使得

C．，使得 D．，使

【答案】B

【分析】由全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．

【详解】解：由全称命题的否定为特称命题，可得

命题：“，”的否定是

“，使得”，

故选：．

【点睛】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，属于基础题．

2．已知，向量，，则“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断.

【详解】若向量，则，即

解得：或,

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：B

3．已知多项式 ，当 时的函数值时用秦九韶算法计算V2的值是

A．1 B．5 C．10 D．12

【答案】C

【详解】，当时的函数值时用秦九韶算法计算：，故选C.

4．已知命题：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题：空间中三个平面，，，若，，，则．则下列命题为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据直线与直线的位置关系定义、面面垂直的性质，结合与、或、非的真假性质逐一判断即可.

【详解】因为空间中两条直线没有公共点，两条直线可以是异面直线，所以命题是假命题，

因此是真命题，

由面面垂直的性质可知命题是真命题，为假命题，

所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，

故选：D

5．若函数，则（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【分析】用函数的求导法则、常用函数的导数及复合函数的导数可得解.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

6．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】曲线与直线的交点坐标为 ，由定积分的几何意义可得曲线与直线所围成的封闭图形的面积为 ，故选A.

7．“天津之眼”摩天轮是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功用，是天津地标建筑之一，摩天轮的整体高度为，如图，摩天轮底座中心为（即为圆的最低点，且与地面的距离忽略不计），过点且距离处有一标志点，、之间距离处有一遮挡物，高为，将旋转轮看成圆，把游客看成圆上的点，若游客乘坐座舱旋转一周，则能看到标志点的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设圆心为，延长交圆于、两点，取线段的中点，连接、、，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】如下图所示，设圆心为，延长交圆于、两点，取线段的中点，

连接、、，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

因为，，

则为等腰直角三角形，所以，，则直线的倾斜角为，

易知点、，直线的方程为，即，

，所以，，则，

所以，，

因此，游客乘坐座舱旋转一周，则能看到标志点的概率为.

故选：A.

8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中表示正整数除以正整数后的余数为，例如 表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输出的等于

A．7 B．8 C．9 D．10

【答案】B

【解析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．

【详解】第一次，7除以3的余数是1，不满足条件，除以3的余数是2满足条件，

8除以5的余数是3满足条件，输出

故选B

【点睛】本题考查程序框图的相关内容，根据框图模拟运算即可得出结果，比较基础．

9．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.

【详解】因为，则，

即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项CD错误；

且时，，据此可知选项B错误.

故选：A.

【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．

10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可知在上恒成立.再参变分离求解函数最值即可.

【详解】由题, 在上恒成立.即在上恒成立.

又,其导函数恒成立.故的最小值为.故.

故选：C

【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题.

11．已知抛物线的焦点为F，过点F作直线交抛物线于M，N两点，则的最小值为

A． B．- C．- D．

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系，将所求的表达式转化成一个量的函数求最值.

【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标为.设，，

将：代入抛物线方程，

可得，且有，

所以，又因为.

由抛物线的定义可得，.

故，

由可得，

从而有，，

当且仅当时取等号.

故选D.

【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于将问题转化为关于一条线段的长的函数的最值问题，属于中档题.

12．已知函数，若时，，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】采用参数分离法，若，则在上恒成立，

然后令，利用导数求解函数的最大值，只需使在上成立即可.

【详解】当，时，有在上恒成立，

令，则

令，则在上恒成立，

由，所以在上有一根，

设，即，

则在上成立，在上成立，

所以函数在上递增，在上递减，

故，

又由可得，即，则，

所以，

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，难度较大，解答的一般方法如下：

（1）直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，使最值符合相应的不等式，解得参数的取值范围；

（2）利用参数分离法，将原式转化，若恒成立，只需使成立；

若恒成立，只需使成立，然后利用导数分析函数的最值即可.

二、填空题

13．命题“若都是实数，则”的否命题是__________

【答案】若不都是实数，则

【分析】利用否命题的定义求解.

【详解】因为否命题是既否定原命题的条件，也否定原命题的结论，

所以命题“若都是实数，则”的否命题是“若不都是实数，则”，

故答案为：若不都是实数，则

14．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足（为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕 ________万千克．

【答案】8

【分析】由已知求参数a，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.

【详解】设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则（）．

∵，

∴，即，则，

当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，

故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．

故答案为：8

15．若函数，在处取得极小值，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】求得，分、和三种情况讨论，求得函数的单调性，结合极小值点的定义进行判定，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域与，

且，，

当时，即时，

令，可得；令，可得，

所以函数在上单调递增，在单调递减，

此时函数在取得极大值，不满足题意；

当时，即时，可得恒成立，可得函数在上单调递增，函数不存在极值，不满足题意；

当时，即时，

令，可得，令，可得，

所以函数在上单调递增，在单调递减，

此时函数在处取得极小值，满足题意，

综上可得，实数的取值范围是．

故答案为：．

16．已知定义在上的函数，其导函数为，满足，，则不等式的解集为__________.

【答案】

【分析】构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，然后得出或，解这两个不等式组即可得解.

【详解】构造函数，则，即函数在上为增函数，

且.

①当时，由可得，即，

即，可得，解得，此时；

②当时，由可得，即.

即，可得，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为.

故答案为：.

【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下：

（1）根据导数不等式的结构构造原函数；

（2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性；

（3）将所求不等式变形为或（偶函数）；

（4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解.

三、解答题

17．已知函数在处取得极值.

（1）求实数的值；

（2）当时，求函数的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求导，根据极值的定义可以求出实数的值；

（2）求导，求出时的极值，比较极值和之间的大小的关系，最后求出函数的最小值.

【详解】（1），函数在处取得极值，所以有；

（2）由（1）可知：，

当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，

，，故函数的最小值为.

【点睛】本题考查了求闭区间上函数的最小值，考查了极值的定义，考查了数学运算能力.

18．已知.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若对恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.

（2）分离参数，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.

【详解】（1）当时，，，

，，

所以切线方程为：，即.

（2）恒成立，即在上恒成立，

设，，

令，得，

在上，，

所以函数在上单调递减，

所以，，

故有.

19．如图，已知平面BCD，平面平面ACD，E，F分别是AD，AC的中点．

(1)求证：；

(2)若，直线BD与平面ABC所成角为30°，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）将线线垂直问题转化为线面垂直问题，结合已知逐步转化可证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求，注意观察，借助平面ABC不难发现二面角为钝角.

【详解】（1）过B作于H

∵平面平面ACD，平面平面

∴平面ACD

∵平面ACD

∴

∵平面BCD，平面BCD

∴

又∵

∴平面ABC

∵平面ABC

∴

（2）以C为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系

由（1）知BD在平面ABC内的射影为BC，即为直线BD与平面ABC所成角

∴，，，，

，，，

，，，

设面BAD的法向量由

得，令，则，，即

设面BEF的法向量

由，得，

令，则，，即

设二面角的平面角为，由图知为钝角，

所以

即二面角的余弦值为

20．中国在第届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取年之前实现碳中和简称“双碳目标”，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化新能源汽车电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量单位：万台关于年份的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．

(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；

(2)该机构还调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：

在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人，求人中至少有1位男性的概率．

参考数据：；

参考公式：线性回归方程：，其中；

相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．

【答案】(1)0.94，y与x线性相关较强

(2)

【分析】（1）利用相关系数的求解公式，并转化为和方差之间的关系，代入计算即可；

（2）根据抽样比及古典概型概率公式结合组合知识即得.

【详解】（1）相关系数为

，

故与线性相关较强；

（2）由题可知抽样比，男性车主选取2人，女性车主选取5人，这7人中随机抽取3人，

则3人中至少有1位男性的概率为．

21．已知椭圆：的一个焦点与抛物线的焦点相同，且椭圆过点

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若椭圆的右顶点为，与轴不垂直的直线交椭圆于，两点与点不重合，，且满足，若点为中点，求直线与的斜率之积的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，，从而可求出的值，进而可求出椭圆的标准方程；

（2）设的方程为，，，再将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，可得，，由的关系可得，，从而可求出点的坐标，进而可表示出直线，的斜率，然后两斜率相乘利用基本不等式可求得结果

【详解】（1）抛物线的焦点为，

，

又椭圆过点，即，

解得：，，

椭圆的标准方程为：.

（2）题意的右顶点为，由题意可知直线的斜率存在且不为，

设的方程为，由与轴不垂直，故.

联立方程组，消元可得：，

设，，

由根与系数的关系可得：，故，，

，故直线的方程为，

用替换可得：，，

点坐标为，

直线的斜率，

直线的斜率，

，

且，，

.

即

直线与的斜率之积的取值范围是

22．已知，其中.

(1)讨论的单调性；

(2)取，，其中，求最小的k，使有两个零点.

【答案】(1)答案见解析；

(2)0.

【分析】（1）求出函数的导数，结合定义域，分别讨论，由的符号即可得到函数的单调性；

（2）先求出，然后通过二次求导可知存在，，使得在上递减，在上递增，要使得有两个零点，则必要条件为，求出k最小值为0，再证明充分性即可得解．

【详解】（1）因为，定义域为，所以，

①时，，即在单调递增；

②时，当时，，所以单调递增；

当时，，所以单调递减.

（2）时，，

则，

设，，所以在单调递增，

又因为，，

所以存在，满足，即，化简得：，解得，，

当时，，即，则单调递减；

当时，，即，则单调递增；

要使得有两个零点，则必要条件为，

即，即，

因为，所以k最小值为0，

再证当时，有两个零点，

因为，，，

所以存在，，满足，即此时有两个零点.

综上所述，最小的k为0.

【点睛】本题主要考查含参函数的单调性问题的求解，以及利用导数研究函数的零点问题，含参函数单调性讨论解题关键是分段点的确定，利用导数研究函数的零点问题解题关键是通过导数判断函数的单调性以及结合零点存在性定理确定零点存在的区间，考查学生处理导数问题的综合能力，属于较难题．