2022-2023学年广西钦州市第四中学高二下学期3月月考数学试题含解析

广西钦州市第四中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．等差数列中，已知，则

A．48 B．49 C．50 D．51

【答案】C

【分析】根据等差数列的性质，结合通项公式的基本量求法求解即可

【详解】由等差数列的性质得，，则，所以公差，由等差数列的通项公式得，，解得．

故选：C

2．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案.

【详解】.

故选：B.

【点睛】二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数，是基础题.

3．等差数列中，已知公差，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查等差数列的性质及求和，利用与的关系即可求解.

【详解】解：由题意，

在等差数列中，

，

，

.

故选：A.

4．在和两数之间插入个数，使它们与，组成等差数列，则该数列的公差为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意结合等差数列性质运算求解.

【详解】在和两数之间插入个数，使它们与组成等差数列，则这个数列共有项，

设该数列的公差为d，则.

故选：B.

5．一张报纸的厚度为，面积为，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为（    ）

A．8a， B．64a，

C．128a， D．256a，

【答案】C

【分析】根据题意得到报纸的厚度和面积也依次成等比数列，且公比分别为和，结合等比数列的通项公式，即可求解.

【详解】由题意，对折后报纸的厚度和面积也依次成等比数列，且公比分别为和，

又由一张报纸的厚度为，面积为，

所以对折7次后的厚度为，其面积为.

故选：C.

6．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴........如果这个过程继续下去，那么第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂（   ）只

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意得出第天和第天蜜蜂只数的关系，得出数列为等比数列，根据通项公式求出即可.

【详解】设第天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂只，，

由题意可得：，即，所以数列为等比数列，

即，

所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是

故选：B.

7．用数学归纳法证明，则当时，等式的左边应在的基础上增加的项数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】分析、时等式的左边的代数式，可得结果.

【详解】当时，等式的左边是，等式左边共项，

当时，等式的左边是，等式左边共项，

增加了、、，共项.

故选：C.

8．已知数列满足，，则的值是（    ）.

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用数学归纳法证明，故，利用裂项相消法计算得到答案.

【详解】由，，得，，归纳可得，

证明：当时，满足，

假设当时满足，即，

当时，，满足.

故，所以，

∴.

故选：.

【点睛】本题考查了数学归纳法，裂项求和，意在考查学生的计算能力和应用能力.

二、多选题

9．某企业为一个高科技项目注入了启动资金2000万元，已知每年可获利20%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为万元．（取，），则下列叙述正确的是（    ）

A．

B．数列的递推关系是

C．数列为等比数列

D．至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标

【答案】ACD

【分析】根据题意可得，，利用数列分析运算．

【详解】根据题意：经过1年之后，该项目的资金为万元，A正确；

，B不正确；

∵，则

即数列以首项为1200，公比为1.2的等比数列，C正确；

，即

令，则

至少要经过6年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍），D正确；

故选：ACD．

10．刚考入大学的小明准备向银行贷款元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分次还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，设小明每个月所要还款的钱数为元，则下列说法正确的是（    ）

A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法

C．小明第一个月还款的现值为元 D．

【答案】BCD

【分析】AB根据还款特点，得到还款方式；C选项，设出第一个月还款的现值为，列出方程，求出答案；D选项，表达出第12个月末所欠银行贷款数，因为分次还清所有的欠款，故得到方程，求出答案.

【详解】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，B正确；

C选项，设小明第一个月还款的现值为，则，解得，故C正确；

D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为，

第二个月末所欠银行贷款为，

第三个月末所欠银行贷款为，

……

第12个月末所欠银行贷款为

，

由于分次还清所有的欠款，故，

解得，D正确.

故选：BCD

11．数列为等比数列，下列命题正确的是（    ）

A．数列为等比数列 B．若，则

C．若，则单调递增 D．若该数列前项和，则

【答案】AC

【分析】根据等比数列的定义及性质可得A,B正误，利用的符号可得C的正误，根据等比数列和的特征可得D的正误.

【详解】设等比数列的公比为；

对于A，，所以数列为等比数列，A正确；

对于B，由，所以，因为等比数列中偶数项的符号一致，所以，B不正确；

对于C，因为，所以；当时，由可得，此时；

当时，由可得，此时；所以单调递增，C正确；

对于D，因为，所以，，，

因为为等比数列，所以，即，D不正确.

故选：AC.

12．在公比为等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可.

【详解】因为，所以有，因此选项A正确；

因为，所以，

因为常数，

所以数列不是等比数列，故选项B不正确；

因为，所以选项C正确；

，

因为当时，，所以选项D正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.

三、填空题

13．设等差数列的前项和为，若，则_____.

【答案】

【分析】设等差数列的公差为，由可得出与的等量关系，再利用等差数列的前项和公式可求出的值.

【详解】设等差数列的公差为，则，解得，

.

故答案为.

【点睛】本题考查等差数列前项和之间的比值的计算，解题的关键就是根据题条件得出首项和公差的等量关系，利用这两个基本量来求解，考查运算求解能力，属于中等题.

14．中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了1260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为______．（“里”为长度单位）

【答案】120

【分析】由等差数列的性质与前项和公式求解

【详解】由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列，

设这个等差数列为，其公差为d，前n项和为．

根据题意可知，，．

方法一：，∴

∵，∴．

∴，∴．

方法二：即

解得所以．

故答案为：120

15．设数列的前项和为，且，，则最大值是__________．

【答案】

【分析】由结合，可得，后利用换元法结合函数单调性可得答案.

【详解】由，可或，

因为，所以，

当时，.

因式分解得

又，则，即为以为首项，公差为2的等差数列.

则.

要使最大，易知.令，

则.

注意到在上单调递减，在上单调递增，

，且.则当，即时，有最大值，

为.

故答案为：.

16．已知数列满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围为________

【答案】

【分析】根据给定条件求出，构造新数列并借助单调性求解作答.

【详解】在数列中，，当，时，，

则有，而满足上式，因此，，

，显然数列是递增数列，且，，

又对任意恒成立，则，

所以实数的取值范围为.

故答案为：

【点睛】思路点睛：给定数列的前项和或者前项积，求通项时，先要按和分段求，

然后看时是否满足时的表达式，若不满足，就必须分段表达.

四、解答题

17．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数．

（1）求{an}的通项公式；

（2）判断88是不是数列{an}中的项？

【答案】（1）an＝4n－2，n∈N*；（2）不是．

【分析】（1）设an＝kn＋b，k≠0．结合已知条件求出的值，进而可以求出结果；

（2）令an＝88，求出n的值即可判断是否是数列中的项．

【详解】（1）设an＝kn＋b，k≠0．

则解得

∴an＝4n－2，n∈N*．

（2）令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5∉N*．

∴88不是数列{an}中的项．

18．在数列中，，成等比数列，公比为.

（Ⅰ）若，求；

（Ⅱ）若成等差数列，公差为，设.

①求证：为等差数列；

②若，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①证明见解析；②.

【解析】（Ⅰ）根据题中条件，得到，求出的通项，利用等比数列的求和公式，即可求出结果；

（Ⅱ）①先由条件，得到，推出，得出，即可证明数列是等差数列；

②根据，由①的结论，根据等差数列的通项公式，求出，推出，得到，根据，求出的通项，判断其是等差数列，由等差数列的求和公式，即可得出结果.

【详解】（Ⅰ）由已知，，所以，

又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，

所以；

（Ⅱ）①对任意的，，，成等差数列，

所以，即，即，

所以，即，

所以成等差数列，其公差为1.

②若，则，，，

所以，又，所以，

从而，即.

所以，可得，

则，

所以，即为等差数列，

所以.

【点睛】思路点睛：

求解等差数列与等比数列的综合问题时，一般需要根据等差数列与等比数列的通项公式，以及求和公式，进行求解.（有时需要根据递推公式，先证明数列是等差数列或等比数列，再进一步求解）

19．已知数列满足，且（，且）.

（1）为何值时，数列是等比数列；

（2）若数列是等比数列，求数列的前项和.

【答案】（1）2；（2）.

【解析】（1）本题首先可根据数列是等比数列得出恒成立，然后根据恒成立得出，通过计算即可得出结果；

（2）本题首先可根据（1）得出，然后根据等比数列求和公式即可求出数列的前项和.

【详解】（1）若数列是等比数列，则（为非零常数），

即，对于任意恒成立，

则，解得，

故当时，数列是等比数列；

（2）因为由（1）可知，数列是公比为的等比数列，且首项为，

所以，，

故

.

【点睛】本题考查根据等比数列性质求参数以及数列求和，主要考查等比数列的前项和公式，考查推理能力与计算能力，体现了综合性，是中档题.

20．某布匹批发市场一布商在10月20日购进4000匹布，21日开始销售.每天他都销售前一天库存布匹数目的20%后,再新进1000匹新布入库,设天后销售及进货后库存布匹的数目为

(1)求表示

(2)从几天后开始当日销售及进货后库存布匹不少于4900匹?

【答案】（1）;（2）从第11天开始当日销售及进货后库存布匹不少于4900匹.

【分析】（1）根据已知条件得出递推公式,转化为等比数列,即可求出

（2）解不等式，求出的的范围.

【详解】依题意,,

令,

,

是以为首项公比为的等比数列,

,.

（2）,

，解得.

答:从第11天开始当日销售及进货后库存布匹不少于4900匹.

【点睛】本题是考查数列应用题,考查由递推公式求通项公式,以及解不等式,难点在于寻找间的递推关系和求通项公式,常考类型的递推公式求通项公式要熟练掌握,属于综合题.

21．某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10.

(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；

(2)该地区9月份（共30天）流感病毒的新感染者共有多少人？

【答案】(1)400，390

(2)8100（人）

【分析】（1）该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，由此能求出求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数．

（2） 9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，由此能求出该地区9月份流感病毒的新感染者人数．

【详解】（1）解：由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数，

构成一个首项，公差的等差数列，

所以9月10日的新感染者人数为（人，

所以9月11日的新感染者人数为（人；

（2）解：9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：（人，

9月份后20天流感病毒的新感染者人数，构成一个首项，公差的等差数列，

所以后20天新感染者人数和为（人，

所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有人．