2022-2023学年河北省张家口市张垣联盟高二下学期第二次月考数学试题含解析

2022-2023学年河北省张家口市张垣联盟高二下学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．有4条不同样式的项链和8个不同款的手镯，若一条项链与一个手镯配成一套，则不同的配法种数为（    ）

A．12 B．32 C．56 D．66

【答案】B

【分析】利用分步乘法计数原理即可求得不同的配法种数.

【详解】一条项链与一个手镯配成一套，则不同的配法种数为

故选：B

2．可表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用排列数定义即可求得可表示为

【详解】中

总共有个数连乘，

故.

故选：A

3．学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【分析】利用分步计数原理即可求得不同的选择方法种数.

【详解】由题意可得，每名同学共有4种选择，故不同的选择方法有种.

故选：A

4．盒子中装有8个大小相同的球，其中有5个绿球，3个黄球.随机取出3个球，则至少有1个黄球的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求基本事件总数，再求至少有1个黄球的对立事件是取出3个球都是绿球，进而求得结果.

【详解】由题意得取出3个球的所有情况有种，

至少有1个黄球的对立事件是取出3个球都是绿球，

取出3个绿球的情况有种，

所以至少有1个黄球的概率为.

故选：C.

5．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成两排拍合照，每排3人，要求甲不站在前排，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（    ）

A．24种 B．48种 C．72种 D．96种

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用两个计数原理结合位置关系及相邻问题列式计算作答.

【详解】求不同排除方法数有两类办法：

乙丙站前排，有种方法，甲站后排有种方法，排余下3人有，乙丙的排列有种，不同排法数为种，

乙丙站后排，有种方法，甲站后排有1种方法，排余下3人有，乙丙的排列有种，不同排法数为种，

所以不同的排队方法有：（种）.

故选：D

6．将6名实习医生分配到4所医院进行培训，每名实习医生只能分配到1所医院，每所医院至少分配1名实习医生，则不同的分配方案共有（    ）

A．480种 B．1080种 C．2520种 D．1560种

【答案】D

【分析】根据部分均匀分组问题结合先分组后分配原则解决即可.

【详解】由题知，6名实习医生分4组，有两种分法：

第一种：1，1，1，3，有种分法，

第二种：1，1，2，2；有种分法，

所以共有种分法，

再分配到4个医院，可得种.

故选：D.

7．已知，则的值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【分析】先对等式两边同时求导，再给x赋值，令、代入计算即可求得结果.

【详解】设，

则，

令得：，即：，①

令得：，②

所以得：.

故选：C.

8．已知函数在上连续且可导，同时满足，则下列不等式一定成立的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造新函数，利用得到在上单调递增，进而得到，整理得.

【详解】构造函数，则，

所以在上单调递增，

所以，即，所以.

故选：C

二、多选题

9．在的展开式中，下列说法正确的是（    ）

A．不存在常数项 B．二项式系数和为1

C．第3项和第4项二项式系数最大 D．所有项的系数和为1

【答案】ACD

【分析】对于A：根据二项展开式的通项公式分析运算；对于B、C：根据二项式系数的性质分析运算；对于D：赋值，令，即可得结果.

【详解】因为展开式的通项公式为，

对于A：由，得，舍去，

所以展开式不存在常数项，故A正确；

对于B：由于n=5，二项式系数和为，故B错误；

对于C：由于n=5，展开式共有6项，所以第3项和第4项二项式系数最大，故C正确；

对于D：令，得所有项的系数和为，故D正确.

故选：ACD.

10．下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则正整数的值是1或6

【答案】ACD

【分析】运用排列数公式计算可判断A项，运用组合数公式及性质计算可判断B项、D项，运用二项式定理可判断C项.

【详解】对于A项，因为，故A项正确；

对于B项，方法1：，

方法2：因为，，故B项错误；

对于C项，因为，

，

所以，故C项正确；

对于D项，因为，所以或，即或6，故D项正确.

故选：ACD.

11．若函数在区间上不单调，则实数的值可能是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】BC

【分析】根据题意可得导函数在有变号零点，从而建立不等式即可求解.

【详解】∵定义域为，，

又∵在上不单调，

∴且在有变号零点.

即：且在有变号零点.

∴，

∴，解得：.

故选：BC.

12．对任意实数，有.则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.

【详解】由，

可得，

当时，，则，A选项错误；

由二项式定理可得，，B选项错误；

当时，，

即，C选项正确；

当时，，

即，D选项正确.

故选：CD

三、填空题

13．计算：______.（用数字作答）

【答案】70

【分析】根据排列数、组合数的运算法则，计算即可得答案.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：70.

14．从4名骨科，3名脑外科和3名内科医生中选派4人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是______.（用数字作答）

【答案】126

【分析】骨科医生、脑外科医生、内科医生选派人数分别为2、1、1或1、2、1或1、1、2，运用分类加法分步乘法计算即可.

【详解】骨科医生、脑外科医生、内科医生选派人数分别为2、1、1或1、2、1或1、1、2，

则第一类：有2名骨科医生，1名脑外科医生，1名内科医生，则不同的选派方案为种；

第二类：有1名骨科医生，2名脑外科医生，1名内科医生，则不同的选派方案为种；

第三类：有1名骨科医生，1名脑外科医生，2名内科医生，则不同的选派方案为种；

由分类计数原理得，不同的选派方案种数是.

故答案为：126.

15．的展开式中的系数为______.（用数字作答）

【答案】

【分析】利用多项式乘法进行运算，再由二项式定理找到通项，再赋值即可求解

【详解】因为，

其中展开式的通项为，，

令，；令，.

所以展开式中的系数为.

故答案为：.

16．已知函数有零点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】对函数求导，判断其单调性，得到函数的最值，结合题意可得到实数a的取值范围．

【详解】函数的定义域为，，

令，，则恒成立，

∴在上单调递增，则，

∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，

∴，

函数有零点，则，解得.

当时，；当时，；

则实数的取值范围是

故答案为：.

四、解答题

17．已知甲，乙，丙，丁，戊五名同学，按下列要求进行排列，分别求满足条件的排列数.

(1)把5名同学排成一排且甲乙必须相邻；

(2)把5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且甲乙不相邻.

【答案】(1)48

(2)480

【分析】（1）利用“捆绑法”即可求得5名同学排成一排且甲乙必须相邻的排列数；

（2）利用“插空法”即可求得5名同学安排到排成一排的6个空位中的5个空位上，且甲乙不相邻的排列数.

【详解】（1）第一步，捆绑甲乙两名同学种；第二步，把有限制条件（相邻）的同学，

甲乙看作整体和其他三名同学一起全排列，其排列方法有种.

由分步乘法计数原理知，满足条件的排列方法有（种）

（2）将“空位”看成一名同学（他还没来），除了甲，乙剩下的三名同学和一个空位，

形成五个间隔，让甲乙插入5个间隔得到，

然后三名同学和一个空位全排列得到，最后结果是（种）.

18．的展开式中所有项的系数之和为

(1)求的值；

(2)求展开式中第几项的系数最大.

【答案】(1)2

(2)第五项

【分析】（1）令可得所有系数之和，列方程求解即可.

（2）设第项系数最大，可能取2，4，6，列不等式组验证即可求得结果.

【详解】（1）当时，，即：，解得：.故a的值为2.

（2）的展开式的通项公式为：，，

设第项系数最大，要使系数最大，则为偶数，且只可能从2，4，6中选，

故，即：，

所以，

经验证：当时，符合.

所以的展开式中系数最大的项为第五项.

19．某玩具厂生产某种产品件的总成本：，又产品单价的平方与产品件数成反比，销售100件这样的产品的单价为50元.

(1)试写出总利润关于产品销售的件数的函数关系式；

(2)求当定为多少件，总利润最大.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由产品单价的平方与产品件数成反比，可得单价关于的关系式，再由利润=售价-成本，列出关系时即得函数.

（2）函数关于最值问题，需结合函数单调性，本题可由导数求函数单调性.

【详解】（1）设产品单价为元，又产品单价的平方与产品件数成反比，即，由题知，所以

总利润，

（2），

由，得，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，所以时，取极大值且为最大值.

当定为25件时，总利润最大.

20．已知.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先令，求出，再令，求出，从而可求得结果，

（2）对两求导后，再令可求得结果

【详解】（1）令，可得，

令，可得

所以；所以；

（2）因为，

则，

令，则

21．如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，，是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径.

(1)甲从到达处的走法有多少种；

(2)甲从必须经过到达处的走法有多少种；

(3)甲、乙以相同的速度同时出发，直到到达，处为止.他们在行走途中会相遇，则共有多少种走法.

【答案】(1)70

(2)36

(3)1810

【分析】（1）甲从到达处走法横向4步，纵向4步，列式计算即可.

（2）第一步甲从处出发到达处走法，第二步从处沿街的最短路径到达处走法，结合分步乘法原理计算即可.

（3）甲，乙两人沿各自的最短路径行走，可能在，，，，处相遇，结合分类加法分步乘法计数原理计算即可.

【详解】（1）甲由道路网处出发，随机地选择一条沿街的最短路径，

到达处需走8步，横向4步，纵向4步，故共有种走法.

（2）甲由道路网处出发，随机地选择一条沿街的最短路径，

到达处，需走4步，横向2步，纵向2步，有种走法，

从处沿街的最短路径到达处需走4步，横向2步，纵向2步，有种走法，

故共有种走法.

（3）甲，乙两人沿各自的最短路径行走，只可能在，，，，处相遇，

从处沿街的最短路径到达处有种走法，

故甲从处经过到达处的走法有种，

同理乙从处经过到达处的走法有种，

他们在处相遇的走法有种，

则共有种走法.

22．已知函数（其中为自然对数的底数）.

(1)求函数的最小值；

(2)求证：.

【答案】(1)-1；

(2)证明见解析

【分析】（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调性，再根据单调性即可求得函数的最值；

（2）由题意可得只需证明对于恒成立，令，利用导数证明即可.

【详解】（1）解：因为，所以，

所以当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以；

（2）证明：要证，

只需证明：对于恒成立，

令，则，

令，

当时，，

则即在上为增函数，

又因为，，

所以存在使得，

由，

得，即，即，

因为当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

令，

则，

所以在上单调递增，所以，

所以，所以，

即.

【点睛】方法点睛：对于证明函数不等式的题型，常用的方法是转证函数最值与0的大小关系.