


2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二下学期4月月考数学试题含解析
展开2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二下学期4月月考数学试题
一、单选题
1.已知集合,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】进行交集、补集及并集的运算即可.
【详解】集合,,
∴或,,
∴,或,,
,
故选D.
【点睛】本题考查交集、并集以及补集的运算,描述法表示集合的概念,是基础题
2.某种细菌在生长过程中,每分钟分裂一次(由一个分裂为两个),经过2小时后,此细菌可由一个分裂成( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】D
【分析】分析题意可得每过分钟细菌数变为原来的倍,即可判断.
【详解】依题意,分钟后细菌的个数为个,分钟后,细菌的个数为个,
每过分钟细菌数量变为原来的倍,
所以小时后,即为分钟后,细菌的个数应为个.
故选:D.
3.已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若的终边与圆心在原点的单位圆交于,且为第四象限角,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据象限得出的范围,再根据单位圆的性质得出的值,再根据三角函数定义和正弦的倍角公式得出答案.
【详解】在单位圆上,
,解得,
为第四象限角,
,则,
,,所以,
故选:B.
4.图是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的,其中,如果把图中的直角三角形继续作下去,记,,,的长度构成的数列为,则=( )
A.52 B.
C.10 D.100
【答案】C
【分析】由几何关系得,即可求出等差数列的通项,再求得的通项,可得结果.
【详解】由题意知,,且都是直角三角形,
所以,且,
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以,由,
则.
故选:C
5.已知为,公差不为0的等差数列,且成等比数列,则数列的前六项和为( )
A. B. C.3 D.8
【答案】A
【分析】设公差为,根据已知列出关系式,可求出,进而根据等差数列的前项和公式,即可得出答案.
【详解】设公差为,则,,,
由已知成等比数列,可知,
即有,
整理可得,,解得或(舍去),
所以.
所以,数列的前六项和为.
故选:A.
6.的等差数列中,数列是等比数列且、是方程的两个根,则( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据等差、等比数列的下标和性质求出、,即可得解.
【详解】因为且,所以,解得或,
又,所以,
因为、是方程的两个根,所以,所以,,
又,所以(舍去)或,
所以.
故选:C
7.已知等比数列的各项均为正数,目,则( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【分析】利用的等比数列的下标和性质推得,再根据对数的运算结合等比数列下标和性质,即可求得答案.
【详解】由题意等比数列的各项均为正数,目,
则,故,
所以
,
故选:C
8.下列说法中正确的是( )
A.若,则
B.若,且,则
C.关于的不等式对于任意的都成立,则
D.函数的最小值为4
【答案】B
【分析】对于选项A,可以通过举例判断选项A错误;对于选项B,可以通过作差与0进行比较,从而判断出选项B的正误;对于选项C,因为也满足条件,所以可知选项C错误;对于选项D,通过换元,得到函数,再利用函数的单调性求出函数的最小值,从而判断选项D错误.
【详解】选项A,当时,有,显然不成立,故选项A错误;
选项B,因为,又,且, 所以,即,故选项B正确;
选项C,当时,因为对于任意的都成立,所以选项C错误;
选项D,令,则,由基本不等式知,,当且仅当,即时取等号,又因为,所以,故选项D错误.
故选:B.
二、多选题
9.已知为等差数列,满足,为等比数列,满足,,则下列说法正确的是( )
A.数列的首项为1 B.
C. D.数列的公比为
【答案】BCD
【分析】由可推得,即可判断A、B;由,,可推得,,即可判断C、D.
【详解】设的公差为,的公比为.
对于A,由,得,
整理可得,,所以不确定,故错误;
对于B,因为,所以有,故B正确;
对于C,因为,所以,故C正确;
对于D,由已知可得,,所以,故D正确.
故选:BCD.
10.下列命题中是真命题的是( )
A.“”是“”的充分不必要条件
B.命题“,”的否定是“:,”
C.把的图像向左平移个单位长度,得到的图像的解析式为
D.
【答案】ABD
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A,根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断B,根据三角函数的变换规则及诱导公式判断C,根据余弦函数的性质判断D;
【详解】解:对于A:由,即,解得或,所以由推得出,由推不出,所以是的充分不必要条件,故A正确;
对于B:命题“,”的否定是“:,”,故B正确;
对于C:把的图像向左平移个单位长度,得到,故C错误;
对于D:因为在上单调递减,又,所以,所以,故D正确;
故选:ABD
11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》,1852年,英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲,1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”,此定理讲的是关于整除的问题,现将 1 到 2023 这 2023 个数中,能被 2 除余 1 且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列,其前n项和为,则下面对该数列描述正确的是( )
A. B. C. D.共有 203 项
【答案】BD
【分析】推导出该数列中的数字被10除余1,从而,由此逐项判断即可.
【详解】现将1 到 2023 这 2023 个数中,能被 2 除余 1 且被 5 除余 1 的数按从小到大的顺序排成一列,
则该数列中的数字能被10除余1,故能被10整除,
,即,,
对于A选项:当时,,故A选项错误;
对于B选项:,故B选项正确;
对于C选项:,故C选项错误;
对于D选项:,即,又,解得:,故D选项正确.
故选:BD.
12.已知数列,下列结论正确的有( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,则数列是等比数列
D.若已知为等差数列的前n项和,,则
【答案】ABD
【分析】直接利用叠加法可判断选项A;利用累乘法可判断B项;利用与的关系罗列前三项即可根据等比数列定义判断C项;利用等差数列的前n项和公式的性质计算即可判断D项.
【详解】选项A.由,即
则
,故A 正确.
选项B.由则,累乘可得
故,故B正确;
选项C. 由,可得当时,
当时,得,
当时,得,
显然,所以数列不是等比数列,故C错误.
选项D. 由等差数列前项和公式可得,设公差为d,
则 ,所以,故D正确.
故选:ABD
三、填空题
13.在各项为正数的数列中,,,则________.
【答案】4
【分析】由题设易知为等比数列且,利用等比数列通项公式求得,再由求结果.
【详解】由题意且,即为等比数列且,令公比为,
所以,则,故.
故答案为:4
14.如图,在正方体中,M,N分别为AC,的中点,则异面直线MN与所成的角为______.
【答案】45°/
【分析】连接BD,可得与所成角即与所成角即可得
【详解】如图,连接BD,,由M,N分别为BD,的中点知,易知与所成角即与所成角,即为45°.
故答案为:45°
15.已知为等差数列,,则________________
【答案】26
【分析】由已知求得公差,结合,即可求解.
【详解】设等差数列的公差为,
因为,
可得,解得,
又由.
故答案为:26.
16.已知数列,下列结论正确的有________________.
①若数列是等比数列,数列和数列均为等比数列
②若数列满足,则且{}的通项公式为:
③若为等差数列,且为其前n项和,对任意的,均有成立
④已知数列为项数n=2023的等差数列,奇数项和为,偶数项和为,则
【答案】③④
【分析】设等比数列的公比为,利用等比数列的定义可判断①;数列满足,当时,,两式相减计算求解可判断②;由题中条件可得,,所以,则数列前6项和最小,即可判断③;奇数项和为,偶数项和为,又,即可判断④.
【详解】设等比数列的公比为,,
则是以为公比的等比数列;
,时,,
此时不是等比数列,故①错误;
数列满足,当时,,
两式相减,所以,所以,
当时,,也符合上式,所以,故②错误;
由得,即;由得,得,
所以,
则数列前6项和最小,即有成立,故③正确;
奇数项和为,
偶数项和为,
又,则,故④正确.
故答案为:③④.
四、解答题
17.已知等差数列中的前三项为: ;
(1)求的通项公式;
(2)令,记数列的前项和为,试写出 的表达式.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由等差中项的定义可得的值,从而求得的通项公式;
(2)根据等比数列前项和公式可解.
【详解】(1)由等差中项得,,
解得,又可知,
所以的通项公式.
(2)由(1)得,可知数列为等比数列,
所以.
18.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为,b,c,.
(1)求∠B;
(2)若b=2,c=2a,求△ABC的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由已知结合正弦定理即可求得,进而可求B;
(2)由余弦定理及已知条件可求的值,进而利用三角形面积公式求得答案.
【详解】(1)在△ABC中,由正弦定理,因为,
所以,又,
∴,所以,即,
因为,所以;
(2)因为b=2,c=2a,由余弦定理得,
∴,解得,则,
所以△ABC的面积.
19.已知:为数列的前n项和,
(1)求证:是等比数列
(2)求数列{}的前项和.
【答案】(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)由题意可得,从而有,,从而得证;
(2)由(1)可得,利用分组求和即可.
【详解】(1)证明:因为,
所以,
即,
所以,
所以,
所以是等比数列,首项为,公比;
(2)解:由(1)可知,,
所以,
所以.
20.在三棱柱中,平面,、分别为和的中点,
△是边长为 1 的等边三角形.
(1)证明:∥平面
(2)证明:;
(3)若 ,求二面角 的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)30°
【分析】(1)利用线面平行的判定定理求证即可;
(2)先利用线面垂直的判定定理证明线面垂直,再由线面垂直证明线线垂直;
(3)建立空间直角坐标系,利用向量的夹角公式求二面角.
【详解】(1)作的中点,连接,,
∵∥, ∥,
∴∥,
又∵,∴四边形为平行四边形,
∴∥,
又∵平面,平面,
∴∥平面.
(2)连接,
∵平面,且∥,
∴平面,∴,
又∵,∴,,
∵,
∴,即,
又∵平面,平面,,⊄平面,
∴平面,
又∵平面,∴.
(3)以为坐标原点,,,分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
即,,
,,
设平面的法向量为,
则,即,
令,解得,,故,
设平面的法向量为,
则,即,
令,解得,,故,
∴ ,且二面角为锐角,
∴二面角 的大小.
21.在等差数列中,,其前项和为,等比数列的各项均为正数,,公比为,且.
(1)求与;
(2)证明:.
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】(1)根据给定条件,列出关于公差d,公比q的方程组,解方程组即可计算作答.
(2)由(1)的结论,求出,再利用裂项相消法求和推理作答.
【详解】(1)设的公差为,因,,,则,而,解得:,,
于是得,
所以,.
(2)由(1)知,则,,
于是得,
所以.
22.我国某企业为了进一步增加市场竞争力,计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本万,每生产(千部)手机,需另投入可变成本万元,且,由市场调研知,每部手机售价万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.(利润销售额-固定成本-可变成本)
(1)求2023年的利润(万元)关于年产量(千部)的函数关系式;
(2)2023年产量为多少(千部)时,企业所获利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1)
(2)产量为(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是万元
【分析】(1)根据已知条件,结合利润销售额-固定成本-可变成本的公式,分,两种情况讨论,即可求解.
(2)根据已知条件,结合二次函数的性质,以及基本不等式的公式,分别求解分段函数的最大值,再通过比较大小,即可求解.
【详解】(1)解:当时,
,
当时,,
故.
(2)解:若时,,
当时,万元,
当时,,
当且仅当,即时,万元,
故年产量为(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是万元.
黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题(解析版): 这是一份黑龙江省哈尔滨市第四中学校2023-2024学年高二上学期11月月考数学试题(解析版),共22页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高一下学期期中数学试题含解析: 这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高一下学期期中数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,双空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二下学期期中数学试题含解析: 这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高二下学期期中数学试题含解析,共14页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。