2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二下学期4月月考数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省佳木斯市第一中学高二下学期4月月考数学试题 一、单选题1．函数的单调递增区间为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先对函数求导，然后令导函数大于0解出不等式，并结合函数的定义域，即可得到本题答案.【详解】因为，所以，令，得或，又函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为，故选：C2．已知是等比数列，若，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等比数列性质可构造方程求得，根据等比数列通项公式可求得公比，由求得结果.【详解】设等比数列的公比为，，，，解得：，.故选：B.3．日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）约为，则净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为92%左右时净化费用变化率的（    ）A．16倍 B．20倍 C．25倍 D．32倍【答案】A【分析】先求出，再求出的值即得解.【详解】解：由题意可知，净化所需费用的瞬时变化率为，，，，即净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的16倍，故选：A．4．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】借助导数研究函数的单调性，又由特殊点，可解此题.【详解】由题意可得，令，得，可得在和上，，在上，，所以函数在和上为单调递增函数，在上为单调递减函数，又因为，所以C正确.故选：C5．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用求解.【详解】解：因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：B6．若函数在处有极大值，则实数的值为（    ）A．1 B．或 C． D．【答案】D【分析】利用函数的导数可得，解出的值之后验证函数在处取得极大值.【详解】函数，，函数在处有极大值，可得，解得或，当时，，时，时，在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值，不合题意.当时，，时，时，在上单调递增，在上单调递减，在处有极大值，符合题意.综上可得，.故选：D7．函数，若存在，对任意，，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知，函数存在最大值，利用导数求得，然后分、两种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围.【详解】由题意可知，函数在上存在最大值，令，其中，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，.①若，当时，，此时存在最大值；②若，则当时，存在使得，此时函数无最大值.综上所述，.故选：A.8．若函数有两个极值点，，且，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导，根据函数有两个极值点，， 由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围，再由，得到，利用导数法求解.【详解】因为，所以，令，因为函数有两个极值点，， 所以函数在上有两个不等实根，则，解得，因为，且，，所以，且，所以，．令函数，，则在上恒成立，故在上单调递增，则，即的取值范围为．故选：A【点睛】关键点睛：本题关键是根据题意，由在上有两个不等实根，求得a的范围，进而再根据，得到的范围而得解. 二、多选题9．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）A．是递增数列 B．C．当，或17时，取得最大值 D．【答案】BC【分析】根据，利用数列前n项和与通项之间的关系，求得通项公式后，再逐项判断.【详解】因为，所以两式相减得，当时，适合上式，所以，因为，所以数列是递减数列，由，解得，且所以当或17时，取得最大值，所以，，.故选：BC10．若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231､354等都是“凸数”，用这五个数字组成无重复数字的三位数，则（    ）A．组成的三位数的个数为30B．在组成的三位数中，奇数的个数为36C．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20【答案】BD【分析】根据位置特殊限制的排列问题和“凸数”的概念分析，结合选项依次求解即可.【详解】A：5个数组成无重复的三位数的个数为，故A错误；B：奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为，故B正确；C：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有个；②十位数为4，则有个；③十位数为3，则有个，所以共有个，故C错误；D：由选项C的分析可知，D正确；故选：BD.11．关于函数，有如下列结论，其中正确的结论是（    ）A．函数有极小值也有最小值B．函数有且只有两个不同的零点C．当时，恰有三个实根D．若时，，则t的最小值为2【答案】ABD【分析】求出导函数，由确定函数的单调区间和极值，再由函数的变化趋势，画出函数的大致图像，数形结合，即可求解.【详解】由，得，令，解得：，令，解得：或，故在区间和区间上单调递减，在区间上单调递增，而，，且当时，，当时，，当时，，画出函数的图像，如图所示：故的极小值是函数的最小值，故A选项正确；函数存在2个不同的零点，故B选项正确；当时，只有两个根，故C选项错误；若时，，则，所以的最小值为2，故D选项正确.故选：ABD.12．已知函数的导函数为，则（    ）A．有最小值 B．有最小值C． D．【答案】ACD【分析】对选项逐一判断，首先对求导得到，再对进行求导，得出的单调性及零点，即可得出，最值及单调性，即可判断AB的正误，由的增减性可知的凹凸性，由此可知的大小，即可判断C的正误，再构造，同理可判断D的正误.【详解】由于函数的导函数为，则，又得其导函数为，故在定义域为单调递增函数，知无最小值，故B错误；当时，，故；当时，，但是指数函数始终增长的最快，故；又因为故一定存在，使得，所以在时为单调递减，在时为单调递增，故在处取得最小值，故A正确；又在定义域为单调递增函数，可知在为凹函数，可得，即，故C正确；令，易知故，得其导函数故在定义域为单调递增函数；故则，故D正确.故选：A C D 三、填空题13．若，则x的值为_______【答案】4【分析】利用排列组合公式，将方程化为关于x的一元二次方程求解，注意x的范围.【详解】由题设，，整理得：，可得或，又，故.故答案为：414．某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”——秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有______种．【答案】240【分析】先把5名学生分成人数为的四组, 再把四组学生分给宋元数学四大家讲述,根据等量分组及排列计算即可得到.【详解】先把5名学生分成人数为的四组,共有种分法,再把四组学生分给宋元数学四大家讲述则有种分法,所以分配方案有种.故答案为: 240.15．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元），当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，若该同学生产的产品当年全部售完，该同学的这一产品所获年利润最大值是______（万元）.（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）【答案】5【分析】根据题意建立函数关系式,写出分段函数的形式，结合函数解析式分别求出函数的最大值，比较即可得到结论.【详解】根据题意可得，当时，年利润，当时，年利润，所以年利润,当时，（当且仅当，即时取等号），当时，年利润，所以，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以当时，函数取最大值，因为，所以当时，函数取最大值，故答案为：.16．已知函数，若存在唯一整数，使得成立，则实数a的取值范围为______．【答案】【分析】首先将不等式整理为，分别构造函数与，然后利用导数研究的函数性质并将作出其图象，进而将原问题转化为两函数图像的交点问题，结合函数图象即可求出参数的取值范围.【详解】已知，即，令，，，则，易知在上单调递增，又，，所以存在实数，使得，且当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，又，是过定点的直线，所以画出函数和的大致图象如图所示，令，，，由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，而，所以，因为，所以，即实数a的取值范围是．故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将不等式变形为，并构造函数与，将原问题转化为两函数图像的交点问题，进而通过导数画出与的大致图像，通过数形结合的方法求出参数的取值范围，该方法是解决函数整数解问题或者零点问题的一种重要手段. 四、解答题17．求下列函数的导数：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用简单复合函数的求导法则即可求解；（2）求商的导数，，由复合函数的的导数得.【详解】（1）因为，所以.（2）.18．已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．(1)求函数的解析式；(2)当时，求函数的最值．【答案】(1)；(2)，． 【分析】（1）利用导数的几何意义及点在曲线上，结合函数极值的定义即可求解；（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解.【详解】（1）因为，所以，由题意可知，，，，所以，解得，，，所以函数的解析式为，经检验适合题意，所以；（2）由（1）知，令，则，解得，或，当时，； 当时，；所以在和上单调递增，在上单调递减，当时，取的极大值为，当时，取得极小值为，又，，所以，．19．数列的前n项和为满足，已知．(1)求；(2)在①；②这两个条件中任选一个作为条件，求数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)(2)选①：选②： 【分析】（1）利用与的关系求得的通项公式；（2）求出的通项公式，利用分组求和求得.【详解】（1）由题意，当时，，解得，当时，由,    可得,两式相减，可得:，整理得，又，∴数列是以1为首项，为公比的等比数列，∴.（2）选①：由(1)可得，.则.选②：由(1)可得，则.20．设函数，，其中，(1)若的图象恒在图象的上方，求m的取值范围；(2)讨论关于x的方程根的个数.【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）根据题意将不等式等价转化为恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，进而求解即可；（2）将方程等价转化为，仍令，利用导数研究函数的单调性，利用数形结合的方法求解即可.【详解】（1）因为的图象恒在图象的上方，所以对一切恒成立，则恒成立，令，则，令，则函数在上单调递减，又，所以当时，；当时，，即当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，即，所以m的取值范围；（2）方程等价于分离参数后的方程，仍令，则由（1）知：在上单调递增；在上单调递减，又当时，，当时，，即直线轴和是函数图象的两条渐近线，所以的大致图象如图所示，观察图象可知：当或时根的个数为1；当时，根的个数为2；当时，根的个数为0.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．21．已知，.(1)若函数，在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若对任意的，恒成立，求整数a的最小值.【答案】(1)(2)2 【分析】（1）对函数求导，根据题意将问题等价转化为当时恒成立，令，得到，结合二次函数的图象和性质可得；（2）转化原不等式为在区间内恒成立，令，求导分析单调性，即可求解.【详解】（1）由题意知：，则，因为在上单调递增，所以当时，恒成立，即恒成立，令，则，而.因为，所以.所以（此时），所以.（2）由题意得，整理得，因为，所以原命题等价于在区间内恒成立，令，则，令，易知在区间内单调递增，又，，故存在唯一的，使得，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故当时，函数有极大值，也即为最大值，，故，又，故，又a为整数，故a的最小整数值为2.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．已知函数．(1)讨论在上的单调性；(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；（2）令，原不等式即证，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.【详解】（1）由题意得．因为，所以．当时，，，所以在上单调递减．当时，令，则．①若，则，当时，，所以在上单调递增；②若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：方程，即，因为，则，令，，所以函数在上单调递增，因为方程有两个实根，，令，，则关于t的方程也有两个实根，，且，要证，即证，即证，即证，由已知，所以，整理可得，不妨设，即证，即证，令，即证，其中，构造函数，，所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.