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    2022-2023学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二下学期4月月考数学试题含解析

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    这是一份2022-2023学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二下学期4月月考数学试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    山东省威海市乳山市银滩高级中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题1.假设是两个事件,且,则下列结论一定成立的是(    ).A BC D【答案】A【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式,对选项逐一分析判断即可【详解】解:对于A选项,由可知,故A正确;对于B选项,成立的条件为是两个独立事件,故B错误;对于C选项,由故当时才有,故C错误;对于D选项,若,即是两个独立事件时成立,故D错误.故选:A2.将英文单词中的6个字母重新排列,其中字母b不相邻的排列方法共有(    A120 B240 C480 D960【答案】B【分析】先排除b之外的其余四个字母,再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可.【详解】由题意可先排除b之外的其余四个字母,有种排法,再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b种放法,故字母b不相邻的排列方法共有(种),故选:B3.小陈和小李是某公司的两名员工,在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为,且两人同时加班的概率为,则某个工作日,在小李加班的条件下,小陈也加班的概率为(    A B C D【答案】C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记小李加班为事件A小陈加班为事件B,则故在小李加班的条件下,小陈也加班的概率为.故选:C.4.已知函数的导函数,则的大致图象是(    A BC D【答案】B【分析】求出,判断奇偶性,并结合特殊值验证,即可判断出答案.【详解】由可知,即为奇函数,故AD错误;,故C错误,B正确,故选:B5.目前,国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.某公司对员工的BMI值调查结果显示,男员工中,肥胖者的占比为;女员工中,肥胖者的占比为,已知公司男、女员工的人数比例为21,若从该公司中任选一名肥胖的员工,则该员工为男性的概率为(    A B C D【答案】D【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率,再根据条件概率计算即可.【详解】设公司男、女员工的人数分别为则男员工中,肥胖者有人,女员工中,肥胖者有人,设任选一名员工为肥胖者为事件,肥胖者为男性为事件.故选:D.6.已知函数有两个零点,且存在唯一的整数,则实数的取值范围为(    A B C D【答案】D【分析】将函数有两个零点,转化为的图象有两个交点问题,利用导数判断的单调性,作出其大致图象,数形结合,列出能保证存在唯一的整数的不等关系,即可求得答案.【详解】由题意函数有两个零点,得有两个正实根,,则,解得,当时,上单调递增;时,上单调递减;故当时,函数取得极大值,且时,;当时,时,作出函数的大致图象,如图所示:直线的图象的两个交点的横坐标即分别为由题意知,又因为存在唯一的整数,所以又直线的图象有两个交点,由图可知:,即故选:D.【点睛】关键点睛:本题是根据函数零点的个数求参数的取值范围问题,关键在于要保证存在唯一的整数,因此解答时利用导数判断函数的单调性,作出函数图象,数形结合,列出保证条件成立的不等式,求解答案.7.已知函数对于任意时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是(    A B C D【答案】B【分析】将不等式化为,构造进而化为,利用导数研究单调性,再得上恒成立,构造研究其最值,即可得参数范围.【详解】由题设,即,上述不等式等价于,故上递增,则有上恒成立,所以上恒成立,记,令,则时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以上递减,在上递增,则,故.故选:B.【点睛】关键点点睛:由并构造函数并研究单调性,将问题转化为上恒成立,再次构造研究最值求范围.8.已知,设,则(   A BC D【答案】D【分析】将化为,和b比较,确定变量,构造函数,利用其导数判断其单调性,即可比较大小,再比较,即可得答案.【详解】由于故设函数时,,即上单调递增,由于,即,故故选:D【点睛】关键点睛:比较的大小时,要注意根据两数的结构特征,确定变量,从而构造函数,这是比较大小关键的一步,然后利用导数判断函数的单调性,即可求解. 二、多选题9.已知事件满足,则(    A.若,则B.若互斥,则C.若,则相互独立D.若相互独立,则【答案】BC【分析】根据事件的关系以及运算,互斥事件的概率加法公式,独立事件的概率公式,条件概率的概率公式等即可求出.【详解】对A,因为,所以,错误;B,因为互斥,所以,正确;C,因为,所以,而所以,正确;D,因为相互独立,所以相互独立,所以,,错误.故选:BC.10.已知在的展开式中,前3项的系数成等差数列,则下列结论正确的是(    A.展开式中所有项的系数之和为 B.展开式中系数最大项为第C.展开式中有项有理项 D.展开式中不含的一次项【答案】CD【分析】根据题意列关于的方程,求出值,然后根据二项展开式的通项公式以及赋值法,结合组合数的性质可解答此题.【详解】的展开式中,前3项的系数成等差数列,,解得:1(舍去).时,所有项的系数和为:错;通项为:展开式中第3项与第4项系数最大,错,6时为有理项,共2项,对;由上面通项可令,解得不为整数,展开式不含一次项,对.故选:11.对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称为函数拐点.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若函数,则(    A一定有两个极值点B.函数R上单调递增C.过点可以作曲线2条切线D.当时,【答案】BCD【分析】对求导,得出,没有极值点,可判断AB;由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C;求出三次函数的对称中心,由于函数的对称中心为,可得,由倒序相加法求出所给的式子的值,可判断D.【详解】由题意知恒成立,所以R上单调递增,没有极值点,A错误,B正确;设切点为,则切线方程为代入点,解得所以切线方程为C正确;易知,令,则时,,所以点的对称中心,所以有,即所以所以D正确.故选:BCD.12.关于函数,下列判断正确的是(    A的极小值点B.函数图像上的点到直线的最短距离为C.函数有且只有1个零点D.不存在正实数k,使成立【答案】AB【分析】对A:求导,利用导数求极值点;对B:结合导数的几何意义分析运算;对C:求导,利用导数分析零点问题;对D:结合选项C中的结论分析判断.【详解】对A:函数的定义域为时,;当时,故函数上单调递减,在上单调递增,所以的极小值点,故A正确;B:设直线与函数的图像相切,切点坐标为,可得,解得所以,即切点为则切点到直线的距离为即函数图像上的点到直线的最短距离为,故B正确;C:因为,所以时,;当时,故函数上单调递减,在上单调递增,则所以函数不存在零点,故C不正确,D:由选项C可知:,即恒成立,所以存在正实数k,使恒成立,故D错误.故选:AB【点睛】方法点睛:本题主要考查利用导数研究函数的极值、导数的几何意义、零点问题和不等式问题等,基础性与综合性并举,对考生的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等思维能力要求比较高.注意极值点和零点都是数,不是点,不要混淆.对于选项B,注意数形结合,将直线平移,使之与曲线相切,求出切点,再利用点到直线的距离公式求解. 三、填空题13.函数有一条斜率为2的切线,则切点的坐标为_____________【答案】【分析】设切点坐标为,利用导数的几何意义即可求解.【详解】设切点坐标为,由函数可得因为函数有一条斜率为2的切线,所以解得,所以切点坐标为故答案为:.1450张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5n至少为________【答案】15【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式,进而解出n.【详解】用X表示中奖票数,P(X≥1)所以,解得n≥15.故答案为:15.15 的展开式中不含的各项系数之和______.【答案】128【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开,展开后对每一项进行合并,合并后使得项幂次为0,确定项数后即可得到答案.【详解】利用二项展开式的通项公式进行展开,设项为项为项为.展开后得对每一项进行合并得 ,因为展开式中不含,所以,又得取值为得取值为,故得.代入展开式得,又得取值为,分别带入后各项系数之和为.故答案为:12816.已知对,不等式恒成立,则实数的最小值是__________.【答案】/【分析】,令,求导后判断上单调递增,从而问题转化为恒成立.,令,求导得到,进而可求解.【详解】恒成立.求导得,所以上单调递增.所以恒成立.,则所以当时,单调递增;时,单调递减.所以.,即实数的最小值是.故答案为:【点睛】思路点睛:构造函数是基本的解题思路,因此观察题目所给的数的结构特点,以及数与数之间的内在联系,合理构造函数,利用导数判断单调性是解题的关键. 四、解答题17.(1)求值:2)若,且.求的值.【答案】(1 时, 时, ;(2【分析】(1)根据组合数的性质推出n的取值范围,再分类求解;2)先求出n的值,再运用赋值法求解.【详解】(1)由组合数的性质,可得解得.又因为所以,当时,原式,当时,原式2)由,得,解得(舍去),所以时,由已知,得,得,令,得所以18.已知mn是正整数,fx)=(1x)m(1x)n的展开式中x的系数为71)对于使fx)的x2的系数为最小的mn,求出此时x3的系数;2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值;(精确到0.01)3)已知(12x)8的展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,求【答案】(15;(22.02;(3【分析】(1)由题可得,即得;2)利用二项式展开式可得;3)由题可得a再列出不等式组,即解.【详解】(1)根据题意得,即mn7fx)中的x2的系数为变形为n7m代入上式得x2的系数为m27m21故当m3m4时,x2的系数有最小值为9m3n4时,x3的系数为m4n3时,x3的系数为即此时x3的系数为5.2f(0.003)(10.003)4(10.003)3×0.003×0.003≈2.023)由题意可得,a70展开式的通项为k56时系数最大,此时,b7×28.19.已知函数.(1),求曲线的极值;(2)求函数的单调区间;(3)若对任意,恒有成立, 求实数的取值范围.【答案】(1)极小值为(2)答案见解析(3) 【分析】(1)先求函数导数,再求导函数在定义区间上零点.列表分析导函数符号变化规律得函数极值;2)由导函数为零点得,共分四种情况进行讨论单调区间即可;3)先分离,;再分离的最小值【详解】(1)函数的定义域为,,, 解得(舍去),, 时,;当时,所以上递减, 上递增, 所以的极小值为.2,可得, 上单调递减, 上单调递增;, 上单调递减, 时,上单调递增;, 可得上单调递增;, 上单调递减, 上单调递增.3)由题意可知, , 恒有成立, 等价于,由(2)知, ,上单调递增,, 所以原题等价于, 恒有成立, ., ,故当,恒成立,.【点睛】方法点睛:导数与函数的单调性1)函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果,则在该区间为增函数;如果,则在该区间为减函数.2)函数单调性问题包括:求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法.20.已知函数为自然对数的底数).1)求函数的单调区间;2)设函数,存在实数,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(10;(2【详解】试题分析:(1)求导得,根据导数的符号即可求出 的单调区间(2)如果存在,使得 成立,那么 由题设得,求导得 由于含有参数,故分情况讨论,分别求出 的最大值和最小值如何分类呢?由,又由于 故以01为界分类 当时, 上单调递减;当 时,上单调递增以上两种情况都很容易求得 的范围当时,上单调递减, 上单调递增,所以最大值为 中的较大者,最小值为,一般情况下再分类是比较这两者的大小,但 ,由(1)可知,而 ,显然,所以 无解 试题解析:(1函数的定义域为R时,,当 时,上单调递增,在 上单调递减 2)假设存在,使得 成立,则时,上单调递减,,即时,上单调递增,,即时,上单调递减,上单调递增,所以,即 ――――――――由(1)知,上单调递减,,而 ,所以不等式无解综上所述,存在,使得命题成立 考点:1、导数的应用;2、不等关系21.某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题,第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,若两题都答对,则得40分,否则得0分;第二轮从B类的5个问题中任选两题作答,每答对1题得30分,答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛,已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.A类的5个问题中,小明只能答对4个问题;在B类的5个问题中,小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率;(2)以晋级复赛的概率大小为依据,小芳和小明谁更容易晋级复赛?【答案】(1)(2)小明更容易晋级复赛. 【分析】(1)对A类的5个问题进行编号:,设小明只能答对4个问题的编号为:,列出所有的样本空间,即可求出小明在第一类得40分的概率;2)依题意能够晋级复赛,则第一轮答对两题得分,第二轮答对一题得分;或第一轮答对两题得分,第二轮答对两题得分;或第一轮答错两题得分,第二轮答对两题得分;或第一轮答对一题得分,第二轮答对两题得分;分别求出小芳和小明晋级复赛的概率,进行比较得出结论.【详解】(1)对A类的5个问题进行编号:,第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,则有种,设小明只能答对4个问题的编号为:则小明在第一轮得40分,有种,则小明在第一轮得40分的概率为:2)由(1)知,小明在第一轮得40分的概率为则小明在第一轮得0分的概率为:依题意,两人能够晋级复赛,即两轮总积分不低于60当第一轮答对两题得分,第二轮答对一题得分时,小芳和小明晋级复赛的概率分别为:当第一轮答对两题得分,第二轮答对两题得分时,小芳和小明晋级复赛的概率分别为:当第一轮答错一题得分,第二轮答对两题得分时,小芳和小明晋级复赛的概率分别为:当第一轮答错两题得分,第二轮答对两题得分时,小芳晋级复赛的概率分别为:小芳晋级复赛的概率为:小明晋级复赛的概率为:小明更容易晋级复赛.22.已知函数)当时,求曲线在点处的切线方程;)当时,试讨论函数的单调性; )设斜率为的直线与函数的图象交于两点,证明:【答案】(I;(II)当时,上单调递增,在上单调递减,当时,上单调递增,在上单调递减,当时,上单调递增;(III)证明见解析.【详解】试题分析:(I)当时,,根据,求得切线方程为;(II)定义域为,求导得,由得,,对分成类,结合函数图像进行分类讨论的单调区间;(III)先用分析法分析,要证,即证,因,即证,令),即证),令利用导数可证明上述不等式成立.试题解析:)依题意得,则则曲线在点处的切线方程为. 函数的定义域为,时,由得,时,,由得,,或;由得,,所以上单调递增,在上单调递减时,,由得,,或;由得,所以上单调递增,在上单调递减时,,在上,所以上单调递增. 综上,时,上单调递增,在上单调递减;时,上单调递增,在上单调递减;时,上单调递增. )依题意得要证,即证,即证),即证),)则在(1+)上单调递增,=0,即同理可证:①②),即【方法点晴】求函数的单调区间、极值、最值是统一的,极值是函数的拐点,也是单调区间的划分点, 而求函数的最值是在求极值的基础上,通过判断函数的大致图像,从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.函数的零点就是的根,所以可通过解方程得零点,或者通过变形转 化为两个熟悉函数图象的交点横坐标. 

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