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2022-2023学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二下学期4月月考数学试题含解析
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这是一份2022-2023学年山东省威海市乳山市银滩高级中学高二下学期4月月考数学试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
山东省威海市乳山市银滩高级中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题1.假设是两个事件,且,,则下列结论一定成立的是( ).A. B.C. D.【答案】A【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式,对选项逐一分析判断即可【详解】解:对于A选项,由,,可知,故A正确;对于B选项,成立的条件为是两个独立事件,故B错误;对于C选项,由,,故当时才有,故C错误;对于D选项,若,故,即是两个独立事件时成立,故D错误.故选:A.2.将英文单词“”中的6个字母重新排列,其中字母b不相邻的排列方法共有( )A.120种 B.240种 C.480种 D.960种【答案】B【分析】先排除b之外的其余四个字母,再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可.【详解】由题意可先排除b之外的其余四个字母,有种排法,再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b,有种放法,故字母b不相邻的排列方法共有(种),故选:B3.小陈和小李是某公司的两名员工,在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和,且两人同时加班的概率为,则某个工作日,在小李加班的条件下,小陈也加班的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解.【详解】记“小李加班”为事件A,“小陈加班”为事件B,则,故在小李加班的条件下,小陈也加班的概率为.故选:C.4.已知函数为的导函数,则的大致图象是( )A. B.C. D.【答案】B【分析】求出,判断奇偶性,并结合特殊值验证,即可判断出答案.【详解】由可知,则,即为奇函数,故A,D错误;又,故C错误,B正确,故选:B5.目前,国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康.某公司对员工的BMI值调查结果显示,男员工中,肥胖者的占比为;女员工中,肥胖者的占比为,已知公司男、女员工的人数比例为2:1,若从该公司中任选一名肥胖的员工,则该员工为男性的概率为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率,再根据条件概率计算即可.【详解】设公司男、女员工的人数分别为和,则男员工中,肥胖者有人,女员工中,肥胖者有人,设任选一名员工为肥胖者为事件,肥胖者为男性为事件,则,,则.故选:D.6.已知函数有两个零点,且存在唯一的整数,则实数的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】将函数有两个零点,转化为的图象有两个交点问题,利用导数判断的单调性,作出其大致图象,数形结合,列出能保证存在唯一的整数的不等关系,即可求得答案.【详解】由题意函数有两个零点,即,得有两个正实根,设,则,令,解得,当时,,在上单调递增;当时,在上单调递减;故当时,函数取得极大值,且,又时,;当时,;当时,,作出函数的大致图象,如图所示:直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为,由题意知,又,因为存在唯一的整数,所以,又直线与的图象有两个交点,由图可知:,即,故选:D.【点睛】关键点睛:本题是根据函数零点的个数求参数的取值范围问题,关键在于要保证存在唯一的整数,因此解答时利用导数判断函数的单调性,作出函数图象,数形结合,列出保证条件成立的不等式,求解答案.7.已知函数对于任意时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】将不等式化为,构造进而化为,利用导数研究单调性,再得在上恒成立,构造研究其最值,即可得参数范围.【详解】由题设,即,令且,上述不等式等价于,而,故在上递增,则有在上恒成立,所以在上恒成立,记,令,则,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以在上递减,在上递增,则,故.故选:B.【点睛】关键点点睛:由并构造函数并研究单调性,将问题转化为在上恒成立,再次构造研究最值求范围.8.已知,设,则( )A. B.C. D.【答案】D【分析】将化为,和b比较,确定变量,构造函数,利用其导数判断其单调性,即可比较大小,再比较,即可得答案.【详解】由于,故设函数 ,当时,,即在上单调递增,由于,故,即,又,故,故选:D【点睛】关键点睛:比较的大小时,要注意根据两数的结构特征,确定变量,从而构造函数,这是比较大小关键的一步,然后利用导数判断函数的单调性,即可求解. 二、多选题9.已知事件满足,则( )A.若,则B.若与互斥,则C.若,则与相互独立D.若与相互独立,则【答案】BC【分析】根据事件的关系以及运算,互斥事件的概率加法公式,独立事件的概率公式,条件概率的概率公式等即可求出.【详解】对A,因为,所以,错误;对B,因为与互斥,所以,正确;对C,因为,所以,而,所以,正确;对D,因为与相互独立,所以与相互独立,所以,,错误.故选:BC.10.已知在的展开式中,前3项的系数成等差数列,则下列结论正确的是( )A.展开式中所有项的系数之和为 B.展开式中系数最大项为第项C.展开式中有项有理项 D.展开式中不含的一次项【答案】CD【分析】根据题意列关于的方程,求出值,然后根据二项展开式的通项公式以及赋值法,结合组合数的性质可解答此题.【详解】在的展开式中,前3项的系数成等差数列,,解得:或1(舍去).当时,所有项的系数和为:,错;通项为:展开式中第3项与第4项系数最大,错,当,6时为有理项,共2项,对;由上面通项可令,解得不为整数,展开式不含一次项,对.故选:.11.对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若函数,则( )A.一定有两个极值点B.函数在R上单调递增C.过点可以作曲线的2条切线D.当时,【答案】BCD【分析】对求导,得出,没有极值点,可判断A,B;由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C;求出三次函数的对称中心,由于函数的对称中心为,可得,由倒序相加法求出所给的式子的值,可判断D.【详解】由题意知,,恒成立,所以在R上单调递增,没有极值点,A错误,B正确;设切点为,则,切线方程为,代入点得,即,解得或,所以切线方程为或,C正确;易知,令,则.当时,,,所以点是的对称中心,所以有,即.令,又,所以,所以,D正确.故选:BCD.12.关于函数,下列判断正确的是( )A.是的极小值点B.函数图像上的点到直线的最短距离为C.函数有且只有1个零点D.不存在正实数k,使成立【答案】AB【分析】对A:求导,利用导数求极值点;对B:结合导数的几何意义分析运算;对C:求导,利用导数分析零点问题;对D:结合选项C中的结论分析判断.【详解】对A:函数的定义域为,,当时,;当时,;故函数在上单调递减,在上单调递增,所以是的极小值点,故A正确;对B:设直线与函数的图像相切,切点坐标为,由,可得,解得,所以,即切点为,则切点到直线的距离为,即函数图像上的点到直线的最短距离为,故B正确;对C:因为,所以,当时,;当时,;故函数在上单调递减,在上单调递增,则,所以函数不存在零点,故C不正确,对D:由选项C可知:,即恒成立,所以存在正实数k,使恒成立,故D错误.故选:AB.【点睛】方法点睛:本题主要考查利用导数研究函数的极值、导数的几何意义、零点问题和不等式问题等,基础性与综合性并举,对考生的逻辑推理能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力等思维能力要求比较高.注意极值点和零点都是数,不是点,不要混淆.对于选项B,注意数形结合,将直线平移,使之与曲线相切,求出切点,再利用点到直线的距离公式求解. 三、填空题13.函数有一条斜率为2的切线,则切点的坐标为_____________【答案】【分析】设切点坐标为,利用导数的几何意义即可求解.【详解】设切点坐标为,由函数可得,因为函数有一条斜率为2的切线,所以,解得,所以切点坐标为,故答案为:.14.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为________.【答案】15【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式,进而解出n.【详解】用X表示中奖票数,P(X≥1)=,所以,解得n≥15.故答案为:15.15. 的展开式中不含的各项系数之和______.【答案】128【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开,展开后对每一项进行合并,合并后使得项幂次为0,确定项数后即可得到答案.【详解】利用二项展开式的通项公式进行展开,设项为,项为,项为.展开后得对每一项进行合并得 ,因为展开式中不含,所以,又得取值为,得取值为,故得.代入展开式得,又得取值为,分别带入后各项系数之和为.故答案为:12816.已知对,不等式恒成立,则实数的最小值是__________.【答案】/【分析】,令,求导后判断在上单调递增,从而问题转化为,恒成立.而,令,求导得到,进而可求解.【详解】令,则,恒成立.对求导得,所以在上单调递增.所以,恒成立.而令,则令,所以当时,单调递增;当时,单调递减.所以.故,即实数的最小值是.故答案为:【点睛】思路点睛:构造函数是基本的解题思路,因此观察题目所给的数的结构特点,以及数与数之间的内在联系,合理构造函数,利用导数判断单调性是解题的关键. 四、解答题17.(1)求值:.(2)若,且.求的值.【答案】(1) 时, ; 时, ;(2)【分析】(1)根据组合数的性质推出n的取值范围,再分类求解;(2)先求出n的值,再运用赋值法求解.【详解】(1)由组合数的性质,可得解得.又因为,所以或,当时,原式,当时,原式;(2)由,得,即,解得或(舍去),所以,当时,由已知,得,令,得,令,得,所以18.已知m,n是正整数,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为7.(1)对于使f(x)的x2的系数为最小的m,n,求出此时x3的系数;(2)利用上述结果,求f(0.003)的近似值;(精确到0.01)(3)已知(1+2x)8的展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,求.【答案】(1)5;(2)2.02;(3).【分析】(1)由题可得,即得;(2)利用二项式展开式可得;(3)由题可得a,再列出不等式组,即解.【详解】(1)根据题意得,即m+n=7,①f(x)中的x2的系数为,将①变形为n=7-m代入上式得x2的系数为m2-7m+21=+,故当m=3或m=4时,x2的系数有最小值为9.当m=3,n=4时,x3的系数为;当m=4,n=3时,x3的系数为.即此时x3的系数为5.(2)f(0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈+×0.003++×0.003≈2.02.(3)由题意可得,a==70,∵展开式的通项为,由即∴k=5或6时系数最大,此时,b=7×28,∴.19.已知函数.(1)当时,求曲线的极值;(2)求函数的单调区间;(3)若对任意及时,恒有成立, 求实数的取值范围.【答案】(1)极小值为(2)答案见解析(3) 【分析】(1)先求函数导数,再求导函数在定义区间上零点.列表分析导函数符号变化规律得函数极值;(2)由导函数为零点得,共分四种情况,,,进行讨论单调区间即可;(3)先分离得,即;再分离得的最小值【详解】(1)函数的定义域为,当时,, 解得(舍去),, 当时,;当时,,所以在上递减, 在上递增, 所以的极小值为.(2),令可得,①当时, 当,,在上单调递减, 当,,在上单调递增;②当时, 当,,在上单调递减, 当时,,在和上单调递增;③当时, 由可得在上单调递增;④当时, 当,,在上单调递减, 当,,在和上单调递增.(3)由题意可知, 对时, 恒有成立, 等价于,由(2)知, 当时,在上单调递增,, 所以原题等价于时, 恒有成立, 即.在时, 由,故当时,恒成立,.【点睛】方法点睛:导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果,则在该区间为增函数;如果,则在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括:①求函数的单调区间,常常通过求导,转化为解方程或不等式,常用到分类讨论思想;②利用单调性证明不等式或比较大小,常用构造函数法.20.已知函数(为自然对数的底数).(1)求函数的单调区间;(2)设函数,存在实数,,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1)0;(2)或.【详解】试题分析:(1)求导得,根据导数的符号即可求出 的单调区间(2)如果存在,使得 成立,那么 由题设得,求导得 由于含有参数,故分情况讨论,分别求出 的最大值和最小值如何分类呢?由得 ,又由于 故以0、1为界分类 当时, 在上单调递减;当 时,在上单调递增以上两种情况都很容易求得 的范围当时,在上单调递减, 在上单调递增,所以最大值为 中的较大者,最小值为,,一般情况下再分类是比较这两者的大小,但 ,由(1)可知,而 ,显然,所以 无解 试题解析:(1)∵函数的定义域为R,∴当时,,当 时,∴在上单调递增,在 上单调递减 (2)假设存在,使得 成立,则.∵∴当时,, 在上单调递减,∴ ,即②当时,, 在上单调递增,∴ ,即③当时,在,, 在上单调递减,在,, 在上单调递增,所以,即 ――――――――由(1)知,在上单调递减,故,而 ,所以不等式无解综上所述,存在,使得命题成立 考点:1、导数的应用;2、不等关系21.某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题,第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,若两题都答对,则得40分,否则得0分;第二轮从B类的5个问题中任选两题作答,每答对1题得30分,答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛,已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中,小明只能答对4个问题;在B类的5个问题中,小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率;(2)以晋级复赛的概率大小为依据,小芳和小明谁更容易晋级复赛?【答案】(1);(2)小明更容易晋级复赛. 【分析】(1)对A类的5个问题进行编号:,设小明只能答对4个问题的编号为:,列出所有的样本空间,即可求出小明在第一类得40分的概率;(2)依题意能够晋级复赛,则第一轮答对两题得分,第二轮答对一题得分;或第一轮答对两题得分,第二轮答对两题得分;或第一轮答错两题得分,第二轮答对两题得分;或第一轮答对一题得分,第二轮答对两题得分;分别求出小芳和小明晋级复赛的概率,进行比较得出结论.【详解】(1)对A类的5个问题进行编号:,第一轮从A类的5个问题中任选两题作答,则有共种,设小明只能答对4个问题的编号为:,则小明在第一轮得40分,有共种,则小明在第一轮得40分的概率为:;(2)由(1)知,小明在第一轮得40分的概率为,则小明在第一轮得0分的概率为:,依题意,两人能够晋级复赛,即两轮总积分不低于60分当第一轮答对两题得分,第二轮答对一题得分时,小芳和小明晋级复赛的概率分别为:;;当第一轮答对两题得分,第二轮答对两题得分时,小芳和小明晋级复赛的概率分别为:;;当第一轮答错一题得分,第二轮答对两题得分时,小芳和小明晋级复赛的概率分别为:;;当第一轮答错两题得分,第二轮答对两题得分时,小芳晋级复赛的概率分别为:;小芳晋级复赛的概率为:;小明晋级复赛的概率为:;,小明更容易晋级复赛.22.已知函数,.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)当时,试讨论函数的单调性; (Ⅲ)设斜率为的直线与函数的图象交于两点(),证明:.【答案】(I);(II)当时,在,上单调递增,在上单调递减,当时,在,上单调递增,在上单调递减,当时,在上单调递增;(III)证明见解析.【详解】试题分析:(I)当时,,根据,,求得切线方程为;(II)定义域为,求导得,由得,,,对分成类,结合函数图像进行分类讨论的单调区间;(III)先用分析法分析,要证,即证,因,即证,令(),即证(),令利用导数可证明上述不等式成立.试题解析:(Ⅰ)依题意得,则,,则曲线在点处的切线方程为. (Ⅱ)∵函数的定义域为,且, 当时,由得,,,①当时,,由得,,或;由得,,所以在,上单调递增,在上单调递减③ 当时,,由得,,或;由得,,所以在,上单调递增,在上单调递减③当时,,在上,,所以在上单调递增. 综上,当时,在,上单调递增,在上单调递减;当时,在,上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增. (Ⅲ)依题意得,要证,即证,因,即证,令(),即证(),令()则,∴在(1,+)上单调递增,∴=0,即()①同理可证:②综①②得(),即【方法点晴】求函数的单调区间、极值、最值是统一的,极值是函数的拐点,也是单调区间的划分点, 而求函数的最值是在求极值的基础上,通过判断函数的大致图像,从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.函数的零点就是的根,所以可通过解方程得零点,或者通过变形转 化为两个熟悉函数图象的交点横坐标.
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