2021-2022学年青海省海西州都兰县高级中学高二下学期3月月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年青海省海西州都兰县高级中学高二下学期3月月考数学（理）试题

一、单选题

1．积分（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据定积分的几何意义求值即可.

【详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，

所以.

故选：B

2．若复数z满足（ 是虚数单位），则 在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论.

【详解】由，所以，

所以，在复平面内对应的点是，位于第一象限．

故选：A．

3．已知复数z满足，且z的共轭复数为，则（    ）

A． B．2 C．4 D．3

【答案】B

【分析】根据共轭复数的概念可求出，从而根据复数模的公式可求出答案.

【详解】因为，所以，所以．

故选：B.

4．函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】对阴影部分的面积分成两部分，根据定积分的几何意义写出面积和，再利用定积分的可加性进行积分运算.

【详解】所求面积为．

故选：.

【点睛】本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当时，，其积分值是负数，且该负数的绝对值或相反数才是对应阴影部分的面积．

5．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用复数的除法运算化简，再利用复数模长公式求出结果.

【详解】解：，

故选：．

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模长运算.

复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：

(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；

(2)对分子、分母分别进行乘法运算；

(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．

复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．

6．若复数z满足z（2﹣i）＝1+4i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数的除法运算求出复数z，再写出z的共轭复数．

【详解】由z（2﹣i）＝1+4i，

得z＝＝＝，

所以复数z的共轭复数为．

故选：B．

7．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足（为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（    ）

A．6万千克 B．8万千克 C．7万千克 D．9万千克

【答案】B

【分析】由已知求参数a，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.

【详解】设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则（）．

∵，

∴，即，则，

当时，，当时，，

∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，

故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．

故选：B．

8．由函数的图象与轴围成图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意可得，根据微积分基本定理计算可得；

【详解】解：依题意可得

故选：B

9．若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知条件推导出，，令，利用导数求出函数的最小值，由此能求出实数的取值范围．

【详解】解：对恒成立，

，，

令，

则，

当时，，当时，，

∴函数在上递减，在上递增，

所以

．

实数的取值范围是，．

故选：C．

10．函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可.

【详解】由题意可知，

当或时，，当时，，

所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，.

故选：A.

11．设函数在上存在导函数，对任意实数，都有，当时，，若，则实数的最小值为

A．-1 B． C． D．1

【答案】C

【分析】构造函数，因为，所以，在为单调递减函数,在根据，可得，即得为偶函数,再将，等价变形，可得，结合的单调性，即可求解.

【详解】设，则，

因为当时，，则

所以当时，为单调递减函数,

因为，

所以，

又因为，

所以，即为偶函数,

将不等式，等价变形得，即,

又因为为偶函数，且在单调递减，则在是单调递增，，解得，所以的最小值为.

【点睛】本题考查了构造函数，函数的单调性，奇偶性及绝对值不等式的解法，难点在于准确的构造新函数，再根据函数的性质进行求解，属中档题.

12．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，，利用导数研究函数的单调性，得出，的单调性，得出，令，可得出，再由得出的，令，得出，从而得出结果．

【详解】解：先证，令，则，

可知在上单调递增，所以，即，

令，则，所以；

再证即证，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即，

令，则，所以，从而．

故选：C.

二、填空题

13．已知复数满足，则______.

【答案】

【分析】设，求出，由复数相等解出即可.

【详解】设，则，，

则，解得，故.

故答案为：.

14．______．

【答案】

【分析】根据定积分的几何意义即可求解.

【详解】由可得，

根据定积分的几何意义表示面积的，

所以，

故答案为：.

15．对于函数有下列命题：

①在该函数图象上一点（﹣2，f（﹣2））处的切线的斜率为；

②函数f(x)的最小值为；

③该函数图象与x轴有4个交点；

④函数f(x)在（﹣∞，﹣1]上为减函数，在（0，1]上也为减函数.

其中正确命题的序号是_____.

【答案】①②④

【解析】求出导数代入-2可得判断①；利用函数的单调性求出极值可判断②④；分别求函数等于零的根可判断③.

【详解】x≤0时，f(x)＝2xe，f′(x)＝2（1+x）e，故f′（﹣2）＝，①正确；

且f(x)在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，故x≤0时，f(x)有最小值f（﹣1）＝，

x＞0时，f(x)＝在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故x＞0时，f(x)有最小值f（1）＝

故f(x)有最小值，②④正确；

令得，令得，故该函数图象与x轴有3个交点，③错误；

故答案为：①②④

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数判断函数的单调性、求函数的最值一定注意定义域.

16．设为虚数单位，则的虚部为______．

【答案】

【解析】根据复数除法运算化简复数，进而得结果

【详解】

故答案为：

【点睛】易错点睛：本题考查了复数的实部和虚部，在解题时一般利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算，化简为的形式，b就是这个复数的虚部，一定要注意符号，考查学生的运算求解能力，属于易错题.

三、解答题

17．已知是虚数单位，复数，R.

(1)当复数为实数时，求的值；

(2)当复数纯虚数时，求的值.

【答案】(1)或；

(2).

【分析】(1)虚部为零，则为实数；

(2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数.

【详解】（1）当时，得；

（2）当时，得.

18．已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）求函数在区间上的最大值与最小值.

【答案】（1）单调递增区间为；单调减区间为和；（2）；.

【解析】（1）求出导函数，令，求出单调递增区间；令，求出单调递减区间.

（2）求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可求解.

【详解】1函数的定义域是R，

，

令，解得

令，解得或，

所以的单调递增区间为，

单调减区间为和；

2由在单调递减，

在单调递增，

所以，

而，，

故最大值是.

19．(1)已知函数在与时都取得极值，求、的值.

(2)曲线的一条切线的斜率为2，求该切线的方程.

【答案】(1)；(2).

【分析】(1)利用函数的极值列方程，求参数；

(2)利用导数的几何意义求解.

【详解】(1)因为，所以.

由，

解得，.

(2)由函数y可得，，

令，得，故切点横坐标为1，

当时，，

所以切点坐标为，

所以切线方程为，即.

20．设函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值.

【答案】（1）；（2）极大值为，极小值为.

【解析】（1）首先计算得到切点为，再求导代入得到斜率，利用点斜式即可得到切线方程.

（2）首先求出的单调区间，再根据单调区间即可得到函数的极值.

【详解】（1），切点为.

，.

曲线在点处的切线方程为，即.

（2）

令，解得，.

，，为增函数，

，，为减函数，

，，为增函数.

则函数的极大值为，

极小值为.

【点睛】本题第一问考查导数的几何意义，第二问考查导数的极值问题，属于简单题.

21．（1）求导函数.

（2）求定积分

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式以及求导法则进行计算即可；

（2）根据定积分的几何意义进行求解.

【详解】（1）对求导得；

（2）令，则，

∴表示的是上半圆的面积，

∴.

22．已知函数．

(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；

(2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.

（2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.

【详解】（1）因为的定义域为，

所以．

由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝－2，

得，解得a＝1．

此时．

当和时，；

当时，．

所以函数f(x)在和上单调递增，在上单调递减，

所以当x＝1时，函数f(x)取得极小值．

（2）由a＝1得．

因为对于任意，当时，恒成立，

所以对于任意，当时，恒成立，

所以函数在上单调递减．

令，，

所以在[1，2]上恒成立，

则在[1，2]上恒成立．

设，

则．

当时，，所以函数F(x)在上单调递减，

所以，

所以，故实数m的取值范围为．

【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.