2022-2023学年甘肃省平凉市陕西师范大学平凉实验中学高二下学期第一次考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年甘肃省平凉市陕西师范大学平凉实验中学高二下学期第一次考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省平凉市陕西师范大学平凉实验中学高二下学期第一次考试数学试题 一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据关于什么对称什么不变来解答.【详解】点关于平面对称的点的坐标为故选：C.2．某物体的运动路程s（单位：）与时间t（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用瞬时速度的定义直接求解.【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于4，即该物体在时的瞬时速度为4m/s.故选：D3．函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则（    ）A．1 B．3 C．6 D．2【答案】C【分析】根据导数得出函数与抛物线在点处的切线的斜率，根据已知两切线相同即可得出答案.【详解】，则，则在点处的切线的斜率为，，则，则在点处的切线的斜率为，函数的图象在点处的切线也是抛物线的切线，则，即，故选：C.4．设函数的导数为，且，则（    ）A．0 B．4 C． D．2【答案】C【分析】可先求函数的导数，令求出即可.【详解】由，令得，解得.故选：C.5．函数的大致图像为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出函数的定义域，然后求导，判断单调性；另一方面，当时，从函数值的正负性加以判断，最后选出答案.【详解】函数的定义域为，，当时，，所以在上单调递增；当或时，，所以在和上单调递减，显然当时，，当时，.故选：B.6．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】求导，设为“拉格朗日中值点”，由题意得到，构造，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案.【详解】，令为函数在上的“拉格朗日中值点”，则，令，则在上恒成立，故在上单调递增，又，，由零点存在性定理可得：存在唯一的，使得.故选：B.7．已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．【详解】由图象知的解集为，的解集为，或，所以或，解集即为．故选：D．8．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由求得的减区间，由此列不等式来求得的取值范围.【详解】函数的定义域是，.当时，，在上单调递增，不符合题意.当时，由解得（负根舍去），所以在区间递增；在区间递减，依题意，函数在区间内存在单调递减区间，所以，解得，所以的取值范围是.故选：A【点睛】利用导数研究含参数的函数的单调性，再求导后，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可考虑二次函数的性质来决定.研究恒成立问题和存在性问题的方法，要注意端点的取值. 二、多选题9．下列求导运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解.【详解】对于A, ,故A错误，对于B，，故B正确，对于C，，故C正确，对于D，，故D错误，故选：BC10．正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得.【详解】方法一：，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误；方法二：，故A正确；由正方体的性质可知，，，，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：AC．11．已知函数，若，其中，则（    ）A． B．C． D．的取值范围是【答案】BCD【分析】先对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，数形结合即可得解．【详解】由，则，令，解得或，当或，，此时单调递增区间为和；当，，此时单调递减区间为，又，，则作出函数的图像如图所示：设，则，，故A错误；又，所以，对照系数得，，故B，D正确；又，则，解得，故C正确．故选：BCD．12．函数（e为自然对数的底数），则下列选项正确的有（    ）A．函数的极大值为1B．函数的图象在点处的切线方程为C．当时，方程恰有2个不等实根D．当时，方程恰有3个不等实根【答案】BD【分析】求出函数的导数，利用导数探讨极大值判断A；利用导数的几何意义求出切线方程判断B；分析函数性质并结合函数图象判断CD作答.【详解】对于A：，在区间，上，，单调递增，在区间上，，单调递减，所以的极大值为，A错误；对于B：，，则函数图象在点处的切线方程为，即，B正确；对于C、D：因为在上递增，在上递减，，，在上递增，且在上的取值集合为，在上的取值集合为，因此函数在上的取值集合为，的极大值为，的极小值为，作出函数的部分图象，如图，观察图象知，当或时，有1个实数根；当或时有2个实数根；当时，有3个实数根，C错误，D正确.故选：BD【点睛】思路点睛：研究方程根的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现. 三、填空题13．函数的驻点为x＝_____________【答案】【分析】导数为0的点为驻点，求导计算即可.【详解】，令.故答案为：14．曲线在点处的切线方程为_________.【答案】【分析】先求出导函数，求出导数值（即在点处的切线斜率），再利用斜截式写出方程【详解】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，由直线方程的斜截式可得切线方程为.故答案为：15．已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式的解集是____________．【答案】【分析】构造函数，再将转化为，进而根据的单调性求解即可.【详解】令，则，所以在上单调递增，由，得，即，所以，解得.所以不等式的解集是.故答案为：.16．如图是一边长为单位：的正方形铁片，现沿虚线将铁片的四角截去四个边长均为单位：的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为 ___________.【答案】2【分析】由题意分析无盖方盒的底面是正方形，设边长为，则，，再利用求导法求解最值.【详解】解：由题意得：设无盖方盒的底面边长为，则，则无盖方盒的容积为：，，得，令，解得；令，解得函数在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为 .故答案为：2 四、解答题17．已知函数在处的切线方程为.(1)求的解析式；(2)求函数图象上的点到直线的距离的最小值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题可得，然后利用导数的几何意义即求；（2）由题可得切点到直线的距离最小，即得.【详解】（1）∵函数，∴的定义域为，，∴在处切线的斜率为，由切线方程可知切点为，而切点也在函数图象上，解得，∴的解析式为；（2）由于直线与直线平行，直线与函数在处相切，所以切点到直线的距离最小，最小值为，故函数图象上的点到直线的距离的最小值为.18．已知函数在其图象上的点处的切线方程为．(1)求a，b，c的值；(2)求的单调区间与极值．【答案】(1)；(2)单调减区间为，单调增区间为，的极小值为，无极大值. 【分析】（1）求原函数的导函数，由点在切线上求出c，再由求出参数a、b即可.（2）由（1）得，根据的符号判断的单调区间，并确定极值情况.【详解】（1）由题设，，且，又，解得．（2）由（1）得：，∴，令，解得；令，解得，∴的单调减区间为，单调增区间为，∴当时，的极小值为，无极大值．19．已知函数，.(1)当时，求的单调区间；(2)若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围.【答案】(1)的单调增区间为，；的单调减区间为(2) 【分析】（1）由导数得出的单调区间；（2）由得出，由单调性得出函数的简图，进而由直线与的图象有三个不同的交点，得出的取值范围.【详解】（1）解：，当时，由，解得或；由，解得，故的单调增区间为，；的单调减区间为.（2）因为在处取得极大值，所以，即.所以，，由解得，，由，解得或；由，解得，则函数在，上单调递增，在上单调递减.故在处取得极大值，在处取得极小值，当，当，则函数的简图如下图所示：因为直线与函数的图象有三个不同的交点，结合的简图可知，的取值范围是.20．已知函数．（1）求证：在区间上，函数的图象恒在函数的图象的下方;（2）若存在，，使成立，求满足上述条件的最大整数m．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由题转化为在区间上恒成立，即证；（2）由题知，即求.【详解】（1）设，则，在区间上，，，所以当时，，单调递减，且，故时，，所以，所以在区间上函数的图象恒在函数的图象的下方．（2）由，得，当时，，所以，．存在，，使成立等价于，即，，故满足条件的最大整数为4．21．已知函数．（1）求函数图象上所有点处的切线的倾斜角范围；（2）若，讨论的单调性．【答案】（1）；（2）单调性见解析.【分析】（1）根据导函数的取值范围，求出斜率的范围，从而得到倾斜角的范围；（2）对函数求导，再根据判别式对导函数的符号进行讨论，即可得到函数的单调性.【详解】（1）函数的定义域为，，当且仅当时，等号成立，所以切线的倾斜角．（2），．令，，当时， 的对称轴为，所以在为增函数，，所以，即在上单调递增；当时， ，的两实根为，，，所以在，上单调递增；在，上单调递减；当时，，在上恒成立，所以在上单调递增．综上所述，当时，所以在上单调递增；当时， 在，上单调递增；在，上单调递减.【点睛】本题主要考查含参函数的单调性问题，解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错．根据参数的范围判断导函数的符号时，要充分借助函数的图象进行判断；分类讨论要确保不重不漏，分类讨论结束之后要进行整合.22．已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】（1）对分类讨论即可得出函数的单调区间；（2）由题可得在上恒成立，对分类讨论利用导数研究其单调性极值与最值即可得出的范围．【详解】（1）∵，，∴，①当时，则，所以在上单调递增；②当时，则由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由题意得 ，∵当时，函数的图象恒不在轴的上方，∴在上恒成立，由，，则.令，则，①若，则，故在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴，从而，不符合题意；②若，当时，，在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴，从而在上，不符合题意；③若，则在上恒成立，∴在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，从而恒成立；综上，可得实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.