2022-2023学年湖南省永州市祁阳县第四中学高二下学期第一次阶段考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖南省永州市祁阳县第四中学高二下学期第一次阶段考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省永州市祁阳县第四中学2022-2023学年高二下学期第一次阶段考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据排列数的定义可求得结果.【详解】由排列数的定义得.故选：D.【点睛】本题考查排列数的表示，考查排列数定义的应用，考查计算能力，属于基础题.2．函数在处的瞬时变化率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】函数在处的瞬时变化率为曲线在该点处的导数，计算即可．【详解】解：由函数，则，当时，；所以函数在处的瞬时变化率为．故选：．3．函数的图象如图所示，它的导函数为，下列导数值排序正确的是（　　）A．B．C．D．【答案】A【分析】由函数的图象，先判断它的单调性，然后根据函数图象斜率的变化，判断的增减性，从而求解．【详解】解：由函数的图象可知：当时，单调递增，，，，随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，.故选：A．4．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如1230，2022），则首位为3的“六合数”共有（    ）A．18个 B．12个 C．10个 D．7个【答案】C【分析】首位为3，其余3个数字的和为3，有111，012，003三种，分别计算可得．【详解】首位为3，其余3个数字的和为3，则有111，012，003三种，所以“六合数”个数为．故选：C．【点睛】本题考查排列的应用，根据题意确定各种可能情形是解题关键．5．若函数在上可导，且，则（    ）A． B．C． D．以上答案都不对【答案】C【解析】由已知等式两边同时求导，取，求出的值，利用二次函数的对称性和单调性即可解决问题．【详解】，,,,，图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为：，.故选：C．【点睛】本题考查导数的运算，求出的值是关键，属于中档题．6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将问题转化为在上恒成立，由此可得，根据二次函数最值的求法可求得结果.【详解】在上单调递减，在上恒成立，即在上恒成立，又，，实数的取值范围为.故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，本题解题的基本思路是将问题转化为恒成立的问题，进而采用参变分离的方法将问题转化为二次函数最值的求解问题.7．要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．【详解】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.综上所述，共有种不同的排法.故选：C．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．8．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，由题意可得，，所以在上递增，然后由可得答案.【详解】因为（），所以，所以，令，则，，所以在上递增，因为，所以，所以，所以，所以，所以，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数单调性比较大小，解题的关键是根据题意构造函数，求导后，结合已知条件可得在上递增，然后利用函数的单调性比较大小即可，考查数学转化思想，属于较难题. 二、多选题9．满足方程的的值可能为（    ）A．1 B．3 C．5 D．【答案】AB【解析】利用组合数的性质求解【详解】解：因为所以或，或，或，或时，，故舍去；时，，故舍去；时，；时，；故选: AB【点睛】本题考查组合数性质，基础题.10．下列求导正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABD【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果.【详解】对于，的导数为，故选项正确；对于，的导数为，故选项正确；对于，的导数为，故选项错误；对于，的导数为，故选项正确，故选：.11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（    ）A．若任意选择三门课程，则选法种数为35B．若物理和化学至少选一门，则选法种数为30C．若物理和历史不能同时选，则选法种数为30D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，则选法种数为20【答案】ACD【分析】A选项，直接利用组合知识进行求解；B选项，分物理和化学选一门和物理、化学都选，两种情况下利用组合知识求出选法，求和即可；C选项，先求出物理和历史同时选的选法，从而求出物理和历史不能同时选的选法；D选项，只选物理，不选化学，只选化学，不选物理，物理、化学都选，三种情况下的选法求和即可.【详解】对于A，选法种数为，故A正确．对于B，若物理和化学选一门，其余两门从剩余的五门中选，有种选法；若物理和化学都选，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法．故共有种选法，故B错误．对于C，物理和历史同时选，有种选法，故不同时选的选法种数为，故C正确．对于D，只选物理，不选化学，则历史也不选，有种选法；只选化学，不选物理，有种选法；若物理、化学都选，则历史不选，有种选法．故共有种选法，故D正确．故选：ACD．12．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则k的取值可以为（    ）A．1 B．e C．4 D．【答案】CD【分析】根据给定条件可得最大值不大于0，再分类探讨的最大值即可计算作答.【详解】依题意，函数的定义域为，求导得：，当时，在上单调递增，无最大值，且，不符合题意，从而有，当时，，当时，，即在上递增，在上递减，因此，当时，，令，，显然在上单调递减，而，因，不等式恒成立，则必有，，于是有，所以，k的取值可以为4或.故选：CD【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题. 三、填空题13．已知，则________.【答案】27【分析】根据排列组合的公式化简求解可得结果.【详解】由得，，解得，.所以本题答案为27.【点睛】本题考查排列组合的公式，熟记公式，认真计算，属基础题.14．若曲线与曲线在交点处有公切线，则__________.【答案】6【分析】若曲线与曲线在交点处有公切线，则切点的坐标相等且切线的斜率（切点处的导函数值）均相等，由此构造关于，的方程，解方程可得答案．【详解】，，曲线与曲线在交点处有公切线，且即，故答案为：615．将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只能填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有_________种.【答案】576【分析】根据分步计数原理进行求解即可.【详解】福字有16种填写方法，禄字有9种填写方法，寿字有4种填写方法，所以不同的填写方法有种，故答案为：57616．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】由题意可得方程恰有两个解，可转化为与有两个交点或与有两个交点，利用导函数研究单调性，作出图像，数形结合即可求解.【详解】方法一：由题知，方程即恰有两个解，设，则函数的图像与直线有两个交点，因为，所以当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，易知，当时，，时，，作出函数的图像与直线如图所示：当直线与函数的图像相切时，设切点坐标为，则，即，易得，所以当直线与函数的图像相切时，，由图像知，当时，直线与函数的图像恰有两个交点，即函数恰有两个零点，所以实数k的取值范围为.方法二：由题知，方程，即恰有两个解，设，则函数的图像与直线有两个交点，因为，设，所以在区间上单调递减，且，所以当时，，即，当时，，即，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，易知当时，，当时，，在同一平面直角坐标系中作出函数的图像及直线如图所示，由图像知，当时，函数的图像与直线恰有两个交点，即恰有两个零点，故实数的取值范围为.故答案为：【点睛】已知函数有零点，求参数的取值范围的两种常用方法：（1）分离参数法，先分离参数，再构造函数，将问题转化为函数的值域问题加以解决；（2）数形结合法，先利用函数与方程的关系将零点问题转化为方程解的问题，再对方程适当变形，转化为两个熟悉函数图像的交点问题，利用导数和数形结合思想即可求解. 四、解答题17．设函数（为常数），.曲线在点处的切线与轴平行（1）求的值；（2）求的单调区间和最小值；【答案】（1）；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为.【分析】（1）利用导数的运算求得导函数，根据导数的几何意义求得；（2）利用导数与函数的单调性的关系，在定义域内研究导数的正负区间，进而得到函数的单调区间，并求得最小值.【详解】（1），，因为曲线在点处的切线与轴平行，所以，所以.（2），定义域为，令得，当变化时，和的变化如下表：1－0＋增0减由上表可知的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为.18．（1）求不等式“”的解集. （2）已知，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用排列数公式化简不等式，解出的取值范围，即可得出符合条件的的值；（2）利用组合数公式化简等式，可解出的值，再利用组合数公式可计算出所求代数式的值.【详解】（1）由知且，由排列数公式，原不等式可化为，整理得，即，解得，因为，所以或， 所以不等式的解集为；（2），，化简得，即，解得或. ，，.【点睛】本题考查不等式与方程的求解，涉及排列数和组合数公式的应用，化简计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.19．为提高学生学习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.(1)求三位同学选择的课程互不相同的选课种数；(2)求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；(3)若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.【答案】(1)24(2)48(3)10 【分析】（1）问题等价于从4个元素中选3个元素的全排列，据此可得答案；（2）选择情况分为两步，先让甲、乙同学选，，随后让丙选择，据此可得答案；（3）选择情况可分为两类，第一类3人都选择《数学史》；第二类，3人中2人选《数学史》，1人选其他课程，据此可得答案.【详解】（1）由题可得，三位同学选择的课程互不相同的选课种数为；（2）选择情况分为两步，让甲、乙同学先选，有种可能，随后让丙选择，有4种可能性由分步计数原理可知，不同的选课种数共有48种；（3）选择情况可分为两类，第一类3人都选《数学史》，有1种方法；第二类，3人中2人选《数学史》，1人选其他课程，有种方法,由分类计数原理可知，不同的选课种数共有10种.20．已知函数f(x)＝x3－ax－1.（1） 当a=0时，求f(x)在点 (－1，-2)处的切线方程.（2）若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）．【分析】（1）当时，求出函数f(x)和导函数，进而利用点斜式方程写出切线方程；（2）在区间上为增函数，即在上恒成立，分离参数求出最值，可得a的取值范围．【详解】（1）当时，，，所以曲线在处切线斜率为，所以切线方程为：，即．（2）因为，且在区间上为增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以，即的取值范围为．21．已知函数（）．（1）若，讨论函数的单调性；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）．【分析】（1）求导可得，分，，三种情况讨论，即可；（2）参变分离，可转化为当时，有解，求的最小值即可.【详解】（1）．当时，，∴在上单调递增；当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减；当时，由，得或，由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减．（2）若至少存在一个，使得成立，则当时，有解．∵当时，，∴有解，令，，则．∵，∴在上单调递减，∴，∴，即，∴实数的取值范围．22．已知函数.（1）求函数的最小值；（2）已知实数为自然对数的底数，若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【分析】（1）对函数进行求导，通过导数判断出函数的单调性，进而可得最值；（2）将不等式转换为，构造函数，通过函数的单调性得在上恒成立，再求最值即可.【详解】解：（1）因为，故，令，得；令，得，故在上单调递减，在上单调递增，故函数的最小值为（2）由题意知，两边同时加上，得，即，设，则，故在上单调递增，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，则当时，，故在上单调递增；当时，，故在上单调减，故，故，故所求实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：将原不等式进行构造，利用函数的单调性转化为在上恒成立，利用分离参数思想再求最值即可.