2022-2023学年辽宁省名校联盟高二下学期4月联合考试数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省名校联盟高二下学期4月联合考试数学试题

一、单选题

1．已知，则（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】C

【分析】根据排列数、组合数定义求解．

【详解】∵，∴，解得（舍去）．

故选：C．

2．函数在区间上的平均变化率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平均变化率的定义计算．

【详解】，

故选：B．

3．已知向量，若，则（    ）

A．5 B． C．4 D．

【答案】D

【分析】由向量平行的坐标表示求得，再由向量的模的定义计算．

【详解】由题意，解得，即，

．

故选：D．

4．在等差数列中，，则的前11项和为（    ）

A．－88 B．－44 C．44 D．88

【答案】A

【分析】由等差数列通项公式的基本量法求得，然后由等差数列的前项和公式及等差数列的性质求解．

【详解】设的公差为，则，

，即，

所以，

故选：A．

5．1至9中的质数能够组成没有重复数字的整数的个数为（    ）

A．24 B．36 C．48 D．64

【答案】D

【分析】先得出1至9中的质数2，3，5，7，再排列组合即可.

【详解】由题意得1至9中的质数为2，3，5，7四个数，故能组成的无重复数字的整数有：，即D正确.

故选：D

6．足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动，为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关系，从某高校男女生中各随机抽取80名学生进行调查问卷，得到如下数据（）：

若有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，则m的最小值为（    ）

附：．其中．

A．17 B．15 C．13 D．11

【答案】B

【分析】由列联表计算观测值，根据有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关列出不等式，求出m的最小值.

【详解】因为有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，

所以，

即，因为在，时单调递增，

且，，

所以m的最小值为15.

故选：B.

7．设为数列的前n项积，若且，则当取得最小值时（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】C

【分析】通过等比数列定义及等比数列基本量计算求出通项公式，然后求出前n项积，利用指数函数单调性及二次函数知识求解最值即可.

【详解】由题易知，因为，所以，

所以数列是公比为的等比数列，

由，得，解得，所以，

所以

，要使取得最小值，则为奇数，且取最小值，

结合二次函数知识知时，满足为奇数，且取最小值，

所以当取得最小值时，，

故选：C.

8．已知两条不同的直线与曲线都相切，则这两直线在y轴上的截距之和为（    ）

A．－2 B．－1 C．1 D．2

【答案】A

【分析】设曲线上切点为，曲线上切点为，由切线斜率得，消去得，设，利用导数证明其有两解，并且两解的积为1，从而得出曲线上两个切点的横坐标积为1，写出切线方程得出纵截距并求和即得．

【详解】设曲线上切点为，曲线上切点为，

，，

因此有，消去得，

设，

，易知在上是增函数，

，，

因此在也即在上有唯一解，时，，递减，时，，递增，

，，

，而，

，

因此在和上各有一解．

设的解分别为，

即，又，所以也是的解，即，，

所以方程有两解且，

于是切线方程为，在轴上截距为，同理另一条切线在轴上截距是，

两截距和为．

故选：A．

【点睛】未知切点时求函数图象切线的方法：设切点为为，求出导函数，由导数的几何意义得出切线方程，然后代入已知条件求出切点坐标后即可得切线方程．

二、多选题

9．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，则（    ）

A．C的实轴长为4 B．C的离心率为

C．C和双曲线有共同的渐近线 D．C和椭圆的焦距相等

【答案】CD

【分析】根据双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，由求得m，进而得到双曲线的实半轴长和半焦距，然后逐项判断.

【详解】解：因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为120°，

所以，即，解得，

即，所以C的实轴长为，故A错误；

则 ，所以 ，故B错误；

因为C的渐近线方程为，又双曲线的渐近线方程为，故C正确；

C的焦距为，而椭圆的焦距为，所以相等，故D正确；

故选：CD

10．考研已成为当今大学生的热门选择.下表统计了某市2017—2022年研究生的报考人数，

由数据求得研究生报考人数y与年份代号x的回归直线方程为，且2021年研究生报考人数的预测值比实际人数多0.12万，则（    ）

A．x与y之间呈正相关关系

B．

C．年份每增加1年，研究生报考人数估计增加了1万

D．预测该市2023年研究生报考人数约为4.85万

【答案】ABD

【分析】结合题目数据求出，再利用线性回归直线方程过点，求出回归直线方程，然后逐项判断求解即可.

【详解】由表中数据知，随的增大而增大，所以与之间呈正相关关系，A项正确；

又，，

因为回归直线必过点，所以，

因为2021年研究生报考人数的预测值比实际人数多0.12万，

所以点在直线上，所以，解得，，

B项正确；

因为，所以年份每增加1年，研究生报考人数估计增加了0.5万，C项错误；

将代入，得，

所以预测该市2023年研究生报考人数约为4.85万，D项正确.

故选：ABD

11．已知数列中，，且点在函数的图象上，则下列结论正确的是（    ）

A．数列单调递增 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用数列单调性的定义可判断A选项；由结合不等式的基本性质可判断B选项；利用累加法结合不等式的基本性质可判断C选项；利用累乘法结合不等式的基本性质可判断D选项.

【详解】由题意可知，所以，所以，

当时，与矛盾，所以，则，

所以数列单调递增，A项正确；

又，所以，B项错误；

由上可知，

，

所以，C项正确；

由上可知，则（当且仅当时取得等号），

当时，，所以，D项正确．

故选：ACD．

12．已知函数在R上的导函数分别为 ，若 ，且为奇函数，则（    ）

A． 为偶函数 B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据条件求出 的对称轴和周期，以及 与 的关系，逐项分析即可.

【详解】由条件： ，令 ，则 ，

， ；

又 （m为常数），

…①，

令 ，则有…② ， …③，

②+③得： ， ，即 关于直线 对称，由题意 是奇函数，所以 关于点 对称，

是周期为 得周期函数，…④ ，

即 得图像是 向左平移一个单位再向下平移4个单位得到， 是偶函数，即 是奇函数，A错误；

又 关于直线 对称，  关于点 对称，即 ，B正确；

由④得 ，C正确；

又 关于点 对称， ， ，D错误；

故选：BC.

三、填空题

13．随机变量X服从正态分布，若，则________．

【答案】0.12

【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答.

【详解】因为随机变量X服从正态分布，，

所以.

故答案为：0.12

14．已知函数，则______．

【答案】

【分析】求出导函数，建立与的方程，求出，利用极限的运算及导数的定义求解即可.

【详解】当时，，所以，

又，

则，解得，

由定义可知，.

故答案为：

15．已知，若各项系数中只有最大，则正整数n的最小值为______．

【答案】16

【分析】根据二项式定理求出系数的通项，然后利用单调性列不等式，求解并检验即可得到答案.

【详解】由二项式定理可知，各项系数通项为，

由题意可知，即，解得，

当时，由，解得，

所以只有时，最大，符合题意，

故正整数的最小值为16.

故答案为：16

四、双空题

16．国际圆周率日是每年的3月14日，也是国际数学节．我国南北朝时期数学家祖冲之是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，他曾给出圆周率的两个近似值：（约率）与（密率），它们都可以用同时期数学家何承天的“调日法”得到．下面用调日法进行如下操作得到数列由于得到，由得到，由得到，继续计算…，若某次计算得出数值大于，与前面小于的数值继续计算得出新的数值；若某次计算得出数值小于，与前面大于的最小数值继续计算得出新的数值，以此类推，…，则_________；若，则________．

【答案】         

【分析】根据所列的具体项，寻求规律，计算得出结果.

【详解】由已知，接着，由得，

由得，，

由得，，

由得，，

由得，

由得，

由得，

由得，

已知圆周率的两个近似值：（约率）与（密率），即.

以此类推,从第8项开始，的分子、分母分别成等差数列.

即，

令，即，解得.

故答案为：；.

五、解答题

17．求下列函数的导函数．

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】根据导数的四则运算规则和复合函数运算规则求解.

【详解】（1） ；

（2） ；

（3） .

18．在①，②，③数列为等比数列这三个条件中任选两个，补充在下面的横线上，并解答问题．

记为正项等比数列的前n项和，已知_______．

(1)求数列的通项公式；

(2)设为数列的前n项和，若，求n的值．

注：如果选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）选①②，由等比数列前项和定义求得公比后可得通项公式；

选①③，由数列为等比数列，则其前3项也为等比数列，从而求得公比，即可得；

选②③，由数列为等比数列，则其前3项也为等比数列，从而求得公比，再由求得后即可得；

（2）由（1）得出，分组求和求得后，说明是递增数列，由特殊值得唯一解．

【详解】（1）选①，②：

设公比是，则，解得或（舍去）；

所以；

选①，③数列为等比数列：

设公比是，若，则，，数列不是等比数列，舍去，

因此，，，

数列是等比数列，则，

，

，解得（舍去），

所以满足题意，

；

选②，③数列为等比数列

设公比是，若，则，，数列不是等比数列，舍去，因此，

数列是等比数列，则，

，

，解得（舍去），

又，得，

所以；

（2）由（1），

，

，易知满足此方程，又是递增数列，因此是唯一解．

综上，．

19．某乡镇积极贯彻党的二十大精神，全面推进乡村振兴战略，大力发展优质水果特色产业，为农民增收助力.为提高水果的产量，该乡镇从4名男技术员和n名女技术员中抽取若干人进行果树管理技术指导.若一次抽出3人，则至少有1名男技术员的抽取方法有74种.

(1)若一次抽出3人，求在这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率；

(2)若一次抽取6人，记X表示6人中女技术员的人数，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据分类加法原理及组合数知识求出女技术员人数，然后根据条件概率的计算可得答案；

（2）确定X的可能取值，计算每个值对应的概率，即可得分布列，进而计算其期望.

【详解】（1）一次抽出3人，则至少有1名男技术员的抽取方法有种

由题意可知．即，整理得，

解得或（舍去），故共有5名女技术员.

若一次抽出3人性别相同的有种情况，其中3人都是男技术员有种情况，

故这3人性别相同的条件下都是男技术员的概率；

（2）由题意，X可能的取值为2，3，4，5，

，，

，，

所以的分布列为

故.

20．记是各项均不为零的数列的前n项和，已知．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将已知等式化简可得，再利用与的关系，整理得，即可得等差数列，求得，由相减法即可得数列的通项公式；

（2）根据裂项相消法求得数列的前n项和即可．

【详解】（1）因为，所以，即，

整理得，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，

则，于是有

当时，，且时，，不符合该式，

故；

（2）

所以.

21．如图，直四棱柱的底面是梯形，，点M为上一动点，E是MC上一动点．

(1)当随时，证明：平面BDE；

(2)若为等边三角形，当直线CM与平面ADE所成的角取得最大值时，求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析．

(2)．

【分析】（1）连接交于，连接，证明即可得证线面平行；

（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．

【详解】（1）连接交于，连接，如图，

，则，

又，所以，所以，所以，

平面，平面，

所以平面；

（2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，

由已知得平面，平面，则，

当为中点时，因为是等边三角形，因此，

而，平面，所以平面，此时直线与平面所成角为，是最大角．

设，则，，是等边三角形，由对称性知是中点，等于的高，即，

，，，，从而，

，，，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，

设平面的一个法向量是，

则，取，则，

，

由图知二面角是锐二面角，

所以二面角的余弦值是．

22．已知，为椭圆：的左、右焦点，与抛物线：有相同的焦点，与交于，两点，且四边形的面积为．

(1)求的方程；

(2)设斜率存在的直线经过，且与交于，两点，线段上是否存在一点，同时满足下面两个条件，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

①；

②取得最小值．

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）由椭圆与抛物线有相同的焦点，可得，，再由两图形的对称性结合四边形的面积，可求得，则不妨取，代入抛物线方程可求出，再将点的坐标代入椭圆方程，从而可求出，进而可求得椭圆方程；

（2）由题意设直线的方程为，，，，则由可得，将直线方程代入椭圆方程化简整理，再利用根与系数的关系，结合已知可得点在直线：上运动，设关于直线对称的点，连接交直线于点，当点与重合时，取得最小值，从而可求出点的坐标，则可得直线的方程，进而可求得点的坐标.

【详解】（1）由与抛物线：有相同的焦点可知，，

则，．

由抛物线与椭圆的对称可知，，两点关于轴对称，则轴，

因为四边形的面积为

所以，所以.

不妨取，代入，得，

解得，将点代入的方程得，

解得，，

故的方程为.

（2）由题意设直线的方程为，，，，

易知点在的外部，由三角形相似可知，，

因为，所以，

即，所以.

联立整理得，

所以，，

则，所以.①

因为点在直线上，所以，

即，所以.②

由①②得，，

整理得，

所以点在直线：上运动．

设关于直线对称的点，连接交直线于点．

当点与重合时，取得最小值．

又，则，设，则，且的中点在直线上，

所以，解得，

所以直线的方程为，

联立，解得，

故线段上存在满足条件的点，且的坐标为．

【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆与抛物线的综合问题，考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，第（2）问解题的关键是由，结合根与系数的关系，求出点所在的直线方程，再结椭圆的对称性可求出的最小值，从而可求出结果，考查计算能力和数形结合的能力，属于较难题.