2022-2023学年陕西省西安市高新第七高级中学（长安区第七中学）高二下学期第一次教学质量检测数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年陕西省西安市高新第七高级中学（长安区第七中学）高二下学期第一次教学质量检测数学（理）试题含解析，共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市高新第七高级中学（长安区第七中学）高二下学期第一次教学质量检测数学（理）试题 一、单选题1．函数从到的平均变化率为（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根据平均变化率的定义求解出从到的平均变化率.【详解】因为平均变化率.故选：B.2．下列各式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导数的运算法则求解即可判断.【详解】，∴A错误；，∴B错误；，∴C错误；，∴D正确．故选：D.3．下列推理是归纳推理的是（    ）A．A，B为定点，动点P满足，得P的轨迹为椭圆B．由，，求出，，，猜想出数列的前n项和的表达式C．由圆的面积，猜想出椭圆的面积D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【分析】根据归纳推理、演绎推理、类比推理的定义和特点，分析即可得到答案．【详解】由题意，A中，由一般到特殊的推理形式，所以是演绎推理；B中，由特殊到一般的推理形式，所以是归纳推理；C中，由特殊到特殊的推理形式，所以是类比推理；D中，由特殊到特殊的推理，所以是类比推理，综上可知，归纳推理的只有B，故选B．【点睛】本题主要考查了归纳推理、演绎推理、类比推理的定义和推理形式，其中解答中熟记各种推理的定义和推理形式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4．已知某质点的运动方程为，其中的单位是m，的单位是s，则该质点在2s末的瞬时速度为（    ）A．7m/s B．8m/s C．9m/s D．10m/s【答案】A【分析】利用导数的定义求出，即可求得该质点在2s末的瞬时速度.【详解】，∴该质点在2s末时的瞬时速度为7m/s．故选：A5．如图所示，图中曲线方程为，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由微积分基本定理的几何意义即可得出结果.【详解】图中围成封闭图形（阴影部分）的面积.故选：C.6．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由导数定义可知，由导数的几何意义知切线斜率为，由斜率和倾斜角的关系可得结果.【详解】，曲线在点处的切线的斜率，倾斜角为.故选：C.7．若函数在区间单调递增，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】对函数求导，将问题转化为在上恒成立，结合函数的单调性，计算即可得出结果.【详解】由题意得，的定义域为，，因为在上单调递增，所以在上恒成立，即，又函数在上单调递减，所以.故选：A8．在应用数学归纳法证明凸边形的对角线为条时，第一步应验证等于（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】数学归纳法第一步应验证n最小时，命题是否成立.【详解】多边形的边数最少是3，即三角形，所以第一步应验证等于3.故选：C.【点睛】本题考查数学归纳法的定义及步骤，考查学生对数学归纳法的理解，是一道容易题.9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）A．函数在上是增函数B．是函数的极小值点C．D．【答案】D【解析】由图得出函数的单调性判断ABD，根据判断C.【详解】当时，，则函数在上是减函数，故A错误；函数在上单调递增，在上单调递减，则是函数的极大值点，故B错误；由图可知，，故C错误；函数在上单调递增，则，故D正确；故选：D10．函数的导函数为，则函数有（　　）A．最小值 B．最小值C．极大值 D．极大值【答案】C【分析】根据导函数求出函数的单调区间，根据极值的定义即可得出结果.【详解】由，令，解得，即函数的单调递增区间为；令，解得或；令，解得或，即函数的单调递减区间为，，所以函数的极大值.故选：C11．函数在定义域内的图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（    ）A．和 B．和C．和 D．和和【答案】A【分析】，即函数单调递减，直接根据图像得到答案.【详解】，即函数单调递减，根据图像知，.故选：A12．用数学归纳法证明等式时，从到等式左边需增添的项是（    ）A．B．C．D．【答案】C【解析】分别写出和时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.【详解】当时，左边，共个连续自然数相加，当时，左边，所以从到，等式左边需增添的项是.故选：C. 二、填空题13．已知函数，则的极小值点为______．【答案】【分析】利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极小值点.【详解】，则.当时，；当时，.所以，函数的极小值点为.故答案为：.14．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________．【答案】【分析】根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案．【详解】解：根据题意，对于第一个不等式，，则有，对于第二个不等式，，则有，对于第三个不等式，，则有，依此类推：第个不等式为：，故答案为．【点睛】本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律．15．若函数存在极值点，则的取值范围是__________.【答案】【分析】求导得到，有解得到，排除和得到答案.【详解】，，则，有极值点，则有解，则，解得或，当时，，函数单调递增，不满足；当时，，函数单调递增，不满足；综上所述：.故答案为：16．已知函数，若函数的递减区间是，则实数a的值是__________.【答案】【分析】由函数的递减区间是，得到，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为函数的递减区间是，可得，即，是方程的两个实数根，由根与系数的关系，可得，解得.故答案为：. 三、解答题17．（1）已知，证明；若，则中至少有一个小于；（2）利用积分的几何意义求值（画出图）.【答案】（1）证明见解析；（2），图像见解析【分析】（1）假设中没有数小于，得到，得到矛盾，假设不成立，得到证明.（2）画出图像，根据积分的几何意义，计算三角形面积得到答案.【详解】（1）假设中没有数小于，即，，，则，这与题设矛盾，故假设不成立，即中至少有一个小于；（2）设，则，，，画出函数图像，则，，，，如图所示：.18．已知函数.（1）求的单调区间；（2）求函数的极值；(要列表).【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）极大值为，极小值为.【分析】（1）求导数，根据导数的正负确定函数的单调区间；（2）根据导数的正负列表，从而判断极大极小值，代入求值即可.【详解】（1），，设可得或.①当时，或；②当时，，所以的单调增区间为，单调减区间为：.（2）由（1）可得，当变化时，，的变化情况如下表：当时，有极大值，并且极大值为当时，有极小值，并且极小值为.【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值，属于基础题.19．已知函数的极大值为2.（1）求a的值和的极小值；（2）求在处的切线方程.【答案】（1），极小值为；（2）.【解析】（1）对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出极大值，根据题中条件，求出，即可得出极小值；（2）根据（1）的结果，先得到，，再由导数的几何意义求出切线斜率，进而可得切线方程.【详解】（1）由得，令或，令，所以在和上单调递增，在上单调递减，故在处取极大值，即.则在处取得极小值；（2）由（1）知，故，由导数的几何意义可得，在处的切线斜率为.故其切线方程为：，即.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数极值的一般有以下几个步骤：（1）对函数求导；（2）解导函数对应的不等式，得出单调区间；（3）由极值的概念，结合单调性，即可得出极值.20．如图所示，是边长，的矩形硬纸片，在硬纸片的四角切去边长相等的小正方形后，再沿虚线折起，做成一个无盖的长方体盒子，、是上被切去的小正方形的两个顶点，设.（1）将长方体盒子体积表示成的函数关系式，并求其定义域；（2）当为何值时，此长方体盒子体积最大？并求出最大体积.【答案】（1），；（2）当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为.【分析】（1）分别由题意用x表示长方体的长宽高，代入长方体的体积公式即可表示该函数关系，再由实际长方体的长宽高都应大于零构建不等式组，即可求得定义域.（2）利用导数分析体积在定义域范围内的单调性，进而求函数的最大值.【详解】长方体盒子长，宽，高.（1）长方体盒子体积，由得，故定义域为.（2）由（1）可知长方体盒子体积则，在内令，解得，故体积V在该区间单调递增；令，解得，故体积V在该区间单调递减；∴在取得极大值也是最大值.此时.故当时长方体盒子体积最大，此时最大体积为.【点睛】本题考查实际生活中的最优解问题，涉及数学建模与利用导数求函数的最大值，属于简单题.21．已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝﹣1和x＝3处取得极值.（1）求a，b的值（2）求f（x）在[﹣4，4]内的最值.【答案】（1）a，b＝﹣1（2）f（x）min＝，f（x）max＝【分析】（1）先对函数求导，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求，（2）由（1）可求，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.【详解】解：（1）＝3ax2+2bx﹣3，由题意可得＝3ax2+2bx﹣3＝0的两个根为﹣1和3，则，解可得a，b＝-1，（2）由（1），易得f（x）在，单调递增，在上单调递减，又f（﹣4），f（﹣1），f（3）＝﹣9，f（4），所以f（x）min＝f（﹣4），f（x）max＝f（﹣1）.【点睛】本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题