2022-2023学年福建省福州第十五中学高一下学期期中适应性练习数学试题含解析

2022-2023学年福建省福州第十五中学高一下学期期中适应性练习数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出集合，再根据集合的交集运算求得答案.

【详解】由题意，，

故，

故选：B

2．在 △ABC中，已知角，，则角C=

A． B．

C． D．或

【答案】D

【详解】由正弦定理： 可得： ，

则角C=或.

本题选择D选项.

3．设为基底向量，已知向量，，，若A，B，D三点共线，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由平面向量共线定理列式求解计算.

【详解】易知，

又A，B，D三点共线，所以存在实数，

使得，即，

则，所以的值是.

故选：A

4．“”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断

【详解】解：当时，，所以 ，

当时，，所以  ，即

所以“”是“”的充分不必要条件

故选：A

【点睛】此题考查充分条件，必要条件的应用，属于基础题

5．若向量，满足同，，，则与的夹角为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.

【详解】由向量垂直的充分必要条件有：，

即，据此可得：，

设与的夹角，则：,

故,即与的夹角为.

本题选择C选项.

【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6．已知，则＝（    ）

A． B． C． D．5

【答案】A

【分析】利用三角恒等变换将化简，结合化简的结果，即可得答案.

【详解】因为，

又因为，

所以，

故选:A

7．设函数，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据条件判断出函数的单调性，再判断出，，的大小关系，进而求得结论．

【详解】解函数，

当时，由和在定义域上单调递减，

所以在上单调递减，

当时，单调递减，

又因为，

函数在上单调递减，

，，，

.

故选：D．

8．设函数有个不同的零点，则正实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分段函数分段处理，显然有1个零点，所以有4个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证之间有4个零点即可.

【详解】由题，当时，，显然单调递增，且，，所有此时有且只有一个零点，

所有当时，有4个零点，令，即，解得，

由题可得区间内的4个零点分别是，所以即在之间，

即，解得

故选：A

二、多选题

9．下列命题中真命题的是（    ）

A．，反向 B．若，则

C．已知向量，，向量在向量上的投影为 D．向量，不可以作平面基底

【答案】AD

【分析】根据数量积的定义判断A，根据零向量和向量垂直的定义判断B，根据投影计算C，根据共线向量判断D.

【详解】对于A：，反向，即，所以，故充分性成立，

若，则，则，所以，反向，故A正确；

对于B：若，则、至少有一个为零向量（或）或、均不为零向量，所以不一定成立，故B错误；

对于C：因为，，所以，，

所以向量在向量上的投影为，故C错误；

对于D：因为，，所以，即，

所以向量，不可以作平面基底，故D正确；

故选：AD

10．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数具有以下哪些性质（    ）

A．最大值为，图象关于直线对称

B．图象关于y轴对称

C．最小正周期为

D．图象关于点成中心对称

【答案】BCD

【分析】由三角函数的图象变换可求出函数的解析式，然后利用余弦型函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可求解.

【详解】解：由题意，，

对A：的最大值为，最小值为，因为，所以函数的图象不关于直线对称，故选项A错误；

对B：因为，所以函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故选项B正确；

对C：由周期公式有，所以函数的最小正周期为，故选项C正确；

对D：因为，所以函数的图象关于点成中心对称，故选项D正确.

故选：BCD.

11．在中，内角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．若，则点为的外心

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，则点为的内心

【答案】ABD

【分析】由正弦定理判断A；利用向量的线性运算，判定点为的外心；由正弦定理结合正弦函数的性质判断C；由单位向量以及向量垂直的性质判断点为的内心.

【详解】对于A项，，由正弦定理可得，故A正确；

对于B项，，，，故点为的外心，故B正确；

对于C项，由正弦定理可得，，，或，或，为等腰或直角三角形，故C错误；

对于D项，为的单位向量，为单位向量三角形的第三边，且为菱形的对角线，由，点在的平分线上，同理点在的平分线上，点为的内心，故D正确；

故选：ABD

12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．在上为减函数

C．点是函数的一个对称中心 D．方程仅有个实数解

【答案】CD

【分析】根据和的奇偶性可推导得到，，

由可知A错误；推导可得，知C正确；作出图象，结合图象知B错误；将解的个数转化为与的交点个数，结合图象可知D正确.

【详解】为奇函数，，即，

关于点对称；

为偶函数，，即，

关于对称；

由，得：，

，即是周期为的周期函数；

对于A，，A错误；

对于C，，即，

关于点成中心对称，C正确；

对于BD，由周期性和对称性可得图象如下图所示，

由图象可知：在上单调递增，B错误；

方程的解的个数，等价于与的交点个数，

，，

结合图象可知：与共有个交点，即有个实数解，D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．已知为锐角，，则___________.

【答案】

【分析】根据诱导公式，求出，再利用同角的三角函数基本关系式求出即可.

【详解】因为，

所以，

所以，

又因为为锐角，

所以，

故答案为：.

14．如果函数是奇函数，则__．

【答案】

【分析】利用函数是奇函数，即可求解.

【详解】设，.

故答案为：

15．蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是_______米．

【答案】35

【分析】设米，则可得，然后在中利用余弦定理列方程可求出的值，从而可求出蜚英塔的高度

【详解】设米，因为，，，

所以，

在中，，，则由余弦定理得

,

，解得，

所以蜚英塔的高度是35米，

故答案为：35

16．已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值________

【答案】

【分析】先根据平面向量的数量积公式求出与的夹角，根据条件，可设，再设，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出，即可求出结果.

【详解】解：，设与的夹角为，

，

，又，则，

不妨设，再设，

则

，

即，

所以的最大值为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量，满足，，.

（1）求；

（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)由给定条件求出，再根据向量模的计算公式即可得解；

(2)根据向量夹角为锐角借助数量积列出不等关系即可作答.

【详解】（1）依题意，，得，

，

所以；

（2）由向量与的夹角为锐角，可得，即有，解得，

而当向量与同向时，可知，

综上所述的取值范围为.

18．已知的角，，的对边分别为，，，设向量，，.

(1)若，求证：为等腰三角形；

(2)若，边长，角，求的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据，利用向量平行的坐标表示，再由正弦定理将角化边，即可证明；

（2）根据向量垂直的数量积的坐标表示可得，再根据余弦定理，两式联立可直接求得，并求得三角形的面积.

【详解】（1）因为，且，

所以，由正弦定理可得，

即，显然，所以，所以是等腰三角形.

（2）因为，且，

所以，整理得，

根据余弦定理可得，

即，

即，所以

解得（舍）或 ，

所以，

所以的面积是.

19．已知函数在一个周期内的图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求在上的单调递增区间.

【答案】（1）；（2）、.

【分析】（1）由图象可得出函数的最小正周期的值，可求出，再将点代入函数解析式，结合的取值范围可求得的值，由可求得的值，综合可得出函数的解析式；

（2）利用函数图象变换求得，求出函数在上的单调递增区间，再与定义域取交集可得结果.

【详解】（1）由图可得函数的最小正周期为，

所以，，

，则，

，则，，则，所以，，

因为，所以，，所以，；

（2）由题意可得，

令，，得，，

记，则.

因此，函数在上的增区间是、.

【点睛】方法点睛：根据三角函数或的部分图象求函数解析式的方法：

（1）求、，；

（2）求出函数的最小正周期，进而得出；

（3）取特殊点代入函数可求得的值.

20．如图，在梯形中，已知，，，，.

(1)求；

(2)求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的余弦值和正弦值，然后利用两角和的正弦公式可求得结果；

（2）在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求出，根据计算可得.

【详解】（1）解：因为，则为钝角，

由，可得，．

.

（2）在中，由正弦定理得，即，

解得,

因为，则，且，

所以，

，

在中，由余弦定理得，

即，解得或（舍）．

所以.

21．中，内角、、的对边分别为、、，且.

(1)若，试判断的形状，并说明理由；

(2)若为锐角三角形，其外接圆半径为，求周长的取值范围.

【答案】(1)为直角三角形，理由见解析

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式、正弦定理以及余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值，再利用三角形的内角和定理以及已知条件可求得角、的值，即可判断出的形状；

（2）利用正弦定理可得出，利用三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】（1）因为，则，

即，由正弦定理可得，

由余弦定理可得，，则，

由已知，可得，，此时为直角三角形.

（2）解：由正弦定理可得，

则

，

因为为锐角三角形，则，可得，

所以，则，且，

因此.

22．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.

(1)求；

(2)若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由向量的线性运算表示，，根据向量垂直的条件求得，继而可求得；

（2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，设点，且，，运用二次函数的性质可求得的取值范围.

【详解】（1）解：，

，

又，所以，所以，

由得，

所以

.

所以；

（2）解：以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则

，，，，，，

又点为线段上的任意一点，设点，且，则，，

所以，

所以当时，取得最大值：，

当或时，取得最小值：，

所以的取值范围为.