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2022-2023学年福建省福州第一中学高一下学期第三学段模块(期中)考试数学试题含解析
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这是一份2022-2023学年福建省福州第一中学高一下学期第三学段模块(期中)考试数学试题含解析,共17页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州第一中学高一下学期第三学段模块(期中)考试数学试题 一、单选题1.复数满足(为虚数单位),则的虚部为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据复数的运算法则,化简得的,结合复数的概念,即可求解.【详解】根据复数的运算法则,可得,可得故复数的虚部为.故选:B.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则此三角形中的最大角的大小为( )A. B. C.92° D.135°【答案】B【分析】根据三角形边的比设出三边,得到最大边,进而可得最大角,再根据余弦定理求最大角即可.【详解】,设,最大,即最大,,又,.故选:B.3.已知向量,若,则( )A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1)【答案】A【分析】由,利用向量共线的坐标运算解得x,再利用向量和的坐标运算求.【详解】解析:因为,所以,解得x=-4.所以.故选:A4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,,则此三角形的解的情况是( )A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定【答案】C【分析】根据正弦定理求解出的值,根据,解出角,可判断出选项.【详解】由正弦定理可得,,即,解得,由可知,无解.故选:C.5.1748年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,并写出以下公式,其中e是自然对数的底,i是虚数单位,这个公式在复变论中占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,下列说法正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【分析】根据题设公式可判断A,B,由可得,两式联立可判断C,D.【详解】对于A,不一定等于0,故A错误;对于B,,故B错误;对于C,因为,①所以,即,②联立①②可得,,故C正确,D错误,故选:C.6.在矩形中,,为上一点,.若则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】建立空间直角坐标系,设,由向量垂直的坐标表示求出,再由向量运算的坐标表示求解即可.【详解】以为坐标原点建立如图所示坐标系,由题意可得,设,所以,,因为,所以,解得,又因为,所以,即,解得,所以,故选:C7.在△ABC中,,,直线AM交BN于点Q,若,则λ=( )A. B. C. D.【答案】D【分析】、、三点与、、三点分别共线,根据平面向量共线定理,结合向量加减法,可找出与等式关系,即可求解出结果.【详解】设,,由平面向量基本定理可得,,,,,,,解得,,,,,故选:D.8.在中,,,点与点分别在直线的两侧,且,,则的长度的最大值是( )A. B. C.3 D.【答案】B【分析】根据已知条件可以判断是直角三角形,且随着的变化三条边的长度也会随着发生改变,因此先根据余弦定理和正弦定理确定与边的变化关系,再构造一个关于边的三角形,根据与边的关系在新构造的三角形中解出的表达式,找出最大值.【详解】由可知, 是,的直角三角形,如图所示:设,,,则由余弦定理得,即由正弦定理得,所以.连接,在中,由余弦定理,得当时,的长度取得最大值,为故选:B【点睛】思路点睛:可变动图形与某一变量的变化关系引出的求边求角类问题(以本题为例):①确定变动图形的变化规律:如上题的变化是角度不变,边长可等比例变化②确定图形变化与某个变量的联系:变化发生变化整体变化③找到有直接联系的两个变量的数学关系,然后推广到整体变化上:此处最为困难,需要学生根据已知条件活用所学的数学知识. 二、多选题9.已知复数满足,则下列结论正确的是( )A.若,则 B.C.若,则 D.【答案】BD【分析】根据复数的几何意义以及复数计算的规则逐项分析.【详解】设则,不满足,也不满足,故选项AC错误;对于B,设在复平面内对应的向量分别为,且,由向量加法的几何意义知,故,故选项B正确;对于D,设,则,所以, ,故选项D正确;故选:BD.10.若向量满足,则( )A. B.与的夹角为C. D.在上的投影向量为【答案】BC【分析】由模与数量积的关系求得,再根据数量积的性质确定与的夹角,判断向量垂直,求解投影向量即可得结论.【详解】因为,所以,则,故A不正确;又,,所以,即与的夹角为,故B正确;又,所以,故C正确;又在上的投影向量为,故D不正确.故选:BC.11.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有( )A. B.C. D.【答案】ACD【分析】利用平面向量数量积的定义,判断夹角的范围即可判断A选项;对于B选项,利用正弦定理进行边化角处理,化简可得到角的关系;对于C选项,利用正弦定理进行角花边处理,再利用余弦定理求得;对于D,利用角的正切值在的正负关系,直接得出结果.【详解】对于A选项:,则,故A选项正确;对于B选项:, 由正弦定理可得, 则,即,故,则,故B错误;对于C选项:由正弦定理可得,,即, 解得 ,,故C正确;对于D选项:、、三个必有一个为负值又,,,故D正确.故选:ACD.12.中华人民共和国国旗上的五角星均为正五角星,正五角星是一个非常优美的几何图形,其与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,依次连接A,B,C,D,E形成的多边形为正五边形,且,则下列结论正确的是( )A. B.若,则C.若,则 D.【答案】BCD【分析】根据平面向量的线性运算,向量共线定理得推论,结合平面向量数量积的定义和平面几何知识综合判断.【详解】对于A选项,,又易知,又,,故A选项错误;对B选项,,又,,三点共线, ,解得 ,故B选项正确;对于C选项,,又,,故C选项正确;对于D选项,设,,,,,,,,,,故D选项正确;故选:BCD. 三、填空题13.在中,,,,则的面积为__________.【答案】【分析】根据平面向量的夹角公式可求得,从而可得到,再根据三角形的面积公式即可求解.【详解】依题意可得,解得,又,所以,所以的面积为.故答案为:.14.已知关于x的实系数方程的一个虚根为,则___________.【答案】1【分析】根据方程的根为,将根代入方程即可求解.【详解】因为关于x的实系数方程的一个虚根为,所以,即,也即,所以,解得,故答案为:1.15.在一座尖塔的正南方向地面某点,测得塔顶的仰角为,又在此尖塔北偏东地面某点,测得塔顶的仰角为,且两点距离为,在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大,则点到塔底的距离为___________m.【答案】【分析】根据题意作出直观图,可知当取得最小值时,在处的仰角最大,利用余弦定理可构造方程求得的长,利用面积桥可求得.【详解】设塔高为,如下图所示,由题意知:,,,平面,,若在处的仰角最大,即最大,则取得最大值,,当取得最小值时,最大,设,则,,,解得:,,,,当时,最小,,即若在处的仰角最大,则点到塔底的距离为.故答案为:.16.在中,点分别是线段的中点,点在直线上,若的面积为2,则的最小值是_____________.【答案】【分析】如图,取BC中点为M,做,将化为,后找到间关系,可得答案.【详解】如图,取BC中点为M,做,则,又,,则,得.注意到,则.又由图可得,则,当且仅当,且,即时取等号.故答案为: 四、解答题17.已知z为虚数,若,且.(1)求z的实部的取值范围;(2)求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用复数的概念以及除法运算求解;(2)利用复数的模的概念求解.【详解】(1)设,则,又,则,所以,因为,所以且,所以z的实部的取值范围是.(2)∵,又所以,所以,因此.18.设向量(1)求与垂直的单位向量;(2)若向量与向量的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【答案】(1)或(2) 【分析】(1)先设单位向量坐标,再应用与 垂直求向量坐标即可;(2) 因为向量与向量的夹角为钝角可得数量积小于0,列式计算可得取值范围.【详解】(1)由已知,设与垂直的单位向量为则,解得或即与垂直的单位向量为或(2)由已知所以,因为向量与向量的夹角为钝角,所以,解得,又因为向量不与向量反向共线,设,则从而或(舍去),所以解得19.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(其中S为△ABC的面积).(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用向量的数量积公式和三角形的面积公式求解;(2)利用正弦定理边化角将转化为三角函数,利用三角函数的性质求解.【详解】(1)因为,则,所以,又,则;(2)由△ABC为锐角三角形及,得且,所以,由正弦定理,得,因为,所以,即的取值范围是.20.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.(1)若,求△ABC的周长;(2)已知,且边BC上有一点D满足,求AD.【答案】(1)9;(2). 【分析】(1)利用诱导公式,正弦定理边化角,结合二倍角正弦求出A,再利用余弦定理求解作答.(2)由余弦定理求出a,由面积关系可得,再利用余弦定理建立方程组求解作答.【详解】(1)由可得:,又,得,由正弦定理得,因为,即有,显然,又,有,于是,即,则,若,由余弦定理,得,解得,所以△ABC的周长为9.(2)设,则,由(1)知在△ABC中,由及余弦定理得:,即,由,知,在△ABD中,,即,在△ADC中,,即,联立解得,,所以.21.重庆是我国著名的“火炉”城市之一,如图,重庆某避暑山庄为吸引游客,准备在门前两条小路和之间修建一处弓形花园,使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感,已知,弓形花园的弦长,记弓形花园的顶点为,,设.(1)将、用含有的关系式表示出来;(2)该山庄准备在点处修建喷泉,为获取更好的观景视野,如何设计、的长度,才使得喷泉与山庄的距离的值最大?【答案】(1),;(2)当时,取最大值.【分析】(1)本题可通过正弦定理得出、;(2)本题首先可根据题意得出,然后通过余弦定理得出,通过转化得出,最后通过以及正弦函数的性质即可求出最值.【详解】(1)因为,,,所以,,.(2)因为,,所以,在中,由余弦定理易知,即,因为,所以,,当,即时,取最大值,取最大值,此时,,故当时,取最大值.【点睛】关键点点睛:本题考查解三角形的实际应用,考查正弦定理与余弦定理的应用,考查三角恒等变换,考查根据正弦函数的性质求最值,考查化归与转化思想,体现了综合性,是难题.22.锐角中,内角所对的边分别为,且,.(1)求证:;(2)将延长至,使得,记的内切圆与边相切于点,是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)为定值 【分析】(1)利用正弦定理边化角可整理得到,结合的范围和可证得结论;(2)将进行角化边可整理得到的关系,根据向量线性运算可得到,根据向量数量积运算律可求得长,根据切线长相等的原理可推导得到结果.【详解】(1)由,得:,即,整理得:,由正弦定理得:,又,,,,又,,,.(2)由(1)得:,,又,整理可得:,,设内切圆圆心为,内切圆与边分别相切于点,则,,,,,,,又,.
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