2022-2023学年福建省福州外国语学校高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年福建省福州外国语学校高一下学期期中考试数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州外国语学校高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．若复数z满足，则z的虚部是（    ）A． B． C．1 D．6【答案】D【解析】由复数的运算求出，进而得出虚部.【详解】，则z的虚部是故选：D2．已知向量，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算和向量的数量积的坐标表示，逐项判定，即可求解.【详解】因为向量，可得，所以A不正确；由，所以与不共线，所以B不正确；由，所以，所以C不正确；由，所以，所以D正确.故选：D.3．设，为非零向量，则“”是“与共线”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由化简得出，从而得出与共线，当与共线时，，，不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断.【详解】当时，，化简得，即，，即与共线当与共线时，则存在唯一实数，使得，，与不一定相等，即不一定相等故“”是“与共线”的充分不必要条件故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理.4．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，与轴交于点，其中，，则原图形的面积是（    ）A．24 B． C． D．12【答案】B【分析】根据所给的数据求出直观图形的面积，根据直观图的面积：原图的面积，得到原图形的面积是，得到结果．【详解】矩形是一个平面图形的直观图，其中，，直观图的面积是直观图的面积：原图的面积原图形的面积是.故选：B5．如图，已知点 C 为△OAB边AB上一点，且AC=2CB，若存在实数m，n，使得，则的值为（    ）．A． B．0 C． D．【答案】A【解析】根据平面向量的基本定理和共线定理，结合已知求出的值.【详解】，所以.故选：A【点睛】本题考查了平面向量基本定理和共线定理，属于基础题.6．函数 的部分图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先判断函数的单调性，结合函数的特值可得结果.【详解】由，则当 时，，则，所以函数在上单调递增，排除选项A，C又 ，排除除选项B故选：【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数单调性以及特值是解决本题的关键．比较基础．7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设可得，根据余弦定理有，利用基本不等式求角的范围，即可确定最大值.【详解】由，则，所以，，所以，故的最大值为.故选：B8．如图，直角梯形 中，已知，，动点在线段上运动，且，则的最小值是（   ）A．3 B． C．4 D．【答案】C【分析】设，可以用表示和，从而得到与的关系，再利用均值不等式求解.【详解】设因为所以所以，所以当且仅当，即取等，此时，与重合，符合题意.故选：C.【点睛】本题的关键是利用平面向量基本定理找到与的关系，从而把问题转化为均值不等式问题. 二、多选题9．用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体【答案】ACD【分析】根据物体特征分析截面可能的情况即可得解.【详解】圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，三棱锥平行于底面的截面是三角形，正方体的截面可能是三角形，如图：故选：ACD【点睛】此题考查物体截面辨析，关键在于熟悉常见几何体的几何特征，分析截面可能的情况.10．已知是虚数单位，则下列说法正确的有（    ）A．B．“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件C．若复数，且，则D．若复数满足，则复数的虚部为-2【答案】BD【分析】根据复数得乘方运算即可判断A；根据纯虚数得定义及充分性和必要性得定义即可判断B；根据复数得模得计算求出，即可判断C；设复数，根据复数得加法运算及复数相等得条件即可求出复数，从而可判断D.【详解】解：对于A，，故A错误；对于B，若复数，则且，所以“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件，故B正确；对于C，若复数，且，解得，故C错误；对于D，设复数，则，所以，故，所以复数的虚部为-2，故D正确.故选：BD.11．下列命题中，正确的是（    ）A．在△中，若，则B．在锐角△中，不等式恒成立C．在△中，若，则△必是等腰直角三角形D．在△中，若，，则△必是等边三角形【答案】ABD【分析】A应用正弦定理及三角形中大边对大角即可判断正误；B由锐角三角形易得，根据锐角正弦函数的大小关系及诱导公式即可判断正误；C由正弦定理边角关系，结合三角形内角的性质判断内角A、B的数量关系；D利用余弦定理，结合已知得，进而判断△的形状.【详解】A：若，而，即，故，正确；B：由锐角△知：，即，则，正确；C：由题设，可得，又，则或，故△为等腰或直角三角形，错误；D：由题设，，故，即，又，可知，故△必是等边三角形，正确.故选：ABD12．已知四边形是边长为2的正方形，为平面内一点，则（    ）A．最小值为 B．最大值为C．无最小值 D．无最大值【答案】AD【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，用坐标表示出数量积，通过函数分析出其最值情况．【详解】建立如图所示的直角坐标系则，，，.设，则，，，，所以，所以当，时，取得最小值，无最大值.故选：AD．【点睛】本题考查平面向量数量积，求平面向量数量积的最值，一种方法直接用数量积的定义表示出数量积求解，一种方法是建立平面直角坐标系，把数量积用坐标表示，然后用函数的知识求解． 三、填空题13．若是虚数单位，则__________.【答案】【分析】根据等比数列的前项和公式，结合虚数单位的幂运算性质进行求解即可.【详解】，故答案为：14．已知向量，满足，，，则__________.【答案】【分析】先将平方求出，再将平方计算即可.【详解】由已知得，，，.故答案为：15．一船以22 km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15°，则灯塔S与B之间的距离为________ km．【答案】66【分析】根据题意连接可得如图三角形，再由所给角度可得∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，利用正弦定理解即可得解.【详解】如图，∠ASB＝180°－15°－45°＝120°，根据航速为22 km/h，则（），由正弦定理可得，所以SB＝66(km)，故答案为：66.16．已知等边，D是外的一点，且，，则平面四边形的面积的最大值是_________．【答案】【分析】设等边三角形边长为，应用三角形面积公式、余弦定理有、，代换后应用辅助角公式及正弦型函数的性质求最值.【详解】若等边三角形边长为，则，又，所以，而，则，所以当时，平面四边形的面积的最大值是.故答案为： 四、解答题17．已知，复数（其中为虚数单位）（1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数；（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由复数z是纯虚数，列出方程，解得即可得出答案；（2）求出，根据其在复平面内对应的点位于第一象限，列出不等式组，即可求出实数m的取值范围.【详解】解：（1）因为复数z是纯虚数，所以，解得：；（2）由已知得，因为其在复平面内对应的点位于第一象限，所以，解得：或即实数m的取值范围是.18．已知，，.（1）求与的夹角θ的余弦值；（2）若，求实数的值和向量.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）利用向量数量积的坐标表示即可求夹角.（2）根据题意可得，再根据向量的线性坐标运算即可求解.【详解】（1）由，，所以，所以与的夹角θ的余弦值为.（2）若，则，所以，即，解得..19．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）.【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.【详解】（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.20．在△ABC中，，，.(1)求BC边的长；(2)求AB边上的中线CD的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知结合同角平方关系求sinC，进而可求sinA，由正弦定理即可求解；（2）由正弦定理可求AB，然后结合余弦定理可求.【详解】（1）由得，，由正弦定理得；（2）由正弦定理得，，由余弦定理得21．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若____________.(1)求角B；(2)若，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.【答案】(1)(2)周长的最小值为6，此时的面积 【分析】（1）分别选三个条件，结合三角恒等变换，以及边角互化，化简后即可求解；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积.【详解】（1）选①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.选②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.选③，∵，由已知结合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，当且仅当时取等号，∴，周长的最小值为6，此时的面积.22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.(1)求出山高BE（结果保留整数）；(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CD=xm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为β.试问当x多大时，观测基站的视角∠ACB最大？参考数据:.【答案】(1)(2)，∠ACB最大 【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.【详解】（1）由题意可知，，在中，，所以，在中，，所以出山高；（2）由题意知，且，则，在中，，在中，，则，当且仅当，即时，取等号，所以取得最大值时，，又因为，所以此时最大，所以当时，最大.