2022-2023学年甘肃省庆阳第六中学高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年甘肃省庆阳第六中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省庆阳第六中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知平面向量的夹角为，且，则（    ）A．4 B．4 C．8 D．8【答案】C【分析】直接利用数量定义求解即可【详解】因为平面向量的夹角为，且，所以，故选：C2．已知a，，，则（    ）A．5 B． C．3 D．【答案】D【分析】根据复数相等的定义求参，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】因为，所以，，所以.故选：D.3．已知（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，所以.故选：A4．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由题意可知，利用除法法则整理即可得到复数的坐标形式，进而求即可.【详解】，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A.5．已知，则（    ）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】变换，代入计算得到答案.【详解】，.故选：B6．已知向量，，若与同向共线，则（    ）A．3 B． C．或3 D．0或3【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示结合条件即得.【详解】因为向量，，由，可得或，当时，，，，满足题意，当时，，，，不满足题意，所以.故选：A.7．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，则圆锥和圆柱的高为，所以圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,故选:C.8．如图，在长方体中，，E，F分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】若是中点，连接，由知是直线与所成角的平面角，再应用余弦定理求其余弦值.【详解】若是中点，连接，在长方体中，所以直线与所成角为，又，F为棱的中点，则，所以在△中，.故选：D 二、多选题9．甘肃省庆阳市南佐遗址是国家重点文物保护单位，年代距今5200年至4600年.它是仰韶文化的大型聚落遗址，为黄河流域文明起源和发展提供了重要的实物资料，经国家文物局批准，2021年、2022年进行了第三阶段的考古发掘工作.如图，为该次出土的一块三角形瓷器碎片，其一部分破损，为了复原该三角形陶片，现测得如下数据：BC=7cm，AB=5cm，A= ，则：（      ）A．陶片破损的边AC长为8cm B．陶片面积为cm2C．陶片外接圆面积cm2 D．陶片的形状为直角三角形【答案】ABC【分析】利用已知条件，通过正弦定理，余弦定理可分别求出的值，从而可对各选项逐项分析判断即可得出答案.【详解】由题意可得，BC=7cm，AB=5cm，A= ，在三角形中，,由正弦定理可得，，即，又为锐角，，，，由正弦定理可得，,即;故A正确； ，陶片外接圆面积为,故C正确；陶片面积为，故B正确；，陶片的形状不是直角三角形，故D错误；故选：ABC.10．设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（       ）A．B．若互为共轭复数，则C．若，则D．若复数为纯虚数，则【答案】ABD【分析】根据复数的乘法运算、共轭复数及复数模的运算，纯虚数的定义逐一判断作答.【详解】对于A，令，则，于是，A正确；对于B，令，则，，B正确；对于C，令，显然，而，，C错误；对于D，复数为纯虚数，则，解得，D正确.故选：ABD11．已知向量，若，则实数m的值可以为（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】ABC【分析】根据向量垂直列出方程，求出实数m的值.【详解】因为，所以，解得或0或．故选：ABC12．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（    ）A．三棱锥的体积为定值B．异面直线与所成的角的取值范围为C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为D．过作直线，则【答案】ACD【分析】证明平面，结合三棱锥的体积计算判断A；利用异面直线夹角的定义计算判断B；求出点到平面的距离计算判断C；证明平面判断D作答.【详解】对于A，在正方体中，对角面是矩形，即， 平面，平面，则平面，即点P到平面的距离等于点C到平面的距离，为定值，而的面积是定值，因此，三棱锥的体积为定值，A正确；对于B，由选项A知，，则异面直线与所成的角即为直线与所成的角，连，则有是正三角形，点在线段上运动，当点P与或重合时，直线与所成的角最小，为，当点P为线段的中点时，直线与所成的角最大，为，所以异面直线与所成的角的取值范围为，B不正确；对于C，令正方体棱长为2，点到平面的距离为h，正边长为，面积为，由得：，解得，当点P为线段的中点时，，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为，C正确；对于D，在正方体中，，平面，又平面，因此，而，平面，于是有平面，又平面，则，又直线过，且直线，所以，D正确.故选：ACD 三、填空题13．已知，则______．【答案】或【分析】根据给定条件，利用等角定理计算作答.【详解】，由等角定理知，与相等或互补，所以或.故答案为：或14．如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为 ______．【答案】【分析】把直观图还原为原平面图形，根据直观图画法规则，利用勾股定理求出AB的长度即可．【详解】把直观图还原为,如图所示：根据直观图画法规则知,,所以的长度为.故答案为：.15．若平面向量､满足条件：､，则向量在向量的方向上的数量投影为___________.【答案】【分析】根据数量投影的知识求得正确答案.【详解】向量在向量的方向上的数量投影为.故答案为：16．“勾股弦”是勾股定理的一个特例根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾股弦”的问题如图，在矩形中，满足“勾股弦”，且，，为上一点，若，则__________．【答案】/0.28【分析】建立直角坐标系，由可求出的坐标，然后根据建立方程组求解即可.【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，因为，，则，，.设，则，，因为，所以，解得，，，，由，得，所以，解得，所以，故答案为：. 四、解答题17．已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，，根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以；（2）因为为锐角，所以，，又，所以，，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.18．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，，.（1）求，，对应的复数；（2）判断的形状；（3）求的面积.【答案】（1）；-3+i；-2+2i（2）直角三角形.（3）2【解析】（1）求出A,B,C对应的点的坐标，再根据向量的坐标运算求出结果；（2）分别求出对应的线段的长，再根据勾股定理即可判断；（3）利用直角三角形的面积公式，计算即可.【详解】解：（1）对应的复数为.对应的复数为.对应的复数为.（2）由（1）知，，，∴.∴为直角三角形.（3）.【点睛】本题考查复数的几何意义，复数和平面内的点是一一对应关系，考查了向量的模以及三角形的面积公式，考查了运算能力，属于基础题.19．已知函数.(1)求的最小正周期；(2)若，求函数的值域和单调区间.【答案】(1)；(2)值域是，递增区间是，递减区间是. 【分析】（1）根据诱导公式，结合降幂公式、辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式求解作答.（2）利用正弦函数的性质求出指定区间上的值域及单调区间作答.【详解】（1）依题意，，所以的最小正周期为.（2）由，得，则，因此，即函数的值域是，又正弦函数在上单调递增，在上单调递减，由得：，由得：，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的值域是，递增区间是，递减区间是.20．如图，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台上、下底面半径分别为2.5R和3R，斜高为0.6R，取(1)求这个盖子的表面积和体积（用R表示，焊接处对面积影响忽略不计）(2)若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1，计算100个这样的盖子涂色约需要涂料多少千克？（内部不涂色，结果精确到0.1千克）？【答案】(1)；；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用球的表面积公式和棱台的表面积公式，以及它们的体积公式求解作答.（2）由（1）的结论，将R=2cm代入计算出每个盖子的表面积，进而求出100个盖子的面积，即可求出需涂料的重量.【详解】（1）因为球的半径为R，则该球的表面积为，该球的体积，又四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，则四棱台的上、下底面积分别为和，而正四棱台的斜高为0.6R，则四棱台的侧面积为，正四棱台的高为上、下边长分别为2.5R和3R，腰长为0.6R的等腰梯形的高为，正四棱台的体积，所以容器盖子的表面积，体积为（）.（2）由（1）知，，当R=2cm时，（）所以100个这样的盖子约需涂料为（）.21．如图，在正方体中，是棱的中点．(1)试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；(2)求证：直线平面(3)若正方体的棱长为2，求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【分析】（1）连接交于点，由三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可证得结论.（2）由正方体的结构特征结合线面垂直性质，证得平面，再由线面垂直性质和判定推理作答.（3）利用三棱锥的体积求解作答.【详解】（1）直线平面，在正方体中，连接交于点，连接，如图，因为四边形为正方形，则为中点，又为中点，因此，又平面，平面，所以平面.（2）在正方体中，连接，如图，因为四边形为正方形，则，而平面，平面， 即有，又，平面，则平面，而平面，因此，同理平面，又平面，即有，因为，平面，所以平面.（3）在三棱锥中，，则的面积，的面积，设点到平面的距离为，由得：，于是，所以点到平面的距离为.22．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．(1)求角的大小；(2)求的最小值.(3)的取值范围【答案】(1)；(2)4；(3). 【分析】（1）根据给定条件，利用向量的数量积公式和三角形面积公式，化简、计算作答.（2）由余弦定理结合已知，再利用基本不等式求解作答.（3）利用（1）的结论，结合三角恒等变换及三角函数性质求解作答.【详解】（1）在锐角中，由，得，即，则，而，所以.（2）在中，由（1）知，，而，由余弦定理，得，当且仅当时取等号，所以当时，.（3）由（1）知，，则，而是锐角三角形，有，解得，于是，而，，即，所以的取值范围是.