2022-2023学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省汕头市潮阳区河溪中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．若集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为，所以因为所以故选：B2．设复数 （其中为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限，故答案为A.【解析】复数的四则运算及几何意义.3．如图，在中，是的中点，若，则实数的值是A． B．1 C． D．【答案】C【分析】以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵分别是的中点，∴.又，∴.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．4．已知向量满足，，，则（　　）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】对平方后求出，再对平方，即可求解.【详解】因为向量满足，，，所以，解得：.所以，所以.故选：D5．已知，则＝（    ）A．3 B．﹣3 C． D．【答案】D【分析】用诱导公式化简已知得，求值式用余弦二倍角变形后代入已知式可求值．【详解】∵，∴，即，∴．故选：D．【点睛】本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式，注意在用二倍角余弦公式时要选用齐次的式子，即，这样可用处理齐次式的方法化简求值．6．在中，内角的对边分别为．若的面积为，且，，则外接圆的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由条件结合面积公式与余弦定理可得，即，再根据正弦定理可得外接圆的半径，从而得到外接圆的面积.【详解】在中，由余弦定理得，既有，又由面积公式，得，又，故，所以．因为，所以，又由正弦定理，其中为外接圆的半径，由及，得 ，所以外接圆的面积故选：D7．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据不共线的两向量可作为平面的基底，判断每个选项中的两向量是否具有倍数关系，从而判断两向量是否共线，即可判断出答案.【详解】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线，对于A， 和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；对于B，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；对于C，因为，即和共线，不能作为基底；对于D，，故和没有倍数关系，故二者不共线，可作为平面的一组基底；故选：C8．在四边形中，，，，则四边形的形状是（    ）A．梯形 B．菱形C．平行四边形 D．矩形【答案】A【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案.【详解】因为，，，所以.所以.所以且，所以四边形为梯形..故选：A 二、多选题9．下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（    ）A． B．C．的虚部为-1 D．的共轭复数为【答案】AC【分析】利用复数的四则运算即可求解.【详解】，所以，故A正确；，故B错误；的虚部为-1，故C正确；的共轭复数为，故D错误.故选：AC10．下面说法正确的是（      ）A．多面体至少有四个面 B．平行六面体六个面都是平行四边形C．棱台的侧面都是梯形 D．长方体、正方体都是正四棱柱【答案】ABC【分析】对于A：由多面体的定义即可判断；对于B：由平行六面体的定义即可判断；对于C：由棱台的定义即可判断；对于D：举反例：底面不是正方形的长方体可以否定命题.【详解】对于A：最简单的多面体是三棱锥，有4个面，所以多面体的面数大于等于4，所以“多面体至少有四个面”正确.故A正确；对于B：由平行六面体的定义可知：平行六面体六个面都是平行四边形.故B正确；对于C：由棱台的定义可知：棱台的侧面都是梯形.故C正确；对于D：按照正四棱柱的定义，底面必须是正方形，所以底面不是正方形的长方体就不是正四棱柱.故D错误.故选：ABC11．若非零实数满足，则下列不等式不一定成立的是（   ）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】通过代特殊值，或是根据做差法，判断选项.【详解】A.当时，不等式不成立，故A正确；B.当时，不成立，故B正确；C.因为是非零实数，且满足，所以一定成立，故C错误；D.，因为，所以，但可能是正数，负数，或零，所以不一定成立，故D正确.故选：ABD12．具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（    ）A． B． C． D．【答案】BD【分析】对各选项中的函数逐个检验后可得正确的选项.【详解】对于A选项，x＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；对于B选项，，满足“倒负”变换；对于C选项，，，不满足“倒负”变换；对于D选项，当时，，此时；当x＝1时，，此时；当时，，此时，满足“倒负”变换．故选：BD. 三、填空题13．已知向量，若，则________.【答案】.【分析】先利用向量平行求出，进而求出.【详解】因为向量，且，所以，解得：.所以，所以.故答案为：.14．已知函数，若，则__________．【答案】或或【分析】分两种情况，化简，可得答案.【详解】若或，得或；若.综上，或或.故答案为：或或15．中，角 的对边分别是，已知，则 _______.【答案】【分析】化简已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用两角差的正弦函数公式可求sin（C）＝0，结合范围C∈（，），可求C的值．【详解】∵c2＝2b2（1﹣sinC），∴可得：sinC＝1，又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC，∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0，∵C∈（0，π），可得：C∈（，），∴C0，可得：C．故答案为【点睛】本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题．16．设函数的图象关于直线对称，它的周期为，则下列说法正确的是________（填写序号）①的图象过点；②在上单调递减；③的一个对称中心是；④将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.【答案】③【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数的解析式.再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上，求得函数的单调区间及对称中心判断选项，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可.【详解】函数的最小正周期是，所以，则，又图象关于直线对称，所以对称轴为，代入可得，解得，因为，所以当时， ，则，对于①，当时，，的图象不过点，所以①不正确；对于②，的单调递减区间为，解得，当时，，又因为，则在上不是减函数，所以②错误；对于③，的对称中心为，解得，当时，，所以是的一个对称中心，所以③正确；对于④，将向右平移个单位长度，可得，所以不能得到的图象，所以④错误.综上可知，正确的为③.故答案为: ③.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，正弦函数的图像与性质的综合应用，属于中档题. 四、解答题17．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．18．在平面直角坐标系中，已知点，，.(1)若A，B，C三点共线，且，求角的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用向量共线得到，弦化切求出；（2）由求出，利用同角三角函数基本关系式即可求得.【详解】（1）因为点，，，所以.因为A，B，C三点共线，所以.因为，当时，，此时不成立；当时，由可得：，所以.（2）因为点，，所以因为，，所以，所以，            ，，原式.19．已知，，．（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为，单调减区间为；（2）最大值为3，最小值为0．【分析】（1）利用向量的坐标运算化简，再利用整体的思想.（2）根据（1）的结果及的范围求出的范围，从而计算出函数的最值.【详解】解：，，由，的最小正周期，由，得：，的单调递减区间为，；由可得：当时，函数取得最小值为当时，函数取得最大值为故得函数在区间上的最大值为3，最小值为0．20．在①②③三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设的面积为S，已知________．（1）求角C的值；（2）若，点D在边上，为的平分线，的面积为，求边长a的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）选①，可由余弦定理得，进而可得；     选②，由面积公式和余弦定理可得，进而可得；选③，可得，进而可得.（2）设，由，，联立可求得.【详解】（1）选①，由余弦定理得，整理得，所以，又，故.选②，因为，，故，可得，又，故.选③，可得，所以，又，所以，故.（2）在中，因为是的平分线，且，设，所以，又，联立以上两式得：，又，解得.21．为了响应国家节能减排的号召，2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完．(1)请写出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润＝售价－成本）(2)当2022年的总产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)；(2)2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元． 【分析】（1）根据给定条件，分段求出的表达式即可作答.（2）利用（1）的结论，结合二次函数、均值不等式分段求出最大值，再比较作答.【详解】（1）当时，，当时，，所以.（2）当时，，当时，，当时，，当且仅当，即时取“”，显然，所以，当，即2022年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元．22．已知函数是定义在R上的奇函数．(1)用定义法证明为增函数；(2)对任意，都有恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据函数单调性的定义及指数函数的单调性与值域即可证明；（2）由已知条件，利用函数的奇偶性和单调性，可得对恒成立，然后分离参数，利用基本不等式求出最值即可得答案.【详解】（1）证明：设，则，由，可得，即，又，，所以，即，则在上为增函数；（2）解：因为任意，都有恒成立，且函数是定义在R上的奇函数，所以对恒成立，又由（1）知函数在上为增函数，所以对恒成立，由，有，所以对恒成立，设，由在递减，可得，所以，当且仅当时取得等号，所以，即的取值范围是.