2022-2023学年河北省承德市重点高中高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年河北省承德市重点高中高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据复数除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．

【详解】由，则，所以的虚部为．

故选：A．

2．下列说法中不正确的是（    ）

A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线

C．单位向量是模为1的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等

【答案】B

【分析】根据向量的定义、共线向量、相等向量的定义求解.

【详解】根据规定：零向量与任一向量平行，A正确；

方向相反的两个非零向量一定共线，B错误；

单位向量是模为1的向量，C正确；

根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，

所以方向相反的两个非零向量必不相等，D正确；

故选:B.

3．在中，若，则（    ）

A． B．16 C．9 D．0

【答案】B

【分析】根据题意得到，再根据数量积和向量的加法法则即可求解．

【详解】由，

则，所以，

所以．

故选：B．

4．若，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.

【详解】因为，所以，

所以，

所以

.

故选：D.

5．在中，角所对的边分别为，若，，，则此三角形解的情况为（    ）

A．无解 B．有两解 C．有一解 D．有无数解

【答案】C

【分析】利用正弦定理可得，由的取值范围可求得的范围，结合大边对大角可知为锐角的一个，由此可得结果.

【详解】由正弦定理得：，

，，则，

，

，，只能为锐角的一个值，只有一个解.

故选：C.

6．已知的三边长分别为，，，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设的最小内角为，利用正弦定理得到，再利用余弦定理得到，进而即可求解．

【详解】设的最小内角为，

由正弦定理得，整理得，

又余弦定理得，

所以，解得，则．

故选：B．

7．已知点是所在平面内一点，若非零向量与向量共线，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】计算得出，可得出，即可得出结论.

【详解】因为，

所以与垂直，

因为与共线，所以，则.

故ABC均无法判断，D对.

故选：D.

8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上单调递增，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到，再根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．

【详解】由，

将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，

则，

由，，得，

又在上单调递增，

则，，解得，

即，

又，则当时，，即的取值范围是．

故选：C．

二、多选题

9．若复数为纯虚数，则（    ）

A．为实数 B．为实数

C．为实数 D．为实数

【答案】ACD

【分析】根据题意，设且，得到，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.

【详解】因为为纯虚数，设且，则，

由，所以A正确；

由，所以B错误；

由为实数，所以C正确；

由为实数，所以D正确.

故选：ACD.

10．已知函数，则下列关于函数的图象与性质的叙述中，正确的有（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数在上单调递增

C．函数的图象关于直线对称

D．

【答案】ABC

【分析】根据正切函数的性质画出图象，即可判断A、B、C的正误，由正切函数及诱导公式求判断D.

【详解】函数的大致图象，如下图示，

由上图象，易知：最小正周期为、上单调递增、图象关于直线对称，故A，B，C正确，

又，

所以，故D错误．

故选：ABC.

11．已知非零向量，满足，则下列结论正确的是（    ）

A．若，共线，则

B．若，则

C．若，则

D．

【答案】BD

【分析】当，同向时即可判断A；根据，有，再对两边平方即可判断B；根据，求解即可判断C；对两边平方，再结合基本不等式，绝对值不等式即可判断D．

【详解】对于A，由，，

所以当，同向时，，此时，故A错误；

对于B，若，则，，两边平方得，故B正确；

对于C，由，所以，即，故C错误；

对于D，由，得，故D正确．

故选：BD．

12．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B．a>c C．c>a D．

【答案】ACD

【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.

【详解】由正弦边角关系知：，则，

所以，而，则，A正确；

由上知：，即，B错误，C正确；

由知：，则，

又，故，则，即，D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．计算：___________.

【答案】

【分析】由复数的除法化简复数，进而求模即可.

【详解】.

故答案为：

14．已知，向量在上的投影向量为，则__________.

【答案】

【分析】设向量的夹角为，根据投影向量的概念，再结合数量积的概念即可求解．

【详解】设向量的夹角为，

由在方向上的投影向量为，

则，即，

所以．

故答案为：．

15．已知某扇形材料的面积为，圆心角为，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为______.

【答案】

【分析】根据条件求出扇形半径，设割出的圆半径为，圆心为，由求得，从而求得的周长.

【详解】设扇形所在圆半径为，∴

如图：设割出的圆半径为，圆心为，∴,

，故，

所以最大的圆周长为.

故答案为：

16．记的内角，，的对边分别为，，，若为的重心，，，则__________．

【答案】

【分析】根据及余弦定理建立方程得出，再由余弦定理求解即可．

【详解】连接，延长交于，

由题意得为的中点，，

所以，，

因为，

所以，得，

又，则，

故．

故答案为：．

四、解答题

17．已知虚数z满足.

(1)求证：在复平面内对应的点在直线上；

(2)若是方程的一个根，求与.

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）由题设可得，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；

（2）将复数代入方程求参数即可.

【详解】（1）设，由，则，

所以，

所以在复平面内对应的点为，在直线上.

（2）同（1）设复数，因为z是方程的一个根，

所以，即，

所以且，得，

因为，所以，

把代入得：，

所以，.

18．已知函数的图象的一部分如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）当时，求函数的最值.

【答案】（1）；（2）最小值；最大值.

【分析】（1）由函数的图象，求得，，得到，再由，求得，即可得到函数的解析式；

（2）化简得到函数，结合三角函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由函数的图象，

可得，，即，所以，可得，

又因为，即，可得，

又由，所以，

所以函数的解析式为.

（2）由题意，函数

.

因为，所以，

所以当，即时，取最小值；

当，即时，取最大值.

【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

19．已知的内角的对边分别为，向量，且.

(1)求角A；

(2)若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.

【答案】(1)

(2)等边三角形，

【分析】（1）由，可得，后由正弦定理结合

即可得答案；

（2）由（1），的周长为，且外接圆的半径为1，可得，

后由余弦定理可得，解出b,c即可得答案.

【详解】（1）因为，所以，

即.

由正弦定理得，

因为，所以.

因为，所以，所以.

因为，所以.

（2）设外接圆的半径为，则.

由正弦定理，得.

因为的周长为，所以.

由余弦定理，得，

即，所以.

则.

所以为等边三角形，的面积.

20．已知向量，满足，，．

(1)求向量与的夹角；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，，解得，再由向量的数量积，即可得出答案．

（2），由向量的数量积，即可得出答案．

【详解】（1）解：因为，所以，

因为，所以，解得．

而，所以，

又，所以．

（2）解：因为，，

所以，

所以．

21．2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A处下山至处有两种路径：一种是从A沿直线步行到，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿匀速步行，速度为.在甲出发后，乙从A乘缆车到B ，在B 处停留后，再从B 匀速步行到.假设缆车匀速直线运行的速度为，索道长为，经测量，.

(1)求山路的长；

(2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

【答案】(1)

(2)当时，甲､乙两游客距离最短

【分析】（1）利用，可得，后由正弦定理可得答案；

（2）假设乙出发分钟后，甲在D点，乙在E点.由图，题意，余弦定理可得

，即可得答案.

【详解】（1）在中，因为，所以.

从而.

由正弦定理，得.

所以山路的长为；

（2）假设乙出发分钟后，甲在D点，乙在E点.

此时，，，

所以由余弦定理得

.因为，即，

故当时，甲､乙两游客距离最短.

22．已知圆的半径为2，圆与正的各边相切，动点在圆上，点满足.

(1)求的值；

(2)若存在，使得，求的最大值.

【答案】(1)51

(2)5

【分析】（1）方法1，由题可得O为正三角形中心，则，

，又由，可得，后注意到

即可得答案；

方法2，以点为坐标原点，直线为轴，过点与直线垂直的直线为轴建立直角坐标系，设，则可得

，化简后可得答案；

（2）方法1，由，可得，

平方后结合（1）可得，后由基本不等式可将其化为

，即可得答案；

方法2，由（1）结合，可得，

则.后由基本不等式可将其化为，即可得答案.

【详解】（1）方法1，由题意知，且，

，

，

为的中点.

，

；

方法2，如图，以点为坐标原点，直线为轴，过点与直线垂直的直线为轴建立直角坐标系，则.

由得，所以.

，设，则

.

则

；

（2）方法1，.

，，.

两边平方得：

，由（1）得，则.

（当且仅当时取“=”号），整理得，即的最大值为5；

方法2，由（1）

，又，

则，

.

可得.

则，

整理得（当且仅当时等号成立），整理得，解得.所以的最大值为5.