2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高一下学期期中数学试题

命题学校：武汉市常青第一中学 

考试时间：2023年4月20日 试卷满分：150分

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（        ）

A．     B．     C．    D．

2．若虚数z使得是实数，则z满足（        ）

A．实部是   B．实部是    C．虚部是0    D．虚部是

3．古希腊的数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417-前369）通过图来构造无理数，，，…，记，，则（        ）

A．   B．   C．   D．

4．已知函数，则（        ）

A．最小正周期为π，最大值为3    B．最小正周期为2π，最大值为3

C．最小正周期为π，最大值为4    D．最小正周期为2π，最大值为4

5．在△ABC中，AD为BC边上的中线，，若，则（        ）

A．     B．1     C．0     D．

6．在△ABC中，角A，B，C对边为a，b，c，且，则△ABC的形状为（        ）

A．等边三角形   B．直角三角形   C．等腰三角形   D．等腰直角三角形

7．若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（        ）

A．    B．    C．    D．

8．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形--八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最大值是（        ）

A．    B．    C．    D．

二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（        ）

A．    B．z的虚部为－1   C．为纯虚数   D．

10．已知向量，，则下列说法正确的是（        ）

A．若，则       B．

C．存在，使得      D．当时，在上的投影向量的坐标为

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（        ）

A．若，则

B．若△ABC是锐角三角形，恒成立

C．若，，，则符合条件的△ABC只有一个

D．若△ABC为非直角三角形，则

12．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角θ的正矢，记作；定义为角θ的余矢，记作．则下列结论正确的是（        ）

A．函数在上单调递增；

B．若，则

C．若，则的最小值为0；

D．若，则的最小值为．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．若，其中a、b都是实数，i是虚数单位，则              ．

14．已知，若记，则              ．

15．锐角α满足，则              ．

16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为              ．

四、解答题：（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知，，且．

（1）求和的值；

（2）求与的夹角的余弦值．

18．已知函数的部分图象，如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域．

19．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内）

（1）求△ABD的面积；

（2）求点C，D之间的距离．

20．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．

（1）求；

（2）若，，求△ABC的周长．

21．在△ABC中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P．

（1）求；

（2）求∠MPN的余弦值．

22．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．记向量的相伴函数为．

（1）当且时，求的值；

（2）当时不等式恒成立，求实数k的取值范围．

武汉市常青联合体2022-2023学年度第二学期期中考试

高一数学试卷答案

13．；14．；15．；16．

17．【答案】

（1）∵，，

由化简得，

∴

（2）记与的夹角为，

18．【答案】（1）解：

根据函数的部分图象

可得，所以．

再根据五点法作图可得，

所以，．

（2）将函数的图象向右平移个单位后，可得的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．

由，可得，

又∵函数在上单调递增，在单调递减

∴，，，

∴

∴函数在的值域．

19．【答案】

（1）在△ABD中，，，所以．

由正弦定理：，得，

所以，

，

所以△ABD的面积为．

（2）由，，得，且，

∴．

在△CD中由余弦定理，

，

所以．即点C，D之间的距离为．

20．【答案】解：

（1）由三角形的面积公式可得

∴，

由正弦定理可得，

∵，∴；

（2）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∵，

∴

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

21．【答案】解：

（1）∵M为BC的中点，

∴．

∴

∵，，

∴，即

（2）∵N为AC的中点，

∴

∵，

，

，

，

与，的夹角相等，则的余弦值为．

22．【答案】

（1）解：向量的相伴函数为，

所以

∵，

∴．

∵，

∴，

∴

所以．

（2）解：向量的相伴函数为

当时，，

即，恒成立．

所以①当，即时，，

所以，

即，由于，

所以的最小值为，所以；

②当，，不等式化为成立．

③当，时，，

所以，

即，由于，

所以的最大值为，所以．

综上所述，k的取值范围是