2022-2023学年湖北省宜城市第一中学、枣阳一中等六校高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年湖北省宜城市第一中学、枣阳一中等六校高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数（其中为数单位）的共轭复数在复平面中对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】根据复数的除法以及共轭复数的概念结合复数的几何意义，即可得答案.

【详解】由题意得，

故复数的共轭复数为，对应的点为，在第三象限，

故选：C

2．已知平面向量满足与的夹角为，则实数的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据向量垂直时数量积等于0，结合数量积运算律以及数量积的定义，展开计算，即得答案.

【详解】因为，所以，

即，故，

故选：B

3．已知为锐角，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】判断，求出的值，将化为，即可求得答案.

【详解】由题意为锐角，可得，由，

可得，

故

，

故选：A

4．在△ABC中，，则△ABC的形状一定是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】注意到，根据已知等式，利用向量的数量积的运算法则和线性运算法则可得到，进而得到结论.

【详解】

∴BA⊥AC,

∴△ABC为直角三角形，    

故选：

5．把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图象所表示的函数是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据周期变换和平移变换的原则即可得解.

【详解】函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），

得函数，

再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，

得.

故选：D.

6．已知单位向量满足，则向量夹角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【分析】根据题意可判断，将两边平方可求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】由题意得单位向量满足，则

则，即，

解得或（舍去），

故，

故选：B

7．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合诱导公式以及同角的三角函数关系，将化为，根据正、余弦齐次式法求值，可得答案.

【详解】由题意，则

，

故选：A

8．已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．-1

【答案】C

【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值.

【详解】

如图所示，因为，且，所以垂直且平分，

则为等腰三角形，又，所以为等边三角形,

则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时，

只需考虑点E在边上的运动情况即可，

因为，，知，即，

则，

①当点E在边上运动时，设，则，

则,

当时，最小值为；

②当点E在边上运动时，

设,则,

则

，

当时，的最小值为；

综上，的最小值为；

故选：C．

【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解.

二、多选题

9．已知下列四个命题为真命题的是（    ）

A．已知非零向量，，，若，，则

B．若四边形中有，则四边形为平行四边形

C．已知，，，可以作为平面向量的一组基底

D．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为

【答案】ABD

【分析】由平面向量基本定理结合投影向量的运算逐一判断即可．

【详解】解：对于选项A，对于非零向量，，，由，，且为非零向量，可知，即选项A正确；

对于选项B，四边形中有，由平行四边形判定定理可得，

四边形为平行四边形，即选项B正确；

对于选项C，，，则，即，

则，不能作为平面向量的一组基底，即选项C错误；

对于选项D，，，则，

则向量在向量上的投影向量为，

所以在方向上的投影向量的模为，即选项D正确，

故选：ABD．

10．已知函数，则下列判断正确的是（    ）

A．为偶函数

B．的图象关于直线对称

C．在上单调递增

D．的图象关于点对称

【答案】AB

【分析】根据降幂公式及辅助角公式化一，再根据余弦函数的性质逐一判断即可.

【详解】

,

对于A，因为，

所以为偶函数，故A正确；

对于B，由，得，

所以的图象关于直线对称，故B正确；

对于C，由，得，

所以在上单调递减，故C错误；

对于D，当时，，

所以的图象关于点对称，故D错误.

故选：AB.

11．已知角是的三个内角，下列结论一定成立的有（    ）

A．

B．若，则

C．若是锐角三角形，则

D．若角是钝角，则

【答案】ABC

【分析】根据结合余弦函数单调性可判断A；根据正弦定理可判断B；根据是锐角三角形，则，利用正弦函数单调性可判断C；根据角是钝角，可得，结合两角和的正切公式可判断D.

【详解】由于角是的三个内角，故，

而在上单调递减，

则，A正确；

若，则，由正弦定理可得，B正确；

若是锐角三角形，则，即，

而在上单调递增，故，

则，C正确；

若角是钝角，则,

且，故，

则，D错误，

故选：ABC

12．下列命题为真命题的是（    ）

A．函数的图象关于点对称

B．函数是最小正周期为的周期函数

C．若是第二象限角，则，且

D．函数在区间上是增函数

【答案】AD

【分析】根据正切函数的性质可判断A；举出反例并结合图象可判断B；举反例判断C；根据复合函数的单调性判断可判断D.

【详解】根据正切函数的性质可知函数的图象关于点以及点对称，

即函数的图象关于点对称，A正确；

对于函数，由于，

即，即不是函数的周期，再结合函数的图象，

可知函数不是周期函数，B错误；

若是第二象限角，不妨取，则，

则，

，C错误；

当时，，而在上单调递增，

故在上单调递增，

同理当时，，而在上单调递减，

故在上单调递增，

故函数在区间上是增函数，D正确，

故选：AD

【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于选项D的判断，要根据正余弦函数的性质，结合复合函数的单调性的判断进行判断.

三、填空题

13．已知复数满足，则在复平面中对应的点所构成的图形的面积为__________.

【答案】

【分析】根据复数模的几何意义结合圆的面积计算，即可求得答案.

【详解】根据题意可知复数满足，

则由复数模的几何意义知对应的点所构成的图形为半径为2和的两个同心圆所围成的圆环，

则其面积为，

故答案为：

14．已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是___________.

【答案】1或##或1

【分析】由最小正周期可得，讨论并结合正弦函数的性质求的值域，即可求最大值与最小值的和.

【详解】由题设，，则，

在上，当则，故；

当则，故；

综上，最大值与最小值的和为1或.

故答案为：1或

15．已知点，将向量按顺时针方向旋转后得到向量，则点的坐标为__________.

【答案】

【分析】根据向量的坐标求得，设与x轴正半轴的夹角为，求得，进而推得与x轴正半轴的夹角为，求得，根据三角函数定义即可求得答案.

【详解】由题意得，则，

设与x轴正半轴的夹角为，则，

则与x轴正半轴的夹角为，

则，

故点的横坐标为，纵坐标为，

即点的坐标为，

故答案为：

16．在中，边上的高为2，则满足条件的的个数为__________.

【答案】2

【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A到的距离的最大值，和边上的高为2比较，即可确定答案.

【详解】因为中，，

所以的外接圆半径为,

即A位于以2为半径的圆弧上，

如图，当为正三角形时，此时顶点A到的距离的最大值为,

如图当A位于处时，此时为外接圆直径，则,

则，满足边上的高为2，

故满足条件的的个数为2个，

故答案为：2

【点睛】方法点睛：解答本题判断符合条件的三角形个数问题，采用作图分析即数形结合，即可判断得出结论.

四、解答题

17．已知复数.

(1)若为纯虚数，求实数的值；

(2)若在复平面内对应的点在直线上，求.

【答案】(1)

(2)0

【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程或不等式，即可求得答案.

（2）根据在复平面内对应的点在直线上列出m满足的方程，求得z，即可求得答案.

【详解】（1）若为纯虚数，则，解得.

（2）由题意可得，

解得，

所以，所以.

18．已知为锐角，.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；

（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解.

【详解】（1）；

（2）由，得，

因为为锐角，所以，则，

又因，所以，

所以，

所以，

则.

19．如图，在四边形中，为等边三角形，是边上靠近的三等分点.设.

(1)用表示；

(2)求的余弦值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求得答案；

（2）根据数量积定义求出，结合（1）的结论求出，以及，利用向量的夹角公式即可求得答案.

【详解】（1）由图可知，

因为是边上靠近的三等分点，

所以

；

（2）因为为等边三角形，

所以，

所以，

所以，

而，

则.

20．建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.

(1)求的表达式；

(2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.

【答案】(1)

(2)8小时

【分析】（1）直接利用函数图像，求出，进而求出的表达式；

（2）利用条件和由（1）中所求结果建立不等式，再借助的图像与性质即可求出结果.

【详解】（1）如图，

因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，

所以，

所以，又，所以，

所以.

（2）根据题设，由（1）得，即，

由的图像得，

解得，

又因为，

当时，，当时，，

所以或,

所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时.

21．设函数.

(1)求函数的最小正周期及图象的对称轴；

(2)在中，若，且的外接圆的面积为，求的最大值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，根据正弦函数的性质即可求得答案；

（2）利用（1）的结论求得A，求出三角形外接圆半径，进而利用正弦定理可表示出，结合辅助角公式化简，即可求得答案.

【详解】（1）由题意得

，

所以函数的最小正周期，

令，解得，

所以函数的周期是，对称轴方程是；

（2）因为，所以，

又因为，.

所以，故有，

已知的外接圆的面积为，设外接圆的半径为，

所以，得，

设的角所对的边分别为，

由正弦定理，.

所以，

，其中，

所以的最大值是.

22．在中，内角所对应的边分别是的面积为S.已知，且.

(1)求角的大小；

(2)若对任意的恒成立，，求的最小值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）利用余弦定理推出，结合可求得，即可求得答案；

（2）由题意可推得，结合（1）的结论确定B的范围，利用换元法令，确定其范围，可将化为，结合二次函数性质可得答案.

【详解】（1）因为，所以.

因为，所以，

所以，所以或,

因为，所以，所以；

（2）因为对任意的恒成立，

所以，

即，解得，因为，所以，

由（1）可知，则，

设，则，

因为，所以，所以，

设函数，

则在上单调递增，

所以当时，有最小值，即的最小值为1.