2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市长郡中学高一下学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  长郡中学2023年上学期高一期中考试数学命题人：饶金伟审题人：李典芳时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A. B. C. D.2.定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（）A.，  B.，C.，  D.，★3.与向量垂直的单位向量为（）A.  B.或C.  D.或★4.一个球的外切正方体的表面积等于，则此球的体积为（）A. B. C. D.5.在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球半径为（）A.3 B. C. D.66.下列命题正确的为（）①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面；③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面；④已知a，b，c为三条直线，若，，则.A.①③ B.②③ C.②④ D.①②★7.如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（）A. B. C. D.8.如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（）A. B. C. D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（）A.若为纯虚数，则 B.若，则C.若，则的最大值为2 D.★10.关于直线，与平面，，下列命题正确的是（）A.若，，且，则B.若，，且，则C.若，，且，则D.若，，且，则11.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（）A.  B.与所成的角为60°C.与是异面直线 D.平面12.已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、、和、、、、均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为（）A.可能有5个不同的值B.若，则与无关C.若，则D.若，，则与的夹角为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）★13.如图，将一个长方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是______.14.已知向量，，则向量的模的最大值是______.★15.在复平面内，为原点，向量，对应复数为，将绕点沿逆时针方向旋转，且将向量的模变为原来的倍，得向量，此时向量对应的复数为.现有一平行四边形，如图，，，，，则点直角坐标为______.16.如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知复数，，其中是实数.（1）若，求实数的值；（2）若是纯虚数，是正实数，求.18.（12分）某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得的距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°.（1）求两点间的距离；（2）求大楼的高度.19.（12分）已知在直角三角形中，，，.（1）若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积；（2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离.20.（12分）在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边，且.（1）若，求的面积；（2）记边的中点为，求的最大值，并说明理由.21.（12分）如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知，，.（1）若是的外心，求、的值；（2）如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求的值.22.（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，底面，，点在棱上，且.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值. 长郡中学2023年上学期高一期中考试数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCCDAB1.D【解析】若向量与向量共线，则存在实数，使，∴，∴解得.2.C【解析】设复数的平方根为，则，化简得，所以，，解得，或，，即复数的平方根为或.5.C【解析】由正弦定理得，外接圆直径为，得.设球心到平面的距离为，则.∴三棱锥的外接球半径为.6.D【解析】对于①，设平面平面，因为，平面，所以，同理，，故、、三点共线，①正确；对于②，因为，所以，可以确定一个平面，因为，，，，所以，所以，又，所以，因为，所以或，又，所以不成立，所以，即这四条直线共面，所以②正确；对于③，直线、异面，、异面，则，可能平行、相交或异面，所以③错误；对于④，，，则，可能平行、相交或异面，所以④错误.7.A【解析】即为向量与的夹角，设，，且，则，，所以，，所以，故.8.B【解析】在中，由正弦定理，，∴.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BCDBCACDBC9.BCD【解析】对于A，为纯虚数，所以即，所以A错误；对于B，，因为，所以，从而，所以B正确；对于C，由复数模的三角不等式可得，所以C正确；对于D，，所以D正确.11.ACD【解析】如图所示，将平面图形还原为立体图形，根据正方体的性质知：，，故，A正确，B错误；与是异面直线，C正确；平面平面，平面，平面，D正确.故选ACD.12.BC  【解析】根据题意得的取值依据所含的个数，分三类：有0个、有1个、有2个，记，分别得的取值为：，，，则至多有3个不同的值，A错误；若，则，此时，，，又，为非零向量，则，与无关，B对；若，则，，，则，C对；若，则，，，∵，，∴，解得，∴，D错误.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.14.【解析】∵，则，当时，有最大值，且为.15.16.【解析】如图，在棱上取一点，使得，取的中点，连接，，，由于，分别是棱，的中点，所以，，故四边形为平行四边形，进而，又因为，分别是，的中点，所以，所以，则或其补角是异面直线与所成的角.设，则.，.从而，，，，故，故异面直线与所成角的余弦值是.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.【解析】（1）∵，，，∴，从而解得；……（5分）（2）依题意得：，因为是纯虚数，所以从而或；……（7分）又因为是正实数，所以.当时，，……（8分）因为，，，，…，，，，，，所以，所以.……（10分）18.【解析】（1）因为，在中，因为，，所以；……（6分）（2）在中，因为，，所以，又因为，所以.……（12分）19.【解析】（1）在直角三角形中，由，，即，得，若以为轴旋转一周，形成的几何体为以为半径，高的圆锥，则，其表面积为；……（6分）（2）由问题（1）的圆锥，要使蚂蚁爬行的距离最短，则沿点的母线把圆锥侧面展开为平面图形，最短距离就是点到点的距离，，在中，由余弦定理得.……（12分）20.【解析】（1）在中，，∴，则由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，，则，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，当时，为正三角形，，∴；……（6分）（2）由余弦定理可知：，∵，，∴，∵边的中点为，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.……（12分）21.【解析】（1）设的中点为，显然，，由，设的中点为，显然，，由，即，；……（6分）（2）因为是的平分线上某点，所以，所以由，，由，当且仅当时取等号，即时取等号，此时，，所以，所以.……（12分）22.【解析】（1）∵平面，平面，∴，∵在荾形中，，且，、平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；……（6分）（2）连接，则平面平面，由（1）知平面，则，，，故是二面角的平面角.∵，，、平面，∴平面，∴.在荾形中，，，则是等边三角形，则易知，又，∴，故，∴，即二面角的余弦值为.……（12分）