2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试题含答案

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼中学高一下学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  雅礼教育集团2023年上学期期中考试试卷高一数学时量：120分钟满分：150分一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若复数满足，则的虚部是（）A. B. C. D.2.若，，，的夹角为，则等于（）A. B. C. D.3.在中，点是边的中点，则有（）A.  B.C. D.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件5.如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是（）A.直线与直线是异面直线B.直线与直线是共面直线C.直线与直线是异面直线D.直线与直线是共面直线6.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）.如图，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为，球冠的高为，则球冠的面积.已知该灯笼的高为，圆柱的高为，圆柱的底面圆直径为，则围成该灯笼所需布料的面积为（）图1                    图2A. B. C. D.7.若，，，，则（）A. B. C. D.8.已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（）A. B. C. D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.在中，已知，，，则角的值可能为（）A. B. C. D.10.下列说法中正确的是（）A.若，，则B.单位向量，，则C.若点为的重心，则D.当时，使成立的的取值范围为11.已知，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，且，则B.若，相交，且都在，外，，，，，则C.若，，且，则D.若，，，则12.已知函数，且，，，，则下列结论正确的是（）A.  B.C.在上单调递减 D.最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.命题“，”的否定是__________.14.复数的模为__________.15.已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为__________.16.在凸四边形中，，，，则长度的范围__________.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，已知棱长为的正方体中.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.18.已知向量，，其中.（1）当时，求x值的集合；（2），求.19.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）若函数，求在区间上的最大值和最小值.20.某环保组织自年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的.最初测得该水域水葫芦生长的面积为n（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记年元旦最初测量时间的值为.（1）根据所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；（2）该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的倍以上？（参考数据：，）21.在锐角中，角，，的对边分别是，，，若（1）求角的大小；（2）若，求中线长的范围（点是边中点）.22.已知函数（，且）满足.（1）求的值；（2）求证：在定义域内有且只有一个零点，且.
高一下期中试题答案版1. B 2.B 3.D 4.A 5.C6.【详解】由题意得，得，，所以两个球冠的表面积之和为，灯笼中间球面的表面积为，因为上下两个圆柱的侧面积之和为，所以围成该灯笼所需布料的面积为.故选:B.7.C.8.A如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得，，作，，，，则四边形ABEC，ANGM，EHGF均为平行四边形.由题意可知:点组成的区域D为图中的四边形EFGH及其内部，，；，.，.四边形EFGH的面积，即，，当且仅当时取等号.的最小值为4.9.BC10.BCD11.BD12.因为，即，对A、B；又a，b，，则，所以，故,在R上递减，由，令，则在R.上递减，且，所以，，且，则，恒成立.，可得，故A，B正确对C：取，，，则，所以C错误；对D:令，则.令，则，，且，，则，，故，可得，又在上单调递增，且，，故，即，所以，所以D正确.故选:ABD.13.，14.115.16解析:如图，平移CD到构造两种极端情况得到等腰三角形，则，角平分线交BC于，设，，由相似于得得，，本题背景为:黄金三角形及，等的三角函数值，考虑特殊情况可以灵活解决问题.17.证明:（1）在棱长为1的正方体中，，且所以四边形为平行四边形，又平面，平面，平面；（2）由正方体易知，三棱锥的高为，所以18.【详解】（1），即所以x的取值的集合为（2），所以，当时，19.【详解】（1）由图象可知:，将点代入）得，（2）由得当时，即；当时，即；20.（1）因为两个函数模型，在上都是增函数，随着x的增大的函数值增加得越来越快，而的函数值增加得越来越慢.因为在该水域中水葫芦生长的速度是越来越快，即随着时间增加，该水城中水葫芦生长的面积增加得越来越快，所以第一个函数模型满足要求由题意知解得，所以.（2）由，解得，又，故，故该水域中水葫芦生长面积在5月份起是元旦开始研究时其生长面积的.60倍以上.21.（1）因为，由正弦定理可得：即，，因为，所以，所以，因为，所以.（2）由（1）得，则，因为点D是边BC中点，所以，两边平方可得:，则，不妨设，则有得故从而，由，，，故备注1:此题可利用基本不等式先解得最大值，最小值可由极端位置获得答案.备注2:此题也可以用正弦定理转化，将用三角函数表示计算范围，再:算bc范围.22.（1）因为，所以，即，解得.（2）由题意可知函数的图象在上连续不断.①时，因为与在上单调递增，所以在上单调递增.又因为，，所以.根据函数零点存在定理，存在，使，所以在上有且只有一个零点.②当时，，所以，所以在上没有零点.③当时，，，所以，所以在上没有零点.综上所述，在定义域上有且只有一个零点.因为，即.所以，，又因为在上单调递减，所以，即.