2022-2023学年江苏省南京航空航天大学附属高级中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省南京航空航天大学附属高级中学高一下学期期中数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京航空航天大学附属高级中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（    ）A．1 B．2 C． D．4【答案】C【解析】由复数的除法求出复数，再由模的定义求得模．【详解】由题意，∴．故选：C．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模．属于基础题．2．已知向量，满足，，，则向量，夹角的大小等于（    ）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】A【分析】先由得到，再根据数量积公式得到，进而结合向量夹角的范围进行求解.【详解】设向量向量，的夹角为，由，得，即，因为，， 所以，解得，又因为，所以，即向量，的夹角的大小为30°．故选：A．3．已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（    ）A． B．C．－i D．＋i【答案】D【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.【详解】故选:D.【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，则△ABC的形状为（　  　）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】用正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简变形可得．【详解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故选：D.【点睛】本题考查正弦定理，考查三角形形状的判断．解题关键是诱导公式的应用．5．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，求得，再由，即可求出．【详解】由，求得，而，所以．故选：B．【点睛】本题主要考查已知正切值，齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．6．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（    ）A．为定值10 B．为定值6C．最大值为18 D．与P的位置有关【答案】A【解析】设，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可.【详解】设.，因为，，所以.故选：A【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力.7．化简所得的结果是（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】先切化弦并整理得，再结合展开整理即可得答案.【详解】解：.故选：B【点睛】本题考查利用三角恒等变换求函数值，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于先根据切化弦的方法整理得，再根据化简整理即可求解.8．已知中，，则的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知判断为锐角，然后分别求解与的值，再由正弦定理求解与的值，代入三角形面积公式得答案．【详解】解：由，得，可得为锐角，又，，则，即，，解得，则．，由正弦定理，得，．．故选：． 二、多选题9．在复平面内，下列说法正确的是(    )A．若复数(i为虚数单位)，则B．若复数z满足，则C．若复数，则z为纯虚数的充要条件是D．若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆【答案】AD【分析】A：根据复数的除法运算法则计算即可；B：设，根据求出a、b的值即可判断；C：根据纯虚数的概念即可判断；D：设，求出z对应的点(a，b)的轨迹方程即可判断．【详解】对于A，，故A正确；对于B，设z=a+bi，a、bR，则，；当a=0，b≠0时，z=biR，故B错误；对于C，，则z为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，故C错误；对于D，设，则，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确．故选：AD．10．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（    ）A．若，则，的方向相同B．若⊥，则C．若，则在方向上的投影向量为D．若存在实数λ使得，则【答案】BC【分析】将模的关系转化数量积的关系，结合夹角的特征可判断A B D的正误，再根据投影向量的定义可判断C的正误．【详解】因为，，故即，故，共线反向，故A错误．若⊥，则，故，故B正确．若，则即，故，故，共线同向，故则在方向上的投影向量为，故C正确．由A选项的分析可知：即为，共线反向，且，故当时，，共线同向，故不成立，故选：BC．11．已知，，若，是关于的方程的两个根（含重根），则可能是（     ）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】BCD【分析】由韦达定理及正切的两角和公式通过分类讨论可求解.【详解】因为方程有两根，，所以，所以，且或.所以，因为，所以，从而可得，所以.当时，，所以，，此时锐角三角形.当时，，可知中有一个钝角，些时钝角三角形.若，则，此时，所以，解得或（舍），当时，是等腰三角形.因此，可能是锐角三角形、钝角三角形、等腰三角形.故选：BCD12．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的是（    ）A．角C一定为锐角 B．C． D．【答案】BCD【分析】利用余弦定理与正弦定理的边角互化，对选项逐一判断.【详解】∵，∴，即，∴，又，∴一定是钝角，故A错误；由余弦定理知，，化简得，，故B正确；∵，∴，，C正确；∴，D正确；故选：BCD【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 三、填空题13．已知平面向量，，且，则 _________ .【答案】【分析】利用求出，再求出的坐标后可求其模长．【详解】因为，故，，故，故，故答案为：14．已知，且，则_____________.【答案】【分析】先由已知条件求出，然后求出的值，从而可求出.【详解】因为，，所以，，所以，因为，所以，所以，故答案为：.15．为了测量、两岛屿之间的距离，一艘测量船在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶16海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两岛屿之间的距离为___________海里．【答案】【分析】根据题意画出图形，结合图形在中由正弦定理求得的值，在中求出，在中由余弦定理求得的值．【详解】根据题意画出图形，如图所示：由题意知，，，所以，在中，由正弦定理得：，解得，又，，所以，，又，在中，由余弦定理得：，解得，所以､两岛屿之间的距离为海里．故答案为：． 四、双空题16．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．【答案】     1     【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值.【详解】设，，为边长为1的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为：1；. 五、解答题17．已知复数（，是虚数单位）.(1)若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）写出，再根据复数的加法运算求出，再根据复数的几何意义结合题意列出方程组，从而可得出答案；（2）根据一元二次方程的虚数根互为共轭复数，结合韦达定理即可得出答案.【详解】（1）解：，，因为在复平面内对应的点落在第一象限，所以，解得；（2）解：因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以虚数也是一元二次方程的根，则，所以.18．已知角是的内角，若，.(1)若，求角A的值；(2)设，当取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）.【答案】(1)；(2).【分析】(1)由向量平行的坐标表示列方程求A，(2)由数量积的坐标公式求，再求其最值，并根据投影 的定义求在上的投影向量.【详解】解：(1)∵角是的内角，∴，又，且，∴，即，∴，∵，∴，则，即；(2)，∵，∴要使取得最大值，则，即.∴，∴在上的投影向量为.19．在①A = ，a = ，b = ；②a = 1，b = ，A = ；③a =，b = ，B = 这三个条件中选一个，补充在下面问题中，使该三角形解的个数为2，并加以解答.问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ________ ，解三角形.【答案】；或      【分析】根据三角形的边角关系及正弦定理求解三角形即可.【详解】（1）选择条件根据正弦定理：可得： 或， 时， ，不符合题意.所以选择条件时，，此时， 计算得：此时三角形的解只有一个，不符合题意.（2）选择条件.根据正弦定理：可得： 或时，，此时计算得： 时，，此时计算得： 选择条件，解三角形可得结果为： 或（3）选择条件根据正弦定理得：，此时，计算得： 此时三角形只有一个解，不符合题意.所以选择条件，解三角形结果为：或 20．在中，角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若向量，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式化简后可求得；（2）由模的坐标表示求出向量的模，并利用公式，两角和的余弦公式化简后，由（1）求得角范围，结合余弦函数性质可得结论．【详解】解：（1）在中，由正弦定理：，，，因为，故， 从而，又，所以．（2）因为，，所以所以所以．21．如图，在四边形中，，，.（1）若，求的面积；（2）若，，求的长.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积．（2）设∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得从而，在中，由正弦定理得，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得结果.【详解】（1）因为，，，所以，即，所以.所以.（2）设，，则，在中，由正弦定理得：，所以；在中，，所以.即，化简得：，所以，所以，，所以在中，.即，解得或（舍）.【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．已知的最小正周期是．(1)求的值；(2)若，求值；(3)当时，讨论方程的根的个数．【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再结合函数的最小正周期计算作答.（2）利用（1）的结论，结合平方关系及和角的正弦公式求解作答.（3）求出函数，并探讨在上的性质，由函数值的变化情况即可推理作答.【详解】（1）依题意，函数的最小正周期，解得，所以的值是1.（2）由（1）知，，于是，而，则，，所以.（3）由（2）知，函数，显然，函数在上单调递增，函数值由增大到1，在上单调递减，函数值由1减小到，则当或时，方程的根的个数为0；当或时，方程的根的个数为1；当时，方程的根的个数为为2.