2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省南京市金陵中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】首先求集合，比较集合后判断选项.

【详解】由三角函数性质可知，又因为，

所以.

故选：C

2．复数z＝（i是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第（    ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】A

【分析】先求出，在求出它的共轭复数，找出坐标即可判断.

【详解】因为z＝＝＝，

所以的共轭复数为，

则在复平面上对应的点为位于第一象限．

故选：A．

3．下列函数中，在区间上单调递增的函数是（    ）

A．y＝cos(x－) B．y＝sinx－cosx C．y＝sin(x＋) D．y＝|sin2x|

【答案】B

【分析】分别求出其单调区间，再分析判断即可

【详解】对于A，由 ，则，所以函数在上递增，在上递减，所以A错误，

对于B，时，，，，所以函数在上递增，所以在单调增，所以B正确，

对于C，，由，得，所以函数在上递减，所以函数在区间上单调递减，所以C错误，

对于D，，可知函数在上递减，所以D错误，

故选：B．

4．若，则

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】试题分析： ，

且，故选D.

【解析】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：

（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．

5．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到.下表为部分锐角的正弦值，则的值为（    ）（小数点后保留2位有效数字）

A． B． C．0.36 D．0.42

【答案】B

【分析】利用诱导公式化简得原式即得解.

【详解】解：

故选：B

6．函数，试判断函数的奇偶性及最大值（    ）

A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2

C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为

【答案】D

【分析】计算得到，函数为偶函数，化简得到，计算最值得到答案.

【详解】，函数为偶函数，

所以当时，取最大值．

故选：D

7．已知均为单位向量，且满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过向量的线性运算进行化简求值即可.

【详解】，同理

．

故选：B.

8．锐角中,，若，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用正弦定理化角为边可得,则利用余弦定理可得,再由正弦定理可得,根据的范围即可求解.

【详解】由题,由正弦定理可得,整理可得,

所以,即,

又,

所以

,

因为锐角三角形,所以,所以,

则,所以,

所以,

故选：D.

二、多选题

9．已知复数满足，则下列结论正确的是（    ）

A．复数的共轭复数为 B．的虚部为

C．在复平面内对应的点在第二象限 D．

【答案】AD

【分析】先由已知求出复数，然后再逐个分析判断即可

【详解】由，得，

所以，

所以复数的共轭复数为，复数的虚部为，复数在复平面内对应的点在第三象限，，

所以AD正确，BC错误，

故选：AD

10．已知，则以为边长的钝角三角形的边长，则的值可以是（    ）

A．3 B．6 C．7 D．9

【答案】BC

【分析】分是否为最大边进行讨论分析即可.

【详解】钝角三角形中，其中一边的平方大于另两边的平方和，

当5为钝角三角形的最大边时，有：，

解得：，

由三角形三边关系可得，即，

所以，

由于，此时，；由

不满足题意，故，

当为钝角三角形的最大边时，有：，

解得：，

由三角形三边关系可得，即，

所以，

由于，此时；

故答案为：BC．

11．对于非零向量，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】BD

【分析】利用向量数量积的运算律以及有关概念对各个选项进行判断即可.

【详解】A. 若，则,故错误；

B. 若，则，所以成立，故正确；

C. 当为零向量时，满足，但是推不出，故错误；

D. 若，则，可得，

整理即可得到，故正确；

故选：BD

12．设的内角A，B，C所对的边为a，b，c，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则； B．若，则；

C．若，则； D．若，则．

【答案】BC

【分析】根据余弦定理结合基本不等式可以判断A错误；根据条件可得：，进而判断B正确；根据条件可得：，结合余弦定理可以判断C正确；取，举例可以判断D错误.

【详解】对于A，若，根据余弦定理，可得：

，

当且仅当 时等号成立，

结合C为三角形的内角，可得，故A错误；

对于B，若，

根据余弦定理，可得,

∴，

可得，

结合，得到，

∴，

解得，

结合C为三角形的内角，

可得，故B正确；

对于C，若，

则，

∴，可得，

因为，所以，故C正确；

对于D，取，可得成立，

但C为最小角，必定是锐角且小于，所以D错误；

故选：BC.

三、填空题

13．已知向量， ，且，则实数的值为_____

【答案】

【分析】直接由向量共线的坐标运算得答案．

【详解】解：∵量（4，﹣3），（x，6），且∥，

则4×6﹣（﹣3）x＝0．

解得：x＝﹣8．

故答案为﹣8．

【点睛】平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若（a1，a2），（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2＝0，∥⇔a1b2﹣a2b1＝0，是基础题．

14．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，则的最小值为______.

【答案】

【分析】由题意可知，最小正周期，则，令，求解即可.

【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知，即.

所以，则.

因为该函数图象关于点成中心对称

所以，即

又因为，

所以当时，.

故答案为：

【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质，属于中档题.

15．若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，，则________.

【答案】

【详解】试题分析：由题意得：又，而，则

【解析】三角函数性质

四、双空题

16．设的三边，，所对的角分别为，，.若，则______，的最大值是______.

【答案】     -2    

【解析】化简成正余弦的关系式,再利用余弦定理与正弦定理化简求解即可.

【详解】(1)

(2)由(1),故

,因为故为锐角.

故.

故答案为：(1). -2    (2).

【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理的运用,同时也考查了基本不等式的运用,需要根据题意将正切函数化简为正弦与余弦的表达式,进而想到边角的互化以及余弦定理的公式,属于中等题型.

五、解答题

17．设，已知向量，，且．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据向量垂直列方程，解方程即可；

（2）利用特殊角的三角函数值求解.

【详解】（1）因为，，且，

则，

即，

，，

，即，

所以；

（2）由（1）得，

则.

18．已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象上的一个最高点.

(1)求函数的解析式；

(2)把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，在上是增函数，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由给定周期求出，根据最高点求得及的值，写出的解析式作答..

（2）由（1）及已知求出的解析式，并求出的单调递增区间，再根据给定区间列不等式组求解作答.

【详解】（1）依题意，，周期，解得，

因为函数的图象经过点，则，即，而，于是得，

所以函数的解析式是.

（2）由（1）及已知得：，

由，解得：，

于是得函数的增区间为，因函数在上是增函数，

于是得，，解得，又，

即，解得，又，则，，

所以的取值范围是.

19．如图，扇形所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动，且总有，设，.

（1）若，用，表示，；

（2）求的取值范围.

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）由,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可,表示,.

（2）设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围.

【详解】（1）由题知,均为等边三角形,所以四边形为菱形.

所以,

所以,

.

（2）设,则,.

∴,

,

∴,

∵,

∴当,上式最小值为；当或1时,上式最大值为2.

∴的取值范围.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量基本定理的应用,平面向量数量积的运算,由二次函数性质求最值,属于中档题.

20．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设.

（1）若矩形是正方形，求的值；

（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由.

【答案】（1）矩形是正方形时，（2）当是的中点时，最大

【详解】试题分析：（1）因为四边形是扇形的内接正方形，所以，注意到，代入前者就可以求出. （2）由题设可由，，利用两角差的正弦和辅助角公式把化成的形式，从而求出的最大值.

解析：（1）在中， ，，在中，  ， 所以，因为矩形是正方形，，所以，所以，所以 ．    

（2）因为所以，              ，．所以, 即时，最大，此时是的中点．  

答：（1）矩形是正方形时，；

（2）当是的中点时，最大．    

21．中，内角所对的边分别为，．

(1)求；

(2)如图，点为边上一点，，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式，化简整理，可求得，的值，即可求得答案.

（2）根据（1）可求得，进而可求得，根据余弦定理，可求得，进而可求得，代入面积公式，即可求得答案.

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

由正弦定理，可得，

∵，

∴，，

∵，

∴，则，

∴＝．

（2），

又，

∵，

∴，

∵，

∴，则，

∴sin＝＝，

又，

∴在中，由正弦定理，可得，

∴，，

∴＝

＝＝．

22．如果对于三个数、、能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”、、，如果函数使得三个数、、仍为“三角形数”，则称为“保三角形函数”.

（1）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由；

（2）对于“三角形数”、、，其中，若，判断函数是否是“保三角形函数”，并说明理由.

【答案】（1）不是，理由见解析；（2）是，理由见解析.

【分析】（1）取，分别求得，由此可得，故函数不是“保三角形函数”；

（2）分，，三种情况均可证得能构成三角形的三边，故函数是“保三角形函数”.

【详解】（1）因为，取，

则，，，

显然，即不能构成三角形的三边，

故函数不是“保三角形函数”.

（2）①当时，，所以最大.

由得，所以，

故，即能构成三角形的三边；

②当时，，所以最大.

由得，，

故，即能构成三角形的三边；

③当时，，所以最大.

由得，所以，

故，即能构成三角形的三边；

综合①②③可知，函数是“保三角形函数”.

【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：分，，三种情况证明能构成三角形的三边.