2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省南京市中华中学高一下学期期中数学试题 一、单选题1．已知向量，，则（    ）A．5 B．14 C． D．【答案】B【分析】先求向量的坐标，再利用数量积的坐标表示求出答案.【详解】因为，，所以，所以.故选：B.2．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平方关系可求，结合二倍角公式可得答案.【详解】因为，所以；所以.故选：D.3．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若米，，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米.A．80 B．120 C． D．【答案】D【分析】先求，利用余弦定理求得.【详解】，在三角形中，由余弦定理得：米.故选：D4．在中，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，根据可求答案.【详解】因为在中，，所以为锐角，且，所以；因为，所以，即，解得.故选：A.5．在中，为线段上一点，且，若，则的最小值为（    ）A． B．16 C．48 D．60【答案】C【分析】先由得出再得出,最后常值代换应用基本不等式可解.【详解】,,，又B，D，C三点共线，,,当且仅当即当时取最小值.故选:C.6．已知，且，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合角的范围，利用同角三角函数基本关系及两角和差的正弦公式即可求解.【详解】因为所以，又，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故选：A7．记的内角 ，，的对边分别为，，.已知，，则周长的最大值为（    ）A． B． C．3 D．【答案】C【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得，求出角B，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案.【详解】由,可得,即，即，因为，故，而，故，故，即，解得，当且仅当时取等号，故周长的最大值为，故选：C8．若,且,,则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出的范围,再利用和差化积公式对等式两边分别化简,即可求得的正切值,从而求出.【详解】,,,又时,是减函数,,.由和差化积公式可得:,,,,,,,又,,故选:C. 二、多选题9．在矩形中，，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】如图建系，应用坐标运算求向量加法及数量积分别判断各个选项即可.【详解】如图建系，，,A选项错误;,B选项正确;,C选项错误;,D选项正确.故选：BD.10．下列代数式的值为1的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用倍角公式，辅助角公式和两角差的正切公式逐项求解可得答案.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B不正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：AD.11．记的内角，，的对边分别为，，，则下列判断正确的是（    ）A．若，，，则是钝角三角形B．若，则是等腰三角形C．若，则为锐角三角形D．若，则为锐角三角形【答案】AC【分析】利用余弦定理和三角形的性质逐项判断即可得出答案.【详解】对于A，因为，，，所以为最大角，，所以是钝角三角形，A正确；对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，B不正确；对于C，因为，所以均大于零，即为锐角三角形，C正确；对于D，当时，满足，但是为钝角三角形，D不正确.故选：AC.12．已知，则的值用可以表示为（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用诱导公式、两角和公式以及二倍角公式，化简求解即可得到答案.【详解】，又，故，得到故选：AD 三、填空题13．向量在向量方向上的投影向量______.【答案】【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.【详解】向量在向量方向上的投影向量是.故答案为：14．函数的最小值为______.【答案】【分析】化简的解析式，根据二次函数的性质求得正确答案.【详解】，，根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值.故答案为：15．非零向量满足：，,则与夹角的大小为_______【答案】135°或者【分析】根据题意，设，，则，结合题意分析可得△OAB为等腰直角三角形，结合向量夹角的定义分析可得答案．【详解】解：根据题意，设，，则，若||＝||，，即||＝||，且⊥，则△OAB为等腰直角三角形，则与的夹角为180°﹣45°＝135°，故答案为135°．【点睛】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的计算公式． 四、双空题16．如图，在中，，，过点向外作等腰直角三角形，且，则当______时，的长度取得最大值，最大值为______.【答案】          【分析】利用余弦定理及诱导公式得到，结合，求出最大值及此时的值.【详解】在中，由余弦定理得，故，其中，，因为，，所以，故，因为，所以，故当，即时，取得最大值，最大值为，故的最大值为.故答案为：， 五、解答题17．已知.(1)求的值域；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先根据两角和差正弦余弦公式化简解析式，再应用三角函数值域求解即得；（2）先用已知角表示未知角，结合同角三角函数关系求函数值，再应用两角和差公式求解即可.【详解】（1），所以的值域为（2）由（1）得，因为，所以，所以.所以.18．已知，.(1)求的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据二倍角的余弦及正切公式化简求值即可；（2）结合角的范围解一元二次方程得，然后根据两角和正切公式求出，然后根据角的范围确定角的大小.【详解】（1）因为，所以，所以，所以（2）因为，所以或.因为，所以，所以.所以因为，，所以，所以.19．在中，角的对边分别为.已知.(1)求角的大小；(2)若为线段延长线上一点，且，求.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角性质即可求的大小；（2）设，且，在、应用正弦定理列方程求，根据同角三角函数关系、诱导公式即可求的大小.【详解】（1）由正弦边角关系得：，所以则，即，所以（舍）或，故 .（2）设，且，在中，①，在中，②，所以，，所以.20．如图，在平面直角坐标系中，角和的终边与单位圆分别交于，两点.(1)若，求的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）先表示出向量的坐标，利用和差角公式可求答案；（2）根据求出，根据倍角公式可得答案.【详解】（1）因为，，所以，所以，两式平方相加，得，解得.（2）因为，所以.因为，所以.所以.21．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块凸四边形的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将连结，经测量，，.霍尔顿发现无论多长，是定值.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方和相关，记和的面积分别为和，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.请你帮助霍尔顿解决以下问题：(1)求出的值；(2)求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在两个三角形内分别利用余弦定理求出，化简整理可得答案；（2）利用面积公式分别表示出，求和，利用换元法求解最值.【详解】（1）在中，，，根据余弦定理，.同理，在中，.所以，所以.（2）由（1）可知；在中，，同理可得，在中，.令，则，所以当时，取得最大值，最大值为.所以，当时，的最大值为.22．在直角中，，，为的中点，，分别为线段，上异于，的动点，且.(1)当时，求的长度；(2)若为的中点，设，求的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理可求；（2）设，由正弦定理用表示出，把转化为，结合三角恒等变换的知识可求范围.【详解】（1）在直角中，，，为的中点，所以，.在中，，，，根据正弦定理，得.在中，，同理，由正弦定理可得.在中，，，，根据余弦定理，得，所以.（2）在中，，，，根据正弦定理，得.同理，在中，.因为，所以， （用积化和差化简不扣分）因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.