2022-2023学年江西省南昌市第三中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西省南昌市第三中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．下列选项中，与角终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先表示出与终边相同的角，再根据选项判断即可.

【详解】解：与角终边相同的角表示为，

当时，故与角终边相同.

故选：D

2．已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意结合任意角三角函数的定义可求出，然后代入求解即可.

【详解】因为角的终边与单位圆的交点为，

所以，所以.

故选：C

3．的运算结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据相反向量的概念及向量的加法直接求解.

【详解】，

故选：D.

4．下列函数中周期为且为偶函数的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先利用函数的周期性排除，，再利用诱导公式与函数的奇偶性可排除，从而可得答案．

【详解】解：：令，

则，

为奇函数，故可排除；

，

其周期，，

是偶函数，

是周期为的偶函数，故正确；

其周期，故可排除；

：同理可得的周期为，故可排除；

故选：．

【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性，考查诱导公式的应用，属于中档题．

5．若把函数的图象沿轴向左平移个单位,

沿轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的 横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数的图象,则的解析式为

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：由题意函数的图象变换，按照逐步逆推，即可得到函数的解析式，确定选项.

详解：函数y＝sinx的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标保持不变)，得到，沿y轴向上平移1个单位，得到，图象沿x轴向右平移个单位，得到函数.

故选：B.

点睛：关于三角函数的图象变换的方法

(1)平移变换

①沿x轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移．

②沿y轴平移：由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移．

(2)伸缩变换

①沿x轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．

②沿y轴伸缩：由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍．

6．设，，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用辅助角公式化简，利用倍角公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小.

【详解】，

，

.

因为函数在上是增函数，所以.

故选：C.

7．已知在上是增函数，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先根据底数大于零且不为1得到在为减函数，根据的单调性得到，再根据真数大于零的要求得到实数的取值范围．

【详解】设， 在上是增函数，

，即，解得， 实数的取值范围是 ，

故选C．

【点睛】函数单调性的判断一方面要熟悉基本初等函数的单调性，另一方面也要知道复合函数及函数的四则运算后函数单调性的判断方法（一般地，增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减）.对于与对数函数有关的复合函数，注意真数恒大于零的要求.

8．若，函数的值域为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利辅助角公式可得（其中），再利用换元法令，从而得到的取值范围.

【详解】因为（其中）．

令，因为，所以．

因为，且，所以，

故，即．

当时，单调递减，

因为，

所以．

故选：D．

二、多选题

9．下列说法中错误的是

A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上

B．零向量与零向量共线

C．若，则

D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量

【答案】AD

【解析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；

零向量与任一向量共线，故B正确；

若，则，故C正确；

温度是数量，只有正负，没有方向，故D错误.

故选：AD

【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若且，则 D．若且，则

【答案】BCD

【分析】取可判断A选项；利用不等式的基本性质可判断BC选项；利用作差法可判断D选项.

【详解】对于A选项，当时，，A错；

对于B选项，若，由不等式的性质可得，，则，B对；

对于C选项，若，则，则，

又因为，由不等式的性质可得，C对；

对于D选项，若且，则，所以，，D对.

故选：BCD.

11．已知函数的图象为，则下列结论中正确的是（    ）

A．图象关于直线对称

B．图象的所有对称中心都可以表示为，

C．函数在上的最大值为

D．函数在区间上单调递减

【答案】AB

【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，进而确定函数的各性质.

【详解】，

A选项：令，，解得，，所以函数图像关于直线对称，A选项正确；

B选项：令，，解得，，即函数的对称中心为，，B选项正确；

C选项：，则，所以当即时取最大值为，C选项错误；

D选项：令，，解得，，

所以函数的单调递减区间为，，

又时，区间为，当时，区间为，

所以函数在上单调递减错误，D选项错误；

故选：AB.

12．已知、、，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】由已知可得，利用同角三角函数的平方关系结合两角差的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解.

【详解】由已知可得，

所以，

，

所以，，

因为、、，则，

因为，函数在上单调递增，则，则，故，

故选：AD.

三、填空题

13．数据：86，98，84，91，88，90，94的75%分位数为________．

【答案】94

【分析】根据百分位数的计算方法计算即可.

【详解】将所给的数据按从小到大的顺序排列是84，86，88，90，91，94，98共7个，

因为，所以这一组数据的75%分位数为94.

故答案为：94

14．已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形面积的值是___________.

【答案】

【分析】本题首先可设扇形的半径为，然后根据扇形的周长计算公式得出，最后根据扇形的面积公式即可得出结果.

【详解】设扇形的半径为，

因为扇形的周长为，圆心角为，

所以，解得，

则扇形面积，

故答案为：.

15．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图"巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形若直角三角形中较小的锐角记为，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则_________.

【答案】

【分析】利用勾股定理求出直角三角的边长，即可求出，再根据计算可得．

【详解】解：根据已知条件四个直角三角形全等，

所以设直角三角形的短的直角边长为，则较长的直角边长为，

所以，整理得，

解得或（负值舍去），

所以，则

．

故答案为：．

16．函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于______.

【答案】8

【分析】根据正弦型函数的性质判断的对称性，由解析式判断单调性、值域、对称性，并确定两函数的交点情况，画出它们的图象，根据对称性求交点坐标之和.

【详解】由，则，即关于对称；

由在上递增且值域为、上递增且值域为，且关于对称；

又，根据对称性知：，

所以、且的图象如下，

所以，在的两侧各有4个交点，且4对交点分别关于对称，

故任意两个对称的交点横坐标之和为2，所有交点的横坐标之和为8.

故答案为：8

四、解答题

17．已知全集为，集合，．

(1)求；

(2)若，且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式可得集合，即可求得；

（2）根据集合间的关系，列不等式，解不等式即可.

【详解】（1）解不等式，解得，

所以，

所以；

（2）由（1）得，

又，

则或，解得或，

即.

18．（1）已知.求的值.

（2）已知，都是锐角，，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）应用诱导公式化简目标式，结合同角三角函数关系求得，即可求值；

（2）应用同角三角函数关系得、，再由及差角余弦公式展开求值.

【详解】（1），

由，则，结合，可得，

所以原式.

（2）由，则，而，故，

所以，又，则，

由.

19．已知函数的最小值为．

(1)求的值；

(2)求的单调递减区间；

(3)求在上的值域．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用函数最小值可构造方程求得的值；

（2）采用整体代入法可构造不等式求得单调递减区间；

（3）由的范围可求得的范围，结合余弦函数的性质可求得函数值域.

【详解】（1），，解得：.

（2）由（1）得：，

令，解得：，

的单调递减区间为.

（3）当时，，，

，即在上的值域为.

20．为了选派学生参加“厦门市中学生知识竞赛”，某校对本校2000名学生进行选拔性测试，得到成绩的频率分布直方图（如图）.规定：成绩大于或等于110分的学生有参赛资格，成绩110分以下（不包括110分）的学生则被淘汰.

（1）求获得参赛资格的学生人数；

（2）根据频率分布直方图，估算这2000名学生测试的平均成绩（同组中的数据用该组区间点值作代表）；

（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：

方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰；

方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被海汰.

已知学生甲只会5道备选题中的3道，那么甲选择哪种答题方案，进入复赛的可能性更大？并说明理由.

【答案】（1）300（2）78.4（3）方案二

【分析】（1）计算成绩大于或等于110分的学生频率，再求频数即得结果；

（2）根据组中值计算平均数；

（3）分别计算两个方案进入复赛的概率，比较大小确定最终方案.

【详解】（1）成绩大于或等于110分的学生频率为

所以获得参赛资格的学生人数为；

（2）平均成绩为

（3）方案一：甲进入复赛的概率为；

方案二：甲进入复赛的概率为

所以甲选方案二答题方案，进入复赛的可能性更大.

【点睛】本题考查频率分布直方图、利用组中值求平均数以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

21．函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式；

(2)若方程在区间上有三个不相等的实数根，，，其中，求的取值范围及的值．

【答案】(1)；

(2)；．

【分析】（1）由函数图象可得，，求得，将点代入的解析式，求得，即可求得函数的解析式；.

（2）把方程在区间上有三个不相等的实数根，转化为可得的图象与有个交点，结合图象求得，再利用对称性得到的值，即可求解.

【详解】（1）解：由函数的图象可得，且，解得，

所以，即，

将点代入的解析式，可得，解得，

因为，可得，所以.

（2）解：由（1）知，可得，

因为，可得，

又由方程在区间上有三个不相等的实数根，，，

可得函数的图象与有个交点，

结合图象可得：，即，

且和关于对称，和关于对称，

所以，所以，

所以.

22．设函数且是奇函数.

(1)已知，求常数的值.

(2)在（1）条件下，函数在区间有两个零点，求实数的范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据和可构造方程求得的值，验证满足题意即可确定结果；

（2）令，可求得，将问题转化为在上恰有两个不同零点，根据二次函数零点的分布可构造不等式组求得结果.

【详解】（1）为定义在上的奇函数，，解得：，

，解得：（舍）或；

当，时，，此时，满足为奇函数，

，.

（2）由（1）得：，

则；

令，则在上单调递增，，

在上恰有两个不同零点，

，解得：，即实数的范围为.