2022-2023学年江西师范大学附属中学高一下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年江西师范大学附属中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据诱导公式可求函数值.

【详解】，

故选：C.

2．若，且，则角是

A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第三象限

【答案】D

【详解】分析：根据三角函数符号规律确定角所在象限.

详解：因为，所以角在第二、三象限，

因为，所以角在第四、三象限，

因此角在第三象限，

选D.

点睛：三角函数符号规律：正弦函数在第一、二象限为正，在第三、四象限为负；余弦函数在第一、四象限为正，在第二、三象限为负;正切函数在第一、三象限为正，在第二、四象限为负.

3．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定的取值范围即可得出结论.

【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；

由三角函数单调性可知；

利用指数函数为单调递增可得；

所以.

故选：C

4．下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】A、D讨论、为负数即可判断；B、C应用基本不等式求最值，结合根式、正弦函数性质判断等号是否能成立.

【详解】A：当为负数时，不满足；

B：由，仅当时等号成立，满足；

C：由，仅当时等号成立，

显然等号无法成立，故，不满足；

D：当为负值时，不满足.

故选：B

5．已知函数，则其图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】计算函数值后可得．

【详解】由条件知，A符合，其它均不符合，

故选：A．

6．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．安排甲、乙、丙、丁4名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排1人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有（    ）

A．36种 B．18种 C．24种 D．30种

【答案】D

【分析】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，后分两种方法安排丙、丁.

第一种安排丙、丁到第三个舱中；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中.

【详解】先将甲乙两人分别安排到两个不同舱中，有种安排方法.

后分两种方法安排丙、丁，第一种安排丙、丁到第三个舱中，有1种方法；第二种先安排丙、丁中的一人到第三个舱中，再安排剩下一人到甲乙二人所在的舱中，有种方法.则不同的安排方案共有种.

故选：D

7．如图是古希腊数学家波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形的斜边AB、直角边BC、AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上，已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据面积比得到，确定，，再根据计算得到答案.

【详解】两个半圆的面积之比为3，则半径之比为，即，

，故，

，，故，

，

，

故选：A

8．一般地，设函数的定义域为A，区间，如果对任意的，，当时，都有，则称在区间I上是“函数”下列函数中是区间上是“函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】当时，如果对任意的，当时，都有，故函数为凸函数，进而分析各选项即可得答案.

【详解】解：由题知，当时，如果对任意的，当时，都有，故函数为凸函数；

对于A选项，的最小正周期为，由于正弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数性质，所以在不具有始终为凸函数的性质，故错误；

对于B选项，的最小正周期为，由于余弦函数在一个周期内凸函数性质，又有凹函数性质，所以在不具有始终为凸函数的性质，故错误；

对于C选项，的最小正周期为，其函数图像在始终具有为凸函数的性质，故正确；

对于D选项，的最小正周期为，其函数图像在上即具有凸函数性质，又有凹函数性质，故错误；

故选：C

9．下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由两角差的正弦公式可判断A；由二倍角的正弦和余弦公式可判断B，D；由两角和的正切公式可判断C.

【详解】对于A，

，故A不正确；

对于B，，故B正确；

对于C，

，则

，

所以，故C不正确；

对于D，，故D不正确.

故选：B.

二、多选题

10．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期不可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】函数的周期性可由，结合选项和诱导公式一一验证即可求解.

【详解】由，

对A：，故A不可能.

对B：，故B可能；

对C：，故C不可能；

对D：，故D不可能；

故选：ACD.

11．下图是函数 （其中的部分图象，下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于轴对称

B．函数的图象关于点对称

C．若，则的最小值为

D．方程在区间上的所有实根之和为

【答案】BD

【分析】根据图象求出周期，再根据图象所经过的点，求出函数的解析式，再根据正弦型函数的对称性、最值进行逐一判断即可.

【详解】由已知，，，因此，

∴，

所以，过点，

因此，，又，

所以，∴，

对A，图象关于原点对称，故A错误；

对B，当时，，故B正确；

对C，因为，，

所以有，或，

当时，

，，

则有，，

，

因为，所以当时，，

当时，

，，

则有，，

，

因为，所以当时，，，故C不正确；

对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.

故选：BD

12．下列几个说法，其中正确的有（    ）

A．已知函数的定义域是，则的定义域是

B．函数有且只有1个零点

C．若在R上是增函数，则实数a的取值范围是

D．若函数在区间上的最大值与最小值分别为M和m，则

【答案】ABD

【分析】对A：根据函数的定义域的定义运算求解；对B：先证为奇函数，分类讨论，结合奇函数的对称性、正弦函数的有界性以及三角函数的定义分析运算；对C：根据分段函数的单调性分析运算；对D：构建，先证为奇函数，结合奇函数的性质分析运算.

【详解】对A：令，即，

注意到在定义域内单调递增，则，

故的定义域是，A正确；

对B：∵，

∴为奇函数，

当时，则，

故在内无零点；

当时，令，则，

如图所示：点为任意角与标准单位圆的交点，点，则为的长，，

由图可得，即，当且仅当时，等号成立，

故，的零点为0；

综上所述：函数在内有且只有1个零点0，

结合奇函数的对称性可得：函数有且只有1个零点0，B正确；

对C：若在R上是增函数，且，

则，解得，

故实数a的取值范围是，C错误；

对D：令，

∵

，

∴为奇函数，

设在上的最大值为，

由奇函数的性质可得在上的最小值为，

∵，可得，

故，D正确；

故选：ABD.

【点睛】方法定睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．

三、双空题

13．已知是关于x的一元二次方程的两根，则__________，m＝________.

【答案】     /     /

【分析】根据给定条件，利用韦达定理结合同角公式求解作答.

【详解】因为是关于x的一元二次方程的两根，则，即，

显然，又，即，

于是，解得，而当时，方程的两根为，满足，符合题意，

所以，.

故答案为：；

四、填空题

14．由数字0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有___个．(用数字作答)

【答案】300

【分析】先求出总的排列数，再根据题意消去不符合的情况.

【详解】不考虑限制条件，由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数有种.

题中要求个位数字比十位数字小，即个位与十位上的数字一定，则所求的六位数有(个)

故答案为：300

15．若，，则______结果用，表示.

【答案】

【分析】由和差化积公式求出，，从而得到，得到答案.

【详解】由和差化积公式得：，

，

，

，

故，

故.

故答案为：.

16．已知函数，则下列说法中正确的是____________．

①一条对称轴为；

②将图象向右平移个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；

③若，则；

④若函数在区间上恰有2个极大值点，则实数的取值范围是．

【答案】①③

【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据利用整体代换可计算判断出①，根据三角函数的平移规律可判断②，根据三角函数和、差公式可计算得出③，利用特殊值可判断④.

【详解】

令，解得，当时，，①正确；

图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后，新函数非奇非偶，②错误；

，等号左右两边平方可得，

则，解得，③正确；

，当恰好是函数极大值时，那么函数一个周期正好为，因为，所以④错误；

故答案为：①③

五、解答题

17．已知角的终边经过点，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由三角函数定义列方程求得，再以三角函数定义求得的值即可；

（2）先依据三角函数诱导公式化简代数式，再以同角三角函数关系去求解即可解决.

【详解】（1）由，解得．

所以

（2）

18．已知函数，是函数的对称轴，且在区间上单调．

(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；

条件①：函数的图象经过点；

条件②：是的对称中心；

条件③：是的对称中心.

(2)根据（1）中确定的，求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意得到和，

再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；

（2）先求出所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.

【详解】（1）因为在区间上单调，所以，

因为，且，解得；又因为是函数的对称轴，

所以；

若选条件①：因为函数的图象经过点，所以，

因为，所以， 所以，即，

当时，，满足题意，故.

若选条件②：因为是的对称中心，所以，

所以，此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.

若条件③：因为是的对称中心，所以，

所以，解得，所以.

（2）由（1）知，，

所以等价于，，

所以，所以，

即函数的值域为：.

19．某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．

(1)这6名乘客在不一样的车站下车的概率为多少？

(2)这6名乘客中恰有3人在终点站下车的概率为多少？

【答案】(1)0.1512；

(2)0.01458.

【分析】（1）试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有种结果，而满足条件的事件是6位乘客在其不相同的车站下车共有种结果，根据公式得到结果；

（2）试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有种结果，而满足条件的6位乘客中恰有3人在终点站下车有种结果，根据公式得到结果．

【详解】（1）解：试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有种结果，

而满足条件的事件是6位乘客在其不相同的车站下车共有种结果，

根据古典概型的概率公式得到．

（2）解： 试验发生的所有事件是6名乘客选一个车站下车，共有种结果，

而满足条件的6位乘客中恰有3人在终点站下车有种结果，

其他三人在其余9个车站下车的可能有，共有，

根据古典概型的概率公式得到．

20．已知，，，．

(1)求的值；

(2)求的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先通过条件求出，，再利用两角差的余弦公式计算即可；

（2）通过（1）求出，，再利用两角差的正切公式计算，即可求出的大小.

【详解】（1），，，，

，，

；

（2）由（1）得，，，

，

由，得，

.

21．已知函数的最小正周期为．

(1)求的解析式；

(2)若关于x的方程在区间上有相异两解

求：①实数a的取值范围；

②的值．

【答案】(1)

(2)①，②

【分析】（1）根据三角恒等变换公式将化简，然后由的最小正周期为，解得，即可得到函数的解析式；

（2）将方程有两解转化为函数图像有两个交点，然后结合图像即可求得的范围，然后由正弦函数的对称性即可得到的值.

【详解】（1）

．

因为的最小正周期为，所以，解得．

所以．

（2）

①，即．

关于x的方程在区间上有相异两解，，

也即函数与的图像在区间上有两个交点，

由，得，

在上单调递增，在上单调递减，且，

做出在上的图像如图，

由图可知，要使函数与的图像在区间上有两个交点，则有，

所以实数a的取值范围为．

②由（1）和正弦函数的对称性可知与关于直线对称，

则有，所以，

所以的值为．

22．已知函数，是定义在R上的奇函数，且当时，，且对任意，都有．

(1)求使得成立的x的取值集合；

(2)求证：为周期为4的周期函数，并直接写出在区间上的解析式；

(3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)证明见详解，

(3)

【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；

（2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数的性质求解析式；

（3）先利用换元令，结合二次函数求得，再根据的性质求的最大值，再利用基本不等式求得，结合恒成立问题分类讨论分析求解.

【详解】（1）由题意可得：，

则，解得，则，

故使得成立的x的取值集合.

（2）∵，即，则，

∴为周期为4的周期函数，

又∵是定义在R上的奇函数，则，即，

当时，则，故；

又∵是定义在R上的奇函数，则有：

当时，则，故；

当时，则，故；

综上所述：当时，则.

（3）对于，

令，则的对称轴为，

故当时，取到最大值，故当时，取到最小值，

故，

由（2）可知：在上单调递减，在上单调递增，且，

故当时，则的最大值为，

又∵为周期为4的周期函数，则当时，则的最大值为，

∴的最大值为，则对任意恒成立，

又∵，当且仅当，即时等号成立，则有：

当时，则，不合题意，舍去；

当时，则，解得，

综上所述：实数a的取值范围为.

【点睛】结论点睛：

（1）对，则；

（2）对，则；

（1）对，则；

（1）对，则.