2022-2023学年浙江省衢温“5+1”联盟高一下学期期中联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年浙江省衢温“5+1”联盟高一下学期期中联考数学试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省衢温“51”联盟高一下学期期中联考数学试题 一、单选题1．已知集合，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据幂函数定义域和正弦函数值域即可得到集合，再根据交集含义即可得到答案.【详解】根据幂函数定义域可知，根据正弦函数的值域可知，故，故选：B.2．已知向量，且，则向量（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量互相垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，故选：A3．已知是方程的两个实数根，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两角和的正切公式即可得到结果.【详解】因为是方程的两个实数根，所以，则，故选：D.4．已知偶函数定义域为，当时，单调递减，，，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，结合函数的单调性和，即可求解.【详解】因为函数为偶函数，可得，又因为当 时，单调递减，且，所以，即，所以.故选：B.5．已知函数，则函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的定义域以及三函数的值域得出真数的取值范围，根据对数函数的单调性求得结果即可.【详解】已知函数，则，所以，所以函数的值域为.故选：C.6．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近年内减少了，如果按此速度，设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后建立函数关系.【详解】设北冰洋冬季冰盖面积为上一年的倍，则，，所以设2022年的冬季冰雪覆盖面积为，从2022年起，经过年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积与的函数关系式是，故选：C.7．在中，，直线上异于两点的点满足，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平面向量线性运算的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以，而，于是有，即，解得，舍去，故选：A【点睛】关键点睛：利用平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理是解题的关键.8．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意，均有.若关于的方程有解，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用换元法，结合函数单调性的性质、对钩函数的单调性进行求解即可.【详解】令，则有，由，因为函数是定义在上的单调函数，且，所以，于是有，且，令，所以，，，因为关于的方程有解，所以方程有解，函数在时，单调递增，故，所以想要关于的方程有解，只需，故选：D【点睛】关键点睛：根据单调性的性质，结合对钩函数的单调性进行求解是解题的关键. 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．“”是“”的充分不必要条件B．在中，“”是“”的充要条件C．在中，“”是“sin”的必要不充分条件D．“”是“”的充分不必要条件【答案】BD【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的定义，结合正弦定理、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法逐一判断即可.【详解】当时，显然不成立，故A不正确；若，则由，若，因为，所以，所以，因此成立，若时，由，若中有一个在时，因为，所以，所以，，因此，故B正确；在三角形中，故C不正确；或，或，则或 ⫋或，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确，故选：BD.10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．当时取得最大值B．在上单调递减C．在上单调递增D．的一个对称中心为【答案】CD【分析】先应用辅助角公式化简,再应用正弦函数性质分别求解最值,单调性和对称中心分别判断选项即可.【详解】由题可得,对A，当,,，A选项错误;对BC，,单调递增,B选项错误;C选项正确;对D，,D选项正确.故选：CD.11．质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的上顺时针作匀速圆周运动，同时出发. 的角速度大小为，起点为与轴正半轴的交点；的角速度为，起点为射线与的交点.则当与重合时，的坐标可以为（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】当与重合时,两个点的终边相差的角度为，结合已知列出方程，对赋值逐一判断各选项即可.【详解】设当与重合时，所用时间为，与的坐标均为.由题意可知，即，当时，，则的坐标，故C正确，D错误；当时，，则的坐标，故A正确；当时，，则的坐标，即，故B错误；故选：AC.12．已知棱长为1的正方体，以为圆心，为半径作圆弧为圆弧的三等分点（靠近点），则下列命题正确的是（    ）A．B．四棱锥的表面积为C．三棱锥的外接球的体积为D．若为上的动点，则的最小值为【答案】ABD【分析】过作，连接，根据条件求出、，进而可以判断A正确；分别求出四棱锥五个面的面积即可判断B正确；根据条件找到球心，根据几何关系求出球的半径，即可判断C错误；如图所示将平面沿着展开，即可判断D正确.【详解】如图所示，过作，连接，因为为圆弧的三等分点（靠近点），所以，则，，由题意可得平面，在中，，，则，故A正确；由题意可得，，则，,,，在中，因为，，，，四棱锥的表面积为；故B正确；取中点，的重心，因为为等腰直角三角形，所以其外接圆圆心为，因为为等边三角形，所以其外接圆圆心为，过作平面的垂线，过作平面的垂线，、交于点，则为三棱锥的外接球的球心，则，，所以，即外接球的半径，三棱锥的外接球的体积为，故C错误；如图所示将平面沿着展开，连接，交于点，则根据两点之间距离最短可知此时最小，最小值为，故D正确.故选：ABD. 三、填空题13．若，则___________.【答案】【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义和复数模的运算公式进行求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：14．在中，，向量是与同向的单位向量，则在上的投影向量为___________.【答案】【分析】根据锐角三角函数定义，结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，，所以在上的投影向量为，故答案为：15．已知函数，若在上单调递增，则取最大值时，方程的解的个数为___________个.【答案】9【分析】根据正弦函数的单调性求出的最大值，方程的解的个数，即函数图象交点的个数，作出函数的图象，结合函数图象即可得解.【详解】由，得，因为在上单调递增，所以，解得，所以的最大值为，当取最大值时，，方程的解的个数，即函数图象交点的个数，如图作出函数的图象，由图可知函数图象交点的有个，所以方程的解的个数为个.故答案为：.16．已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.【答案】/0.25【分析】由一元二次不等式恒成立得、，将问题化为求的最小值，令则，应用基本不等式求最值，注意取值条件.【详解】由题设，有，又，则，又，则，故存在使成立，则，所以，令，故，所以，且，而，仅当，即等号成立，所以，仅当且时等号成立，故的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系，将题设条件化为求的最小值，结合换元法、基本不等式求最值. 四、解答题17．已知函数.(1)当时，求函数的值域；(2)当时，求函数的单调递减区间.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，再根据的取值范围求出，根据正弦函数的值域计算可得；（2）根据正弦函数的单调区间计算可得.【详解】（1）当时，的值域.（2）由，得，的单调递减区间为18．已知向量.(1)若，求的值；(2)已知，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据向量平行的结论即可求出结果；（2）根据向量的数量积运算结合平方关系、两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】（1）即（2），且①，且②由①②知.19．已知正三棱锥的高为4，底面边长为.(1)求该正三棱锥的表面积；(2)用平行底面的平面去截该三棱锥，所得截面三角形的边长为，已知点都在同一球面上，求该球的体积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分别求出各边的长，进而求出其表面积；（2）根据条件可得球心在直线上，利用关系建立勾股定理求出球的半径，进而求出结果.【详解】（1）记高为，垂足为，则为的中心且正三棱锥侧面的斜高正三棱锥的表面积所以该正三棱锥的表面积为.（2）因为为正三棱台，所以球心在直线上，设球心为，设记与的交点为，则为的中心则，且或，则，即，外接球的半径，球的体积.20．位于某港口的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口北偏东且与该港口相距海里的处，并正以海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与海轮相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度应为多少？(2)若经过小时小艇与海轮相遇，则小艇的航行速度应为多少？(3)假设小艇的最高航行速度只能达到海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与海轮相遇，并求出其相遇时间.【答案】(1)海里/时(2)海里/时(3)当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇 【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度；（2）由两小时可确定边，再利用余弦定理可得及速度；（3）设，可得，，再根据时间相等可确定速度，再利用三角函数性质可得的最值及时间的最值.【详解】（1）如图所示，，，，时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小为海里，海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时，所以小艇的航行速度海里/时；（2）如图所示，设小艇与海轮在点处相遇，经过小时后海轮航行的里程为海里，即，则在中，由余弦定理得，所以小艇航行的里程海里，故小艇的航速海里/时；（3）如图所示，因为，且小艇的最高航速为海里/时，，，故小艇与海轮不可能于，及之间的任意位置相遇，设在点相遇，，则，，，整理得，从而，所以，，故时，即，相遇时间最短，为小时，综上当小艇的航行方向为北偏西，航速为海里/时，小艇能以最短时间小时和海轮相遇.21．已知函数.(1)若函数，判断的奇偶性并证明；(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)函数的为奇函数，证明见解析(2) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质进行判断证明即可；（2）根据函数的奇偶性、单调性，结合常变量分离法分类讨论进行求解即可.【详解】（1）为奇函数，理由如下：，定义域为，，，函数的为奇函数.（2）为增函数，又在单调递增，在单调递增，在单调递增，在上为连续的奇函数，在上单调递增，在上单调递增，等价于，即，即，①当时，式等价于，成立；②当时，式等价于，则只要，令，当时，，等号当且仅当时成立；当时，，等号当且仅当时成立；综上：，，即.【点睛】关键点睛：由函数的奇偶性和单调性得到，然后根据常变量分离法分类讨论求解是解题的关键.22．已知函数.(1)当时，判断函数的单调性，并写出单调区间（无需证明）；(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)的单调增区间，单调减区间，(2) 【分析】（1）根据绝对值的性质，结合对数的运算性质、对数函数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性的性质，结合函数单调性的性质、函数的最值分类讨论进行求解即可.【详解】（1），则当单调递减，当单调递增，的单调增区间，单调减区间；（2）存在在，，则只要当时，即可.-①当时，在单调递减，在单调递增，此时，得②当时，，此时，不合题意-③当时，在单调递减，单调递增，单调递减，单调递增I）当，即时，，不合题意II），即时，设表示中最大的数，由得或，无解综上，.【点睛】关键点睛：根据函数单调性的性质，利用分类讨论法进行求解是解题的关键.