2022-2023学年重庆市江津第五中学校高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年重庆市江津第五中学校高一下学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市江津第五中学校高一下学期期中数学试题 一、单选题1．设i为虚数单位，且，则的虚部为（    ）A． B．2 C．2i D．【答案】B【分析】由复数的乘法运算化简，再由复数相等求出，即可求出的虚部.【详解】由可得：，则，所以的虚部为2.故选：B.2．已知向量满足，则（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵，又∵∴9，∴故选：C. 3．若，且，则角的终边在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据角的象限与正余弦函数的函数值正负的关系判断．【详解】因为，且，即有且，所以角的终边在第三象限，故选：C．4．在边长为1的等边△ABC中，设，，，则（    ）A． B．0 C． D．3【答案】A【分析】根据等边三角形的性质，得到，，，再根据向量的数量积运算，可得答案.【详解】根据等边三角形的性质，，，，得，故选：A5．已知，则＝（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式和二倍角公式求出答案.【详解】.故选：A6．已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（　　）A．的最小正周期为B．的单调递减区间是，C．的图象关于直线对称D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数【答案】C【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确；所以，所以，因为的图象关于点对称，所以，即，，又因为，所以当时，，所以，令，，解得，，所以的单调递减区间为，，故B正确；因为，故C错误；函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，故D正确．故选:C．7．已知在非 中，，，且，则△ABC的面积为（    ）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】首先由及不是直角三角形得出，再结合同角三角函数的平方关系求出，代入面积计算公式即可．【详解】，，又不是直角三角形，，，即，又，，解得，，即，，，故选：C．8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数图象平移规律可得函数的图象，由、设，则，分别利用、，求出可得答案.【详解】函数的周期为，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且，不妨设，则，即在时取得最小值，由于，此时，不合题意；，此时，当时，满足题意.故选：C. 二、多选题9．若复数为纯虚数，则（    ）A．为实数 B．为实数C．为实数 D．为实数【答案】ACD【分析】根据题意，设且，得到，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为为纯虚数，设且，则，由，所以A正确；由，所以B错误；由为实数，所以C正确；由为实数，所以D正确.故选：ACD.10．已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况：，此时有，解得；或，此时有，解得；故选：AB11．在中，下列命题正确的是（    ）A．若，则B．若则定为等腰三角形或直角三角形C．在等边中，边长为2，则其面积为D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角【答案】ABCD【分析】A，根据大角对大边及正弦定理可得结论；B，根据诱导公式及三角函数图像与性质可得结论；C，根据三角形面积公式求解即可；D，设出三边的长度，利用余弦定理即可求出最大角.【详解】对于A选项，在中，由，得，由正弦定理得，故A选项正确；对于B选项，由于，由于，是三角形的内角，所以或，即或，因此可能为等腰三角形或直角三角形，故B选项正确；对于C选项，在等边中，边长为2，则，故C选项正确；对于D选项，因为的三边之比为，所以设三边长依次为，，，其中，设最大角是，由余弦定理知，所以，因为，所以，即此三角形的最大角为钝角，故D选项正确.故选：ABCD.12．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD，其中，，动点P在上（含端点），连结OP交扇形OAB的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（         ）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】ABD【分析】建立平面直角系，表示出相关点的坐标，设，可得，由，结合题中条件可判断A，B，表示出相关向量的坐标，利用数量积的运算律，结合三角函数的性质，可判断C，D.【详解】如图，作,分别以为x，y轴建立平面直角坐标系，则，设，则，由可得 ，且，若，则，解得，（负值舍去），故，A正确；若，则，，所以，所以，故B正确；，由于，故，故，故C错误；由于，故，而，所以，所以，故D正确，故选：ABD 三、填空题13．已知复数，，则在复平面内对应的点位于第__________象限．【答案】二【分析】利用复数的减法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为复数，，则，因此，在复平面内对应的点的坐标为，即在复平面内对应的点位于第而象限.故答案为：二.14．已知，，若，则___________．【答案】1【分析】根据向量的垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为，，，所以，解得.故答案为：.15．已知函数的部分图象如图所示，点，，在图象上，求_______【答案】【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点求出，得到函数解析式进而求解即可.【详解】由函数图像可知.设函数的最小正周期为，则，又因为，由，解得，又由图可知函数经过点，则，所以，解得，又因为，所以当时，，所以，又函数图象过点，所以，解得，所以，故，故答案为：16．已知对任意角，均有公式．设的内角A，B，C满足．面积S满足．记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则abc的取值范围为______．【答案】【分析】根据条件变形化简可得的值，根据正弦定理和三角形面积，借助于△ABC外接圆半径R的范围，再结合△ABC外接圆半径R即可求abc的范围.【详解】∵△ABC的内角A、B、C满足，∴，即，∴，由题可知，，∴，∴∴，∴有，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理可知，，∴，∴，所以．故答案为：． 四、解答题17．已知复数．(1)若的实部与的模相等，求a的值；(2)若复数在复平面上的对应点在第四象限，求a的取值范围．【答案】(1)或(2) 【分析】（1）根据题意可得，解方程可求出a的值；（2）先求出，然后由其在复平面上的对应点在第四象限，可得从而可求出a的取值范围【详解】（1）依题意，，因为的实部与的模相等，所以，整理得，解得或，所以或．（2）因为，又在复平面上的对应点在第四象限，所以解得，所以a的取值范围是．18．设A，B，C，D为平面内的四点，且.(1)若，求D点的坐标；(2)设向量，若向量与平行，求实数k的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.【详解】（1）设，因为，于是，整理得，即有，解得，所以.（2）因为，所以，，因为向量与平行，因此，解得，所以实数k的值为.19．已知为锐角，.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式，结合题意，可直接求出结果；（2）先由题意求出，，根据，由两角差的正弦公式，即可求出结果.【详解】（1）因为，所以；（2）因为为锐角，所以，，又，所以，，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记二倍角公式，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.20．如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．【答案】（1）24；（2）8【分析】（1）利用已知条件，利用正弦定理求得AD的长．（2）在△ADC中由余弦定理可求得CD，答案可得．【详解】(1) 在△ABD中，由已知得∠ADB=60°，B=45°由正弦定理得(2) 在△ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2﹣2AD•ACcos30°，解得CD=．所以A处与D处之间的距离为24nmile，灯塔C与D处之间的距离为nmile．【点睛】点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.21．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的角对边分别为，而且_____．（I）求；（Ⅱ）求面积的最大值．【答案】（I）；（Ⅱ）【分析】（I）选①，先利用正弦定理化简可得，进而得到，结合C的范围即可求得；选②，先利用正弦定理可得（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，再利用余弦定理可得，结合C的范围即可求得；（Ⅱ）由余弦定理可得，再利用基本不等式可得，进而求得△ABC面积的最大值．【详解】解：（I）选①，∵a，∴，∵sinA≠0，∴，即，又0＜C＜π，∴，故，即；选②，∵（2a﹣b）sinA+（2b﹣a）sinB＝2csinC，∴（2a﹣b）a+（2b﹣a）b＝2c2，即a2+b2﹣c2＝ab，∴，∵0＜C＜π，∴；（Ⅱ）由（I）可知，，在△ABC中，由余弦定理得，即，∴∴，当且仅当那个a＝b时取等号，∴，即△ABC面积的最大值为．22．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式与单调递减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.【答案】(1)，递减区间为，(2) 【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；（2）利用图象变换法则求得g(x)的函数表达式，解方程求得g(x)的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得.【详解】（1）由题意，图象的相邻两对称轴间的距离为，的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，，又，，故，令，得函数的递减区间为，（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或.令，当时，，画出的图象如图所示：有两个根,关于对称，即,有,在上有两个不同的根，,；又的根为，所以方程在内所有根的和为.