2022-2023学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年重庆市南开中学校高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数的虚部是（    ）

A． B． C．1 D．i

【答案】C

【分析】求出复数的代数形式，进而可得其虚部.

【详解】，其虚部为.

故选：C.

2．已知向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．6

【答案】A

【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式列方程得答案.

【详解】，，，

，

解得.

故选：A.

3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用余弦定理求出，再求.

【详解】在中，对于，利用余弦定理得：.

因为为三角形内角，所以.

故选：C

4．下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分别求出四个选项对应函数的最小正周期，判断对称性，即可判断.

【详解】对于A：.最小正周期为π，但是为对称轴，所以不是关于原点对称.故A错误；

对于B：.最小正周期为π，并且关于原点对称.故B正确；

对于C：的最小正周期为.故C错误；

对于D：.最小正周期为π，不关于原点对称.故D错误.

故选：B

5．设，是两个不共线的非零向量，则“与共线”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用向量共线定理即可判断.

【详解】“与共线”等价于.

因为，是两个不共线的非零向量，所以，解得：.

所以“与共线”是“”的必要不充分条件.

故选：B

6．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数图象可得，即可求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得解.

【详解】依题意可得，解得，又，

所以，解得，

所以，又函数过点，所以，

即，所以，，所以，，

又，所以，

所以.

故选：A

7．在中，，则的形状为（    ）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形

【答案】B

【分析】利用三角公式得到，求出，即可判断.

【详解】在中，因为，

所以，

即,

展开，整理化简得：.

因为为三角形内角，所以，所以.

因为为三角形内角，所以，

所以为直角三角形.

故选：B

8．在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ）

A． B．4 C． D．6

【答案】D

【分析】以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.

【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.

则，

所以，.

所以，

所以（当且仅当时等号成立）.

所以的最小值是6.

故选：D

二、多选题

9．对于任意的两个向量，，，下列命题一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】对四个选项一一验证：对于A：由交换律直接判断；对于B：由，而，直接判断；对于C：由向量加法的几何意义以及三角形法则即可判断；对于D：由数量积的定义和三角函数的有界性可以以判断.

【详解】对于A：由交换律可知：.故A正确；

对于B：因为，而，所以不一定成立.故B错误；

对于C：由向量加法的几何意义以及三角形法则可知：

当向量，反向时，；当向量， 不共线时，；

当向量，同向时，.

综上所述：恒成立.故C正确；

对于D：由数量积的定义可得：，所以恒成立.故D正确.

故选：ACD

10．已知非零复数，则下列运算结果一定为实数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由复数的乘法和加、减运算对选项一一化简，即可得出答案.

【详解】设复数（a，，），，（，），，

对于A，，虚部为0，则一定为实数，故A正确；

对于B，，虚部不为0，故一定不为实数，故B不正确；

对于C，，

若，则不一定为实数，故C不正确；

对于D，，

，故D正确.

故选：AD.

11．在中，，，E为AC上一点，且，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】先利用正弦定理和余弦定理求出，.不妨设，.对四个选项一一验证：

对于A：直接判断；对于B：利用模长公式求出，即可判断；

对于C：利用正弦定理分别表示出，.即可证明；对于D：利用余弦定理分别求出， .即可判断.

【详解】在中，因为，

所以，即.

因为，所以由余弦定理得：.

不妨设，则.

对于A：.故A正确；

对于B：因为，

所以

所以.故B正确；

对于C：在中，由正弦定理得：，所以.

同理可求：.

因为，所以.

所以.

因为，所以，即.

而，所以.故C正确；

对于D：因为，，所以

在中，，，，由余弦定理得：

.

同理可求：.

所以不成立.故D错误.

故选：ABC

12．如图，单位圆O与x轴非负半轴交于点A，锐角的终边与单位圆交于点B，轴.设的面积为，与弦AB围成的弓形面积为，图中阴影部分面积为，则下列结论正确的是（    ）

A．任意锐角，都有 B．存在锐角，使得

C．任意锐角，都有 D．存在锐角，使得

【答案】AC

【分析】先求出 关于 的表达式，作差，根据函数的单调性求解.

【详解】由图可知：单位元的半径 ， ，  ，

令 ， ，

当 时， ，当 时， ， 是单调递增的，

当 时， 是单调递减的，并且  ，

所以，当 为锐角时， ；A正确，B错误；

令 ， ，

令 ，则 ，

令 ，得 ，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，并且 ，

，即 是增函数，又 ， ，C正确，D错误；

故选：AC.

三、填空题

13．若向量，满足，，且与的夹角为，则_______.

【答案】

【分析】先通过条件求出，然后根据展开计算即可.

【详解】由已知得，

则.

故答案为：.

14．函数在的零点个数为_______.

【答案】4

【分析】直接求出零点，即可判断.

【详解】令，解得：，所以.

因为，

所以当时，，符合题意；

当时，，符合题意；

当时，，符合题意；

当时，，符合题意.

当或时，，不符合题意.

综上所述：函数在的零点个数为4.

故答案为：4

15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，，要使该三角形有两解，则实数m的取值范围为_______.

【答案】

【分析】利用正弦定理直接判断.

【详解】要使三角形有两解，由正弦定理，只需，

即，解得：.

故实数m的取值范围为.

故答案为：

16．在中，，，O为的外心，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且，则_______.

【答案】

【分析】先求出.设则.由，利用二倍角公式求出，根据数量积的定义直接求解.

【详解】如图示，作出的外接圆O，设半径为R.

由正弦定理得：,即，解得：，所以.

设则.

所以

.

因为O为的外心，所以,所以.

同理：,.

因为，所以，

所以.

由二倍角的余弦公式可得：.

所以.

故答案为：.

【点睛】向量的基本运算处理的常用方法：

(1)向量几何化：画出合适的图形，利用向量的运算法则处理；

(2)向量坐标化：建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算处理．

四、解答题

17．已知复数，其中i是虚数单位，.

(1)若z是纯虚数，求；

(2)当时，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据纯虚数的实部为零，虚部不为零列方程可求出复数，再利用可得答案；

（2）代入，然后通过复数的运算得到的代数形式，进而可得的模.

【详解】（1）是纯虚数,

，

解得，

，

，

；

（2）当时，，

，

.

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)求角A的大小；

(2)若，的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先将条件整理，然后利用正弦定理角化边，最后利用余弦定理求解；

（2）先根据的面积得到的值，再结合（1）中得到的关系可得的值，则周长可求.

【详解】（1），

，

，

由正弦定理角化边得，

，又，

；

（2）由已知得，

，又，

，

，

，

的周长为.

19．如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别在边BC和CD上，且，.

(1)当时，用向量，表示；

(2)求的取值范围.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）利用向量的线性运算直接求得；

（2）利用向量的运算得到，利用单调性求出取值范围.

【详解】（1）根据题意，由向量的线性运算可知，

当时，.

（2）因为，，

由向量的线性运算，可得.

因为，

所以

，

因为，所以

20．已知函数，.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)先将函数图像的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移个单位，得到函数.关于x的不等式对恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出解析式，结合正弦函数的单调性即可求出；

（2）利用换元法和分离参数法得到恒成立.研究的单调性，求出最小值，即可求解.

【详解】（1）

.

要求函数的单调递增区间，只需,

解得：.

所以函数的单调递增区间为.

（2）先将函数图像的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到；

再向右平移个单位，得到函数.

令，当时，，所以.

所以关于t的不等式对恒成立，

所以恒成立.

令.

因为在均单增，所以在单增，

所以当在最小，

所以.

所以实数m的取值范围为.

21．沙坪坝区政府为了给市民打造宜居环境，现启动了“诗意田园，乡村旅游”项目的建设，其中一项目是计划对区内的水库和湖泊进行改造，发展乡村旅游.青木湖是位于沙坪坝区青木关镇的一个圆形湖泊，湖区山清水秀，负氧离子高，湖中还有一个小岛，为了让市民更好的欣赏湖泊景色，沙区政府决定在小岛上修一个观赏亭，并在湖中修两条步行栈道连接观赏亭和湖岸，如图所示，过观赏亭P修AC和BD两条步行栈道，其中BD为直径，且，，.

(1)求AP，BP；

(2)与此同时，沙区政府还规划了湖区游船项目，为尽量减少对生态环境的破环，沙区政府在A点、P点、D点以及劣弧上的M点处设立了游船停靠点，并规划游船路线为，求游船路线长度（即四边形APDM周长）的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意在中，利用正弦定理解三角形；

（2）根据题意在中，利用余弦定理结合基本不等式求的最大值.

【详解】（1）在Rt中，，

可得，

由题意可得：，

在中，，

可得

，

由正弦定理，可得，

故.

（2）由（1）可得：，

在中，由余弦定理，

即，

整理得，

∵，当且仅当时，等号成立，

则，整理得，

即，

可得

故游船路线长度（即四边形APDM周长）的最大值为.

22．如图，在等边中，，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且，，.

(1)用k，表示DE，DF；

(2)若为等腰直角三角形，求k的取值范围；

(3)若，求面积的最小值.

【答案】(1),.

(2)

(3)

【分析】（1）分别利用正弦定理表示出DE，DF；

（2）由得到，利用三角函数求出k的取值范围；

（3）建立三角形面积的函数关系式，利用三角函数求出最小值.

【详解】（1）由， ，不妨设，则.

在等边中， ，所以.

因为，所以，所以,

所以.

在中， ，，，，

由正弦定理得：，所以.

同理可求：

（2）要使为等腰直角三角形，只需.

所以，

整理得：.

因为，所以，所以.

（3）由可得：，则.

所以

令，则，其中.

所以，解得：.

所以当时，存在，使得，

所以

【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.