2022-2023学年安徽省马鞍山市红星中学高一下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年安徽省马鞍山市红星中学高一下学期期中考试数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省马鞍山市红星中学高一下学期期中考试数学试题 一、单选题1．复数，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据共轭复数的概念即可确定答案.【详解】因为复数，则，故选：D2．已知向量，则（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D 3．已知边长为的正方形，点满足，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】数形结合知，，，，利用向量的加法法则及向量的数量积运算即可得解.【详解】方法一：因为四边形ABCD为边长为3的正方形，所以，，，因为，所以，则；方法二：以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系，因为，所以点E为线段DC上靠近点C的三等分点，则，因为，所以.故选：D【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，属于基础题.4．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件结合余弦定理求得，再根据，即可求得答案.【详解】在中，，，根据余弦定理：可得 ，即由故.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（    ）A．海里 B．海里 C． 海里 D．海里【答案】C【分析】根据题意画出草图，确定、的值，进而可得到的值，根据正弦定理可得到的值．【详解】解：如图，由已知可得，，，，从而．在中，由正弦定理，可得海里．故选：C．6．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.【详解】，由题意得：且，解得：且，故选：D7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．8．在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详解】构建如下直角坐标系：，令，，由可得：，则且，所以当时，的最大值为.故选：C 二、多选题9．已知向量，则（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判断即可．【详解】因为，所以不平行，则A错；由，所以，则B正确；由，，故C错；由，故D正确.故选：BD10．若复数满足，则（    ）A．的实部为2 B．的模为C．的虚部为2 D．在复平面内表示的点位于第四象限【答案】AB【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A、C，求出复数的模，可判断选项B，根据复数的几何意义可判断选项D.【详解】因为，所以的实部为2，的虚部为3，所以，在复平面内表示的点位于第一象限故A、B正确，C，D错误．故选：AB11．在中，，，，下列命题为真命题的有（    ）A．若，则B．若，则为锐角三角形C．若，则为直角三角形D．若，则为直角三角形【答案】ACD【分析】利用正弦定理判断选项A，利用数量积的性质判断选项B和C，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D．【详解】解：A：若，由正弦定理得，，则 A正确；B：若，则，，即为钝角，为钝角三角形，故 B错误；C：若，则，为直角三角形，故 C正确；D：若，则，， ，由余弦定理知，，则，，，为直角三角形，故 D正确．故选：ACD．12．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（    ）A．B．C．的最大值为3D．的取值范围为【答案】ACD【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知，结合即可求范围；由余弦定理及基本不等式求的最大值，注意取最大的条件；由C分析有，结合正弦定理边角关系及的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.【详解】由题设，外接圆直径为，故，A正确；锐角中，则，故，B错误；，则，当且仅当时等号成立，C正确；由C分析知：，而，又且， 则，而，所以，则，所以，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将转化为三角函数性质求范围. 三、填空题13．已知向量，若，则__________．【答案】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因为，所以由可得，，解得．故答案为：．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，，注意与平面向量平行的坐标表示区分．14．的内角A,B,C的对边α,b,c,已知,,,则________.【答案】或【解析】由正弦定理求，注意有两解．【详解】由正弦定理得，因为，所以，所以或120°．90°或30°．故答案为：90°或30°．【点睛】本题考查正弦定理，掌握正弦定理是解题关键．但要注意用正弦定理解三角形可能会有两解．15．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN．现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角，点C的仰角，测得，，已知另一座山高米，则山高________米．【答案】【分析】在直角得，在中，由正弦定理求得，再在直角中，求得．【详解】显然与平行且与都垂直，，则，中，，由正弦定理得，，又直角中，，所以．故答案为：．16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，______．【答案】【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答.【详解】由题意得，因为，则，由余弦定理，得，即，则，而函数在上单调递增，即当a最小时，的周长最小，显然，当且仅当时取“=”，此时，所以当的周长取到最小值时，．故答案为： 四、解答题17．设A，B，C，D为平面内的四点，且.(1)若，求D点的坐标；(2)设向量，若向量与平行，求实数k的值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.（2）求出的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.【详解】（1）设，因为，于是，整理得，即有，解得，所以.（2）因为，所以，，因为向量与平行，因此，解得，所以实数k的值为.18．已知：复数，其中为虚数单位．(1)求及；(2)若，求实数的值．【答案】(1)，(2)， 【详解】（1），则.（2）由（1）得：，，解得：.19．在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长.【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为. 20．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴ ∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.21．在中，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（1）B的大小；（2）的面积．条件①：；条件②：．【答案】选择见解析；（1）；（2）．【分析】选择条件①时：（1）利用余弦定理求出和B的值；（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算的面积．选择条件②时：（1）由正弦定理求出和B的值；（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出，计算的面积．【详解】选择条件①：，（1）由，得，所以；又，所以；（2）由正弦定理知，所以；所以，所以的面积为．选择条件②：．（1）由正弦定理得，所以；又，所以，所以；又，所以；（2）由正弦定理知，所以；所以，所以的面积为．【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．22．在锐角△ABC中，，，（1）求角A；（2）求△ABC的周长l的范围.【答案】（1）.（2）【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得，可得；（2）利用正弦定理将表示为的函数，根据锐角三角形得的范围，再根据正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）∵，，所以，所以，所以，因为，所以， ，所以.（2），所以,所以，，所以因为△ABC是锐角三角形，且，所以，解得，所以，所以，所以.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题.