2022-2023学年广东省江门市第一中学高一下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年广东省江门市第一中学高一下学期3月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省江门市第一中学高一下学期3月月考数学试题 一、单选题1．（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求得正确结论.【详解】.故选：B2．已知向量，且，则实数（    ）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】计算出和的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出实数的值.【详解】依题意，，，由，得，解得，所以实数.故选：D3．已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，求出投影向量作答.【详解】因为，所以在方向上的投影向量为.故选：C4．将函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用平移变换求出函数解析式作答.【详解】函数的图象向右平移个单位后，所得图象对应的函数为：.故选：D5．在中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且，，则b 等于（    ）A．3 B．4 C．6 D．7【答案】B【分析】利用正弦定理、正弦定理化简已知条件，由此求得.【详解】依题意，，，，由正弦定理得，由余弦定理得，，或（舍去）.故选：B6．设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，则有.根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬，今年月日正午太阳刚好直射赤道（纬度为度），如果在武汉某学校有高度为的旗杆，月日正午时旗杆影子长是旗杆高的（    ）倍？A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】D【分析】计算出的值，设影子长为，可得出，即可得解.【详解】由已知可得，，则，设影子长为，则，所以，.故选：D.7．函数的部分图象如图所示．若，且，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再求出作答.【详解】观察图象知，函数的周期，则，又，即有，而，因此，，由，即，，，得或，解得或，而，，则，，所以.故选：C8．已知P是边长为4的正三角形所在平面内一点，且，则的最小值为（    ）A．16 B．12 C．5 D．4【答案】C【分析】延长到D，使得，可得点P在直线上，化简可得，求出最小值即可.【详解】如图，延长到D，使得．因为，所以点P在直线上．取线段的中点O，连接，则．显然当时，取得最小值，因为，则，所以，所以的最小值为．故选：C. 二、多选题9．下面的命题正确的有（    ）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若，满足且与同向，则D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”【答案】AD【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：AD.10．如图，在边长为2的菱形中，，点是中点，下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据给定的菱形，利用向量的线性运算、数量积运算逐一分析、计算判断作答.【详解】在边长为2的菱形中，，点是中点，则，，对于A，，因此，A正确.对于B，，B错误；对于C，，C正确；对于D，由选项A知，，D错误.故选：AC11．已知中，角所对的边分别为，则下列条件中能判断为钝角三角形的有（    ）A． B．C． D．的三条高分别为【答案】BCD【分析】应用二倍角公式及正弦定理化简可以判断A,根据同角三角函数关系可以判断B, 应用两角和差正切公式及正切值正负判断C,根据面积公式结合余弦定理可以判断D.【详解】对于A，由正弦定理得，,又，化简得0，所以为直角三角形，故A错误；对于B，将平方化简得，故为钝角，为钝角三角形，故B正确；对于C,因为,，则角中必有一个角为钝角，为钝角三角形，故C正确；对于D，假设边上的高分别为，则，设，则，所以由余弦定理得，所以为钝角，为钝角三角形，故D正确．故选：BCD．12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）A．在上单调递增B．的图象的一条对称轴方程为C．的最小正周期为D．的最大值为【答案】BCD【分析】计算与的值判断A；计算判断B；计算判断C；化函数为，再求出最大值判断D作答.【详解】函数，对于A，当时，，则在上不单调，A错误；对于B，，于是的图象的一条对称轴方程为，B正确；对于C，，显然不存在比小的正常数，使得恒成立，于是的最小正周期为，C正确；对于D，，令，则函数在上单调递增，当时，，所以当，即时，取得最大值.故选：BCD 三、填空题13．已知平面向量，则向量与的夹角为__________.【答案】【分析】根据结合数量积的坐标运算即可得解.【详解】因为，所以，因为，所以.故答案为：.14．点在角的终边上，则__________．【答案】2【分析】利用三角函数定义求出，再结合诱导公式、齐次式法求解作答.【详解】因为点在角的终边上，则，所以.故答案为：215．在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若（其中，分别为，轴方向相同的单位向量），则的坐标为，若关于斜坐标系的坐标为，则______【答案】【分析】由斜坐标定义用，表示，然后平方转化为数量积求得模．【详解】由题意，，故答案为：．16．在△中，，点满足，且对任意，恒成立，则____________．【答案】【分析】设则，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析得，即，进而可得、的值，结合余弦定理即可得结果．【详解】在△中，设，则，又，且表示起点为A，终点在平行于AC且过B点的直线上的向量，如下图中的，且随变化在直线上运动，所以对，恒成立，即恒成立，只需即可，所以，即，又，则，，.所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：由不等式恒成立判断出，即可确定三角形各边的长度. 四、解答题17．已知向量.(1)求和；(2)当为何值时，与平行？平行时它们是同向还是反向？【答案】(1)；；(2)，反向. 【分析】（1）根据给定条件，利用向量运算的坐标表示及坐标求模，计算作答.（2）求出的坐标表示，再利用共线向量的坐标表示求解作答.【详解】（1）因为向量，则，，所以，.（2）依题意，，由（1）知，由，解得，于是当时，与共线，且，即有与方向相反，所以当时，与共线，并且它们反向共线.18．已知分别为三个内角的对边，且(1)求A；(2)若时，的面积为，求．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边角化即可求解作答.（2）利用三角形面积公式及余弦定理求解作答.【详解】（1）在中，由及正弦定理得：，而，因此，又，所以.（2）由（1）知，，由的面积为得：，即，由余弦定理得：，即有，联立解得，所以.19．已知函数，.（1）求的最小正周期和单调减区间；（2）若（）为的一个零点，求的值.【答案】（1），单调递减区间为；（2）【解析】（1）利用降幂公式、辅助角公式将原函数解析式化简，然后利用三角函数的性质求解；（2）由可得，然后利用求解的值.【详解】解：（1）则的最小正周期为.令得，，所以函数的单调递减区间为.（2）若，则，即，又，所以，所以，所以.【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决三角函数的性质问题，考查利用三角恒等变换求三角函数值，难度一般. 解答时，辅助角公式，三角恒等变换公式的运用是关键.20．已知平面向量，若存在不同时为零的实数和，使，，且(1)试求函数关系式．(2)若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用向量模的坐标表示及数量积运算法则求解作答.（2）利用（1）的结论结合已知等式，等价变形并借助二次函数求解作答.【详解】（1）向量，则，，由，得，于是，而实数和不同时为零，即有，所以函数关系式.（2）当时，，依题意，方程在上有两个不同的解，即函数在上有两个零点，因此，解得，所以实数的取值范围是.21．如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求．(1)当时，求线段的长度；(2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）【答案】(1)(2)设计时，工厂产生的噪声对居民影响最小 【分析】（1）根据题意分析可得，结合直角三角形的性质运算求解；（2）在中，利用正弦定理进行边化角可得，在中，利用余弦定理结合三角恒等变换整理可得，以为整体结合正弦函数求的最大值.【详解】（1）因为且，故，故，故，则（2）设，由题意，在中，由正弦定理，所以在中，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时22．设为坐标原点，定义非零向量(其中为实数)的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.（1）设函数，求的“相伴向量”；（2）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先化简h(x)，再根据定义即可得出答案；（2）分别讨论，，，且均不为0四种情况；当且均不为0时结合辅助角公式化简，求出x0，再结合求函数值域的方法求出的范围.【详解】解：（1）证明：∵，∴的相伴向量.（2）解：若，则，此时向量的“相伴函数”，∴或者，此时，若，则，此时向量的“相伴函数”，∴或者，此时，当时，不成立，若，，，向量的“相伴函数”，其中，，，当，，即时取得最大值，∴，∴，令，则，∴，解得或或，经检验时，不成立，∴，函数在或或上的值域为.综上，的取值范围是.【点睛】①在求相伴函数时一定要讨论a，b；②求范围或者值域（最值）时，如果式子比较复杂我们通常用换元法，比如这道题中的和，最终需要结合不等式、函数图像或者导数求出范围.