2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第十一中学校高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第十一中学校高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A．1 B．－1 C．－i D．i

【答案】B

【分析】把复数化简为的形式即可得到复数的虚部.

【详解】因为，

所以复数的虚部为.

故选：B

2．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．零向量的长度是0

C．长度相等的向量叫相等向量

D．共线向量是在同一条直线上的向量

【答案】B

【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.

【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，

故未必成立，所以A错误；

B：根据零向量的定义可判断B正确；

C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；

D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.

故选：B.

3．若，，，则=（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据向量的加减运算求解.

【详解】∵

∴

故选：A.

4．已知复数z在复平面内对应的点为，z是的共轭复数，则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得；

【详解】解：由题知，则，所以.

故选：D.

5．已知平面向量，满足，且，，则（    ）

A． B．3 C．1 D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，求得，再利用数量积求模长即可.

【详解】因为，且，，故可得，解得；

又.

故选：B.

6．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（    ）

A．x>2 B．0<x<2 C．2<x<3 D．2<x<4

【答案】D

【分析】根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.

【详解】如图所示：

因为AC=b=2，若三角形有两个解，

则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，

当时，圆与BA相切，不合题意；

当时，圆与BA交于B点，不合题意；

所以，且，

所以由正弦定理得：

，则，

解得，

故选：D

7．已知中，内角，，的对边分别为，，，，.若为直角三角形，则的面积为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】由正弦定理化角为边后，由余弦定理求得，然后分类讨论：或求解．

【详解】由正弦定理，可化为：

，即，

所以，，所以，

又为直角三角形，

若，则，，，，

若，则，，，．

故选：C．

8．函数的部分图象如图所示，则

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【详解】试题分析：由题图知，，最小正周期，所以，所以.因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.

【解析】三角函数的图象与性质

【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．

二、多选题

9．△ABC内角A B C 对边分别是a，b，c．已知a= ，b=2，=30，则可以是（    ）

A．45 B．60 C．120 D．135

【答案】AD

【分析】由正弦定理及大边对大角即可求解.

【详解】由正弦定理知：,

所以，

因为，

所以，且

所以或,

故选：AD

10．已知是的重心，为的中点，下列等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】作出示意图，由点是的重心，为的中点，得到是的中点，结合向量的线性运算法则和三角形重心的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】如图所示，因为点是的重心，为的中点，可得是的中点，

由，所以A正确；

由为的中点，根据向量的平行四边形法则，可得，

又由是的重心，根据重心的性质，可得，所以，

即，所以B正确；

根据三角形重心的性质，可得，所以C不正确；

由重心的性质，可得，

所以D正确.

故选：ABD.

11．函数y＝3sin的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下列哪项变换而得到(    )

A．向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍

B．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍

C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍

D．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍

【答案】BD

【分析】由下面两种变换顺序：

①y＝sinx→y＝sin(x＋)→y＝sin(2x＋)→y＝3sin(2x＋)；

②y＝sinx→y＝sin2x→y＝sin(2x＋)→y＝3sin(2x＋).

【详解】①将由y＝sinx的图象向左平移得到函数y＝sin(x＋)，再横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到函数y＝sin(2x＋)，再横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin(2x＋).

②将由y＝sin x的图象横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到函数y＝sin2x，再向左平移得到函数y＝sin(2x＋)，再横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝3sin(2x＋).

故选：BD．

12．在△中，，，，P为△内一点，，下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．△的面积的最大值为

D．△的面积的取值范围是

【答案】BC

【分析】由题意知在以为直径的圆上，A中由余弦定理在△中求；B中若，在△中由正弦定理可得，即可求；C中要使△的面积的最大则，即可求最大值；D中讨论在圆与的交点上或、重合时求，即可知范围.

【详解】

由题意知：如上图示，在以为直径的圆上，

A：时，，，易知，故在△中，则，错误；

B：，若，则，，

∴在△中，，即，可得，

∴，正确；

C：要使△的面积的最大，则，此时，正确；

D：由图知：若在圆与的交点上，，又P为△内一点，所以△的面积的取值范围是，错误.

故选：BC

三、填空题

13．已知是虚数单位，复数，则__________.

【答案】

【分析】直接根据复数的模的计算公式计算即可得答案.

【详解】解：根据复数模的计算公式得：.

故答案为：

【点睛】本题考查复数模的计算，是基础题.

14．已知点是△的边的中点，点在边上，且，则向量＝________(用表示)．

【答案】

【分析】结合题意，根据平面向量的加减法运算和向量共线定理，即可求出结果.

【详解】解：由题可知，点是的边的中点，，

故答案为：.

15．如图，已知为平面直角坐标系的原点，，.则向量在向量上的投影向量为______.

【答案】

【分析】首先求出，，的坐标，即可得到与的坐标，再根据向量数量积的几何意义计算可得；

【详解】解：依题意可得，，，所以，

所以向量在向量上的投影为，所以向量在向量上的投影向量为

故答案为：

16．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上，则的最小值是___________.

【答案】

【分析】取中点为，用表示目标向量，结合向量数量积的定义，结合的范围，即可求得结果.

【详解】连接，取其中点为，连接，如下所示：

在△中，，故可得

，

由图可知当且仅当重合时，取得最大值1，

此时取得最小值.

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量数量积的范围问题，解决问题的关键是用表示目标向量，数形结合求解，属中档题.

四、解答题

17．（1）求的值；

（2）若关于x的一元二次方程的一个根是，其中，i是虚数单位，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由复数的乘法和除法运算化简复数即可得出答案.

（2）将代入方程，根据实部、虚部为0求得的值，即可得出答案.

【详解】（1）， ，

，

所以.

（2）因为为方程的一根，

所以，即 ，

所以且 ，故 ，

所以

18．的内角、、的对边分别为、、，已知.

（1）求；

（2）若，的面积为，求.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）利用正弦定理，将所给的条件角化边，利用余弦定理即可求出；

（2）利用面积公式求出，然后再用余弦定理即可求出的值．

【详解】（1）．

由正弦定理得，即，

∴， ．

（2）∵，

因为，所以

，即．

【点睛】本题主要考查正、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，意在考查学生的转化能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于基础题．

19．如图，某渔船在海上处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北方向上有一个小岛可躲避恶劣天气，在小岛的正北方向有一航标灯距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达处，测得，海里.

（1）求处距离航标灯的距离；

（2）求的值.

【答案】（1）海里；（2）.

【分析】(1)利用余弦定理,即可求解.

（2）利用正弦定理，即可求解.

【详解】解析：（1）∵，，，

∴由余弦定理得，∴海里，

（2），由正弦定理得，

∴.

20．设，其中.

(1)当时，求的值；

(2)求的最大值及取最大值时对应的的值.

【答案】(1)

(2)取最大值为1，此时

【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列方程，结合正切函数性质解方程可得；

（2）根据数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式化简，再由正弦函数性质求其最值及相应的的取值.

【详解】（1）.

，

即.

（2），

由得.

当时，取最大值为1，此时.

21．如图所示，在平行四边形ABCD中，若，，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）22

【分析】（1）易得，，再由即可得解；

（2）由可得出，再由，可得：，即，即可得到的值.

【详解】（1）由向量的加法法则得：，，

，

因为，所以；

（2），∴，

∴，即，∴.

【点睛】本题平面向量的应用，考查向量的加法法则，考查向量数量积的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

22．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．

（1）证明：；

（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【分析】（1）利用三角形面积公式表示S，结合余弦定理和正弦定理，建立三角函数等式，证明结论，即可．（2）结合三角形ABC为锐角三角形，判定tanC的范围，利用tanC表示面积，结合S的单调性，计算范围，即可．

【详解】(1)证明：由，即，

，，，

，，

，，

，

，，

，

，B，，．

(2)解：，，

．

且，

，

，

为锐角三角形，，

，，

为增函数，

．

【点睛】考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形面积公式，考查了函数单调性判定，难度偏难．