2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第四中学校高一下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知向量 , 则ABC=

A．30 B．45 C．60 D．120

【答案】A

【详解】试题分析：由题意，得，所以，故选A．

【解析】向量的夹角公式．

【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．

2．已知向量=(2，1)，=(1，﹣1)，向量在方向上的投影向量为（    ）

A．(2，﹣2) B．(，) C．(，) D．(，)

【答案】B

【详解】首先根据题意求出向量在方向上的投影为，再求投影向量即可.

【点睛】向量在方向上的投影，

因为投影向量与方向相同，，

所以向量在方向上的投影向量为.

故选：B

3．已知向量，不共线，向量，，若O，A，B三点共线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据O，A，B三点共线，则，，，代入整理．

【详解】因为O，A，B三点共线，则

所以，，即

整理得：

又∵向量，不共线，则，则

故选：A．

4．如图，中，，，点E是的三等分点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.

【详解】

故选：B.

5．已知，，均为锐角，则角等于

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由同角三角函数的平方关系和的范围求出和，再利用正弦两角差公式求出，从而确定出的值.

【详解】解：因为均为锐角，所以.

又，所以.又，所以.

所以

=.

所以.

故选：.

【点睛】本题考查三角函数求值，关键是正弦两角差公式的灵活应用，属于中档题.

6．下列叙述中正确的个数是（    ）

①若，则 ；②若，则或；③若，则；④若，则.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量不能比较大小判断①；举反例判断②；由时判断③；由相等向量和平行向量的关系判断④.

【详解】因为向量不能比较大小，所以①错误，

单位向量模都为1，方向任意，所以②错误，

当时，和可能不平行，所以③错误，

两个向量相等则它们一定平行，所以④正确.

故选：B

7．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把函数化成的形式，利用图象变换求出新函数解析式，再由正弦函数的对称性求解作答.

【详解】依题意，，

因此将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），所得函数的解析式为，

再向右平移一个单位长度，所得函数的解析式为，

由，得显然对称中心的纵坐标为，AC错误；

可得函数图象的一个对称中心为，D正确；不存在整数k使得B成立，B错误.

故选：D

8．设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

【答案】B

【分析】根据给定条件可得，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.

【详解】因的三个内角，而，则，

又，由正弦定理得：，

由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，

所以是等边三角形.

故选：B

二、多选题

9．下列各式中值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】A.利用两角和的正切公式求解判断；B.利用二倍角的正弦公式求解判断；C. 利用两角差的正弦公式求解判断；D.利用二倍角的余弦公式求解判断.

【详解】A. ，故正确；

B. ，故错误；

C. ，故错误；

D. ，故正确.

故选：AD

10．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．的最小值为7 D．若，则与的夹角为钝角

【答案】AC

【分析】通过计算得到选项A正确，选项B错误；，所以选项C正确；当时，，与的夹角不为钝角，故选项D错误．

【详解】解： 若，则，解得，故选项A正确；

若，则，解得或，故选项B错误；

由题得，故，当且仅当时取得最小值，故选项C正确；

当时，，与的夹角不为钝角，故选项D错误．

故选：AC．

11．已知函数，则（    ）

A．的最大值为2 B．的最小正周期为

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

【答案】BC

【分析】将解析式经过恒等变换后化为，再结合正弦函数的性质对其性质逐一判断即可.

【详解】因为，所以，所以，

所以的最大值为，故A错误.

的最小正周期，故B正确.

令，，化简得，，取可得，所以函数的图像关于直线对称，故C正确.

令，，化简得，，取可得，当时，，所以的图像关于点对称．故D错误.

故选: BC.

12．如图是第24届国际数学家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH组成的.若大正方形的边长为，E为线段BF的中点，则正确的答案是（    ）

A． B．正方形EFGH的面积为 1

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据向量减法及数量积公式结合图形特征分别判断各个选项即可.

【详解】,A选项错;

因为E为线段BF的中点，所以,所以正方形EFGH的面积为 1,B选项正确;

,C选项正确;

,D选项正确.

故选:BCD.

三、填空题

13．设为单位向量，且，则______________.

【答案】

【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.

【详解】因为为单位向量，所以

所以

解得：

所以

故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

14．已知在中，，则等于________.

【答案】

【分析】由正弦定理可得，令，然后利用余弦定理可求出

【详解】因为在中，，

所以正弦定理可得，则令（），

由余弦定理得，

故答案为：

15．__________．

【答案】.    

【详解】分析：先切化弦，再由两角公式化一，最终得到结果.

详解：

故答案为.

点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.

16．两个不共线的向量，，满足，且，恒成立，则向量，夹角的余弦值为__________.

【答案】

【分析】将两边同时平方，得到关于的一元二次不等式，然后根据一元二次不等式在上恒成立可得答案.

【详解】因为，恒成立，

所以，，

所以，

所以

设，夹角为，因为，

所以，即，

所以，

故答案为：

四、解答题

17．已知向量与向量的夹角为，，，记向量，.

(1)若，求实数的值；

(2)若，求实数的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由向量垂直，结合向量数量积的运算律有，根据已知条件即可求k值.

（2）由向量平行，即有实数使，进而可得，由与不共线，即可求k值.

【详解】（1）由，则，

所以，解得：；

（2），则存在实数使得，即，整理得：，

又与不共线，则，解得：.

18．已知的最小正周期为.

(1)求的值，并求的单调递增区间；

(2)求在区间上的最大值.

【答案】(1)，

(2)2

【分析】（1）根据条件求出，然后根据正弦函数的单调性可求出答案；

（2）首先求出的范围，然后可得答案.

【详解】（1）由的最小正周期为，得，

∵，∴，，

由得，

故的单调递增区间为.

（2）因为，所以，

所以当，即时，取得最大值2.

19．已知空间三个向量､､的模均为1，它们相互之间的夹角均为.

(1)求证：向量垂直于向量；

(2)已知，求k的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)或

【分析】（1）证明，由垂直关系的向量表示即可得证；

（2）利用数量积的运算律，结合，即可得到关于k的不等式，求解即可

【详解】（1）证明： 因为，且､､之间的夹角均为，

所以，

所以向量垂直于向量；

（2），

所以.

因为，

所以，解得或.

20．已知函数的图象如图所示， 点 为与轴的交点， 点分别为的最高点和最低点，而函数的相邻两条对称轴之间的距离为，且其在处取得最小值.

(1)求参数和的值；

(2)若，求向量 与向量夹角的余弦值；

(3)若点P为函数图象上的动点，当点在之间运动时，求 的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）根据的相邻两条对称轴之间的距离为，得到，进而得到，然后再根据时，取最小值求解；

（2）易得，进而得到B，C，D的坐标，然后再利用向量的夹角公式求解；

（3）易得，，设，利用数量积运算求解.

【详解】（1）解：因为的相邻两条对称轴之间的距离为，

所以，

，

，

又时，取最小值，

则，，

，

又，则.

（2）因为，所以，

则，，，

则，

，

则.

（3）是上动点，，

，，

设，

，，

，

所以范围为

21．在①，②，③（，这三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．

在中，角，，所对的边分别为，，，且 ．

（1）求角的大小；

（2）若，的面积为，求的周长．

【答案】选择见解析；（1）；（2）．

【分析】（1）选①，由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，得到，结合，可得；

选②，利用三角恒等变换化简已知等式，得到，结合，可得；

选③，由正弦定理可将已知条件转化为，再由余弦定理得到，结合，可得.

（2）由余弦定理可得，由三角形面积公式可得，进而可得，最后可得△的周长为.

【详解】解：（1）选①，由正弦定理得，

即．

因为，所以，所以．

又，从而得．

选②，因为

，

所以，．

又因为，所以．

选③，因为，

所以，

即，

所以，

．

因为，所以，

（2）由余弦定理，得，

由，得，则

所以，，

所以，

故△的周长为．

【点睛】思路点睛：解三角形的基本思路：

（1）利用正弦定理实现“边化角”；

（2）利用余弦定理实现“角化边”.

22．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶场A的仰角为45°.

(1)求出山高BE（结果保留一位小数）；

(2)如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离，且记在M处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角最大？

参考数据：，，，.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；

（2）易得，分别在在和在中，求出，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出取得最大值时，的值，再根据正切函数的单调性即可得解.

【详解】（1）由题意可知，，

在中，，

所以，

在中，，

所以出山高；

（2）由题意知，且，

则，

在中，，

在中，，

则

，

当且仅当，即时，取等号，

所以取得最大值时，，

又因为，所以此时最大，

所以当时，最大.