2022-2023学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高一下学期第一次学情检测数学试题含解析

2022-2023学年江苏省盐城市大丰区南阳中学高一下学期第一次学情检测数学试题

一、单选题

1．下列命题中正确的是（　　）

A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B．模相等的两个平行向量是相等向量

C．若 和 都是单位向量，则=

D．两个相等向量的模相等

【答案】D

【详解】考查所给的四个选项：

向量是可以平移的，则若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定分别重合，A说法错误；

向量相等向量模相等，且方向相同，B说法错误；

若和都是单位向量,但是两向量方向不一致，则不满足，C说法错误；

两个相等向量的模一定相等，D说法正确.

本题选择D选项.

2．在△ABC中，已知a＝1，b＝，A＝30°，则B等于（　　）

A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°

【答案】B

【分析】由条件利用正弦定理求得sinB的值，即求．

【详解】因为，

由正弦定理得：，即，

解得，

因为，所以或，

故选：B.

3．设，则（    ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据平方关系和二倍角的正弦公式化简式子，再根据的范围，判断和的大小，去绝对值即可.

【详解】因为，，

所以，

因为，所以，

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查平方关系和二倍角正弦公式的应用，以及，考查学生对三角恒等变换公式的掌握，属于基础题.

4．的值等于（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用诱导公式变形，然后用两角和的余弦公式计算.

【详解】.

故选：B.

5．在△中，为边上的中线，为的中点，则

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

，

所以，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

6．的值是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：

，答案选C.

【解析】两角和的正切公式及其变形应用

7．若函数，则的最大值为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】化简表达式，然后根据三角函数最值的求法，求得的最大值.

【详解】依题意，

.

由于，所以，所以当，即时，取得最大值为.

故选：B

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查辅助角公式，考查三角函数最值的求法，属于中档题.

8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由余弦定理与基本不等式求出，再由三角形三边关系得到，从而求出b＋c的取值范围.

【详解】依题意得b2＋c2－bc＝3，即，

解得：，，当且仅当时取等号，

又，因此b＋c的取值范围是.

故选：B

二、多选题

9．在中，若，则的形状（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形

【答案】AB

【解析】首先根据题意化简得到，，或，即可得到三角形的形状.

【详解】，

.

.

，

或.

，，

，或.

为直角三角形或等腰三角形.

故选：AB

【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换，同时考查了三角形形状的判定，属于中档题.

10．下列选项中，与的值相等的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【解析】求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D.

【详解】.

对于A，；

对于B，

；

对于C，；

对于D，因为，可得.

∴与的值相等的是ABD.

故选：ABD.

11．已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．与的夹角为

【答案】BC

【分析】先利用平面向量的数量积运算得到，即可得到的值，再利用平面向量的数量积运算得到，最后求解，即可判断选项.

【详解】，

∴，

∴，

∴，

，

，

∴与的夹角为，

故BC正确.

故选：BC.

12．设函数，则（    ）

A．的最小值为，其周期为

B．的最小值为，其周期为

C．在单调递增，其图象关于直线对称

D．在单调递减，其图象关于直线对称

【答案】AD

【分析】首先化简函数，再判断函数的性质.

【详解】，函数的最小值是，周期，故A正确，B错误；

时，，所以在单调递减，令，得，其中一条对称轴是，故C错误，D正确.

故选：AD

三、填空题

13．若角的终边经过点，则的值为 ．

【答案】

【详解】试题分析：∵角α的终边经过点P（1，-2），∴tanα=-2⇒tan2α==．

【解析】二倍角公式．

14．化简： __________.

【答案】

【分析】根据向量的加减法运算化简即可.

【详解】由向量的加减法运算知，，

故答案为：

15．__________.

【答案】

【分析】利用展开计算即可

【详解】.

故答案为：.

16．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积是______．

【答案】

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，由于，利用正弦定理可得：利用余弦定理可解得c，b，根据三角形面积公式即可得出．

【详解】，，，可得：，

由，可得：，解得，．

．

故答案为．

【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形的面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

四、解答题

17．已知，求下列各式的值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.

（2）结合两角差的正切公式求得正确答案.

【详解】（1）.

∵.

∴代入可得.

（2）∵.

∴

∴

18．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，且的面积为，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用余弦定理求得，即可求解；

（2）由的面积为，求得，结合余弦定理，求得，即可求解.

【详解】（1）由题意及正弦定理知，，

，

，.

（2），

又，

由①，②可得，

所以的周长为.

19．已知，且.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和同角三角函数基本关系即可求得的值；

（2）先利用题给条件缩小的范围，进而利用同角三角函数基本关系即可求得的值.

【详解】（1）；

（2）由，，在单调递增，

可得，，又由可得，，

又，

在单调递增，在单调递减，则，

则

20．已知函数.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)若且，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变形公式将函数变形为的形式，然后利用正弦函数的性质求解函数单调性；

（2）先通过得，进而可得，最后利用两角差的正弦公式求即可.

【详解】（1），

令，

解得，

即函数的单调递增区间为；

（2）由（1）得，

，又，

，

，

.

21．已知函数的图象时两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于y轴对称.

(1)求函数的解析式；

(2)若，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据两条相邻对称轴之间的距离可求得函数的周期，进而求得，根据平移之后函数图象关于轴对称，可得值，从而可得函数解析式；

（2）将所求角用已知角来表示即可求得结果．

【详解】（1）由题意可知，，即，

所以，，

将的图象向右平移个单位得，

因为的图象关于轴对称，

所以，，

所以，，

因为，所以，

所以；

（2），

所以，

，

，

所以．

22．某轮船以海里/小时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东60度.轮船从处向北航行30分钟后到达处，测得油井在南偏东15度，且海里.轮船以相同的速度改为向东北方向再航行60分钟后到达点.（）

(1)求轮船的速度；

(2)求两点的距离（精确到1海里）.

【答案】(1)海里/小时

(2)40海里

【分析】（1）利用三角形的性质以及正弦定理进行求解.

（2）利用三角的性质以及余弦定理进行求解.

【详解】（1）

由题可知，在中，，，所以，

又，由正弦定理有：，即，

解得，所以，

故轮船的速度是海里/小时.

（2）由（1）有，，由题可知，，

所以在中，由余弦定理有： ，

所以

所以，

所以两点的距离约为40海里.