2022-2023学年山东省临沂市第一中学文峰校区高一下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年山东省临沂市第一中学文峰校区高一4月月考数学试题

一、单选题

1．如图所示，是的边上的中点，记，，则向量

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：由向量的减法几何意义得选项C．

【解析】向量减法的几何意义．

2．计算（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由两角差的正切公式，结合，即可求出答案.

【详解】.

故选：D

3．已知是边长为2的等边三角形，则（    ）

A．2 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的定义直接计算作答.

【详解】等边的边长为2，所以.

故选：A

4．已知，求与的夹角（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得，后由向量夹角公式可得答案.

【详解】，

则，又，则.

故选：C

5．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，则，，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；

【详解】令，则，，所以

.

故选：C.

6．若平面向量两两的夹角相等，且，则（    ）

A． B． C．5或2 D．10或4

【答案】D

【分析】两两的夹角相等，可得夹角为或,再分两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解.

【详解】.

因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，

即，，两两的夹角为或,

当夹角为时，，

当夹角为时， ，

所以或.

故选：D．

7．已知的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可

【详解】

所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，

如图：

又，所以为等边三角形，

，，

向量在向量上的投影数量为：．

故投影向量为.

故选：D．

8．如图，已知扇形的半径为，其圆心角为，四边形是该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为     

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设，根据几何图形的性质把矩形面积表示成关于的三角函数最值问题.

【详解】连接，设，则，由已知可得：三角形是等腰直角三角形，即，

所以，

故矩形的面积为：

显然当时，取得最大值，

故选:B

二、多选题

9．下列关于向量的命题正确的是（    ）

A．对任一非零向量，是一个单位向量

B．对任意向量，，恒成立

C．若且，则

D．在中，C为边AB上一点，且，则

【答案】ABC

【分析】根据向量的相关概念与线性运算逐项分析判断.

【详解】对于A：由于是非零向量，则，可得是一个单位向量，故A正确；

对于B：根据向量减法的运算法则可得：

当，共线时，（，反向）或（，同向），

故；

当，不共线时，由三角形法则可得；

综上所述：，故B正确；

对于C：根据向量相等的定义可得，故C正确；

对于D：由题意可得，故D错误；

故选：ABC.

10．已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可.

【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况：

，此时有，解得；

或，此时有，解得；

故选：AB

11．如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，则（    ）

A．当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向

B．当天10:00时，该船距离观测点Ckm

C．当船行驶至B处时，该船距观测点Ckm

D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了km

【答案】ABD

【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．

【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确.

B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.

由正弦定理，得AC=，

故B正确.

C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，

则BD=CD=2，于是BC=2，故C不正确.

D选项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，

即AB=km，故D正确.

故选：ABD．

12．已知函数，则（    ）

A．在内有2个零点

B．在上单调递增

C．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

D．在上的最大值为

【答案】ABD

【分析】对于A，把三角函数化简，求函数的零点进行验证；对于B，求函数的单调递增区间进行验证；对于C，通过图像平移公式进行验证；对于D，由得出整体角的取值范围，再得到的最大值.

【详解】.

对于A，令，则.

当时，；当时，满足题意，故A正确；

对于B，令，则 .

当时，在上单调递增，所以在上单调递增正确，故B正确；

对于C，由的图象向左平移个单位长度得到，故C错误；

对于D，若，则，，

所以在上的最大值为，故D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．若与共线，则_______

【答案】

【分析】由两个向量共线的坐标表示直接求得结果.

【详解】已知与共线，

则，解得.

故答案为：.

14．已知单位向量，，若，则与的夹角为________．

【答案】

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式计算作答.

【详解】单位向量，，满足，则有，解得，

于是，而，则，

所以与的夹角为.

故答案为：

15．已知函数的部分图象如图所示，点，，在图象上，求_______

【答案】

【分析】根据图象可得函数周期，据此求出，再代入点可得，再代入点求出，得到函数解析式进而求解即可.

【详解】由函数图像可知.

设函数的最小正周期为，则，

又因为，由，解得，

又由图可知函数经过点，则，

所以，解得，

又因为，所以当时，，

所以，

又函数图象过点，所以，解得，

所以，故，

故答案为：

16．求_______

【答案】

【分析】将切化弦，利用两角和差余弦公式可将原式分子化成一个三角函数，再利用二倍角公式及诱导公式化简求得结果.

【详解】

.

故答案为：.

四、解答题

17．已知，且向量与不共线.

(1)若与的夹角为，求；

(2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数k的取值范围.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）由数量积定义可求得，展开代入即可求得结果；

（2）由向量与的夹角的锐角，可得且不同向共线，展开解k即可.

【详解】（1）与的夹角为，

，

.

（2）与的夹角为，

，

向量与的夹角为锐角，

，且不能同向共线，

，，

解得且，

即或，

实数k的取值范围是

18．已知函数的最小正周期为；

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的单调递增区间、对称轴及对称中心．

【答案】(1)

(2)单调递增区间为，对称轴为，对称中心为．

【分析】（1）由诱导公式与辅助角公式可将化为，后由周期计算公式可得解析式；

（2）由（1）结合函数的单调增区间、对称轴以及对称中心，利用整体代换可得答案.

【详解】（1）

因为最小正周期为，所以∴

∴函数的解析式为

（2）令，得，

∴函数的单调递增区间为．

令，得．

∴函数的对称轴为．

令，得．

∴函数的对称中心为．

19．已知函数在区间上的最大值为5，

(1)求常数的值；

(2)当时，求使成立的x的取值集合.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量的数量积及三角恒等变换化简，再根据三角函数的图象与性质即可求；

（2）由（1）求得，根据三角函数的图象与性质即可解不等式.

【详解】（1）

，

，

，，

∴函数的最大值为，，，

（2）由（1）得，

由得，∴

解得：.

成立的x的取值集合是．

20．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间.

(1)求d与时间t（单位：s）之间函数关系

(2)在（1）的条件下令，的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，画出在上的图象

【答案】(1)；

(2)图象见解析

【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出的值，再利用特殊点求出，即可得函数的关系式；

（2）先通过三角函数图象变换求出解析式，再根据正弦型函数五点作图的特点列表、描点、连线即可得大致图象.

【详解】（1）由题意，

所以，，

因为逆时针方向每分转2圈，所以,

因为时，，所以，即，

又，所以

，所以；

（2）由（1）知，所以的横坐标缩小为原来的，纵坐标变缩小为原来的得到函数，

列表如下

描点连线，图象如图.

21．已知，设函数．

(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；

(2)设的内角的对应边分别是且，，求的值．

【答案】(1)时最大值0；时最小值；

(2)或．

【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算，二倍角、辅助角公式化简得，由正弦型函数的性质求的最值；

（2）由已知及三角形内角性质得，法一：应用余弦定理列关于的方程求解即可；法二：应用正弦定理求得或，分别求出对应的值即可.

【详解】（1）由题知：，

，则，故，

∴当，即，得时取得最大值0，

当，即，得时取得最小值．

（2）由，即，又，则．

法一：由余弦定理A得：，解得：或．

法二：由正弦定理有，则或，

当时，，由勾股定理有；

当时，，则；

综上所解：或．

22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求A；

（2）在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若________，________，求的面积.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）用边化角和三角形内角和知识化简可得，再由，即可求A；

（2）方案一：选条件①和②，先用正弦定理求，再由余弦定理求，用三角形面积公式即可求解；方案二：选条件①和③，用余弦定理求出，判断出三角形形状，即可求面积．

【详解】（1）∵，又由正弦定理得

，又，

∴，

即

整理得，即，

又，∴；

（2）方案一：选条件①和②，

由正弦定理，得

由余弦定理，得

解得，所以的面.

方案二：选条件①和③，

由余弦定理，得，

即，解得．∴，∴，为直角三角形，

所以的面积．

【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式，属于常规题.