2022-2023学年陕西省西安市周至县第六中学高一下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年陕西省西安市周至县第六中学高一下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知向量，，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】由题知，进而求模即可.

【详解】解：由题意可得，所以.

故选：C

2．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．零向量的长度是0

C．长度相等的向量叫相等向量

D．共线向量是在同一条直线上的向量

【答案】B

【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.

【详解】A：仅表示与的大小相等，但是方向不确定，

故未必成立，所以A错误；

B：根据零向量的定义可判断B正确；

C：长度相等的向量方向不一定相同，故C错误；

D：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D错误.

故选：B.

3．已知向量，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】先求得，然后求得.

【详解】因为，所以.

故选：D

4．已知平面向量，，若，则实数（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】C

【分析】根据共线向量的坐标表示求解即可.

【详解】，，，

，

解得，

故选：C

5．如图，在矩形中，，，为的中点，与交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果.

【详解】因为矩形，所以，所以，所以,又因为为的中点，所以，即，因此，从而，又因为，，所以，

故选：A.

6．在中，若，则的形状为（    ）

A．等边三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果.

【详解】因为，，

所以，

所以为等边三角形．

故选：A

7．向量，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由向量夹角的坐标运算求解即可.

【详解】由题意得：，则与的夹角为.

故选：C.

8．已知的内角的对边分别为，若，，，则为（    ）

A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°

【答案】C

【分析】由正弦定理可得，即可得解.

【详解】在中，，，，

所以由正弦定理得，

所以，

又，所以.

故选：C.

【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

9．在中，角所对的边分别为，若，则（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】C

【分析】化简得，再由余弦定理计算，即可求得答案.

【详解】由得，，

由余弦定理得，

因为，所以.

故选：C

10．已知为实数，向量，，，若，则（   ）

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】D

【分析】利用向量坐标及向量垂直关系建立方程求参数.

【详解】由，，得，

又，则有，

即，解得或,

故选:D.

11．在中，，，则外接圆的半径为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】A

【分析】利用正弦定理运算求解.

【详解】由正弦定理，则，

故外接圆的半径为1.

故选：A.

12．河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（    ）

A．10 B． C． D．12

【答案】B

【分析】根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解.

【详解】设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，

则，，所以，

所以（），即小船在静水中的速度大小为.

故选：B.

二、填空题

13．在中， 分别是内角A，B，C所对的边，若，则_____．

【答案】/0.875

【分析】由正弦定理得三边之比，再用余弦定理求解.

【详解】因为，由正弦定理得，

设，

由余弦定理得，

故答案为：

14．已知向量，且，则实数__________.

【答案】

【分析】首先求出的坐标，然后根据向量共线的坐标表示可建立方程求解.

【详解】由题意得，因为，所以，解得.

故答案为：

15．已知向量，则在方向上的投影向量的模长是___________．

【答案】

【分析】根据数量积、模的坐标表示求出、，再根据求出在方向上的投影向量，从而求出其模；

【详解】解：因为，所以，

，

所以在方向上的投影向量为，

所以其模为；

故答案为：

16．如图，1kg的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，已知两根细绳与水平线分别成30°与60°角，则两根细绳受到的拉力分别为_____．（取g=10m/s2）

【答案】；

【分析】根据受力平衡的知识进行分解，结合三角函数求解.

【详解】

如图，设左右两根绳子的拉力大小分别为，

由受力平衡可知：，

所以，

故答案为：；

三、解答题

17．如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点B､C､D的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），

(1)求向量BC；

(2)求顶点A的坐标.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由点B､C的坐标即可求解的坐标；

（2）设顶点A的坐标为，由四边形ABCD为平行四边形，有，从而即可求解.

【详解】（1）解：因为点B､C的坐标分别是（-1，3）､（3，4），

所以；

（2）解：设顶点A的坐标为，

因为四边形ABCD为平行四边形，D的坐标是（2，2），

所以，即，

所以，解得，

所以顶点A的坐标为.

18．已知，.

(1)若与的夹角为，求；

(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；

（2）根据解方程即可得答案.

【详解】（1）解：

（2）解：∵向量与互相垂直，

∴，整理得，又，，

∴，解得.

∴当时，向量与互相垂直.

19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．

（1）求角B的大小；

（2）若，，求c．

【答案】(1) ．(2) ．

【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求得角；

（2）把，，代入，化简后根据一元二次方程的解法求出的值．

【详解】解：（1）因为，

所以．

因为，所以，

所以．

因为，且，

所以．

（2）因为，，

所以由余弦定理，

得，

即．

所以．

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式并会应用是解题的关键，属于基础题．

20．已知两个非零向量与不共线，，，．

（1）若，求k的值；

（2）若A，B，C三点共线，求k的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】(1)根据向量的计算求解即可.

(2)根据A,B,C三点共线可得,再根据系数的关系求解即可.

【详解】（1）∵,∴.

（2）由题意知,.

∵A,B,C三点共线,∴设,即,∴解得.

【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及共线定理的应用,属于基础题型.

21．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．

(1)求A；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）用正弦定理化简即可得到角A；

（2）先用余弦定理计算c，再用面积公式计算面积.

【详解】（1）由正弦定理，

因为，所以，所以

因为，所以，所以.

（2）由余弦定理，或（舍）

所以.

22．如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.

(1)求、两地之间的距离；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理可直接求得的长；

（2）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.

【详解】（1）解：由余弦定理可得，

所以，.

（2）解：由余弦定理可得，

所以，，则为锐角，故，

因此，.