2022-2023学年四川省绵阳南山中学高一下学期3月月考数学试题含解析

2022-2023学年四川省绵阳南山中学高一下期3月月考数学试题

一、单选题

1．关于向量，下列说法中，正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】利用向量的模、相等向量、相反向量、共线向量等相关概念进行判断.

【详解】对于A，若，则，的模长相等，但方向不一定相同，故A错误；

对于B，向量模长可以比较大小，但向量不能比较大小，故B错误；

对于C，若，则向量，互为相反向量，则，则C正确；

对于D，若，则向量，方向相同或相反，故D错误.

故选：C.

2．已知点在第二象限，则为（    ）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】C

【分析】点在第二象限，根据坐标特征得的符号，即可得所在象限.

【详解】因为点在第二象限，所以，，即为第三象限角．

故选：C

3．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】首先求出每个选项中的函数的周期，然后判断出单调性可得答案.

【详解】对于A，的最小正周期是，不满足题意，

对于B，的最小正周期是，

当时，为减函数，满足题意，

对于C，的最小正周期是，不满足题意，

对于D，的最小正周期是，在区间上为增函数，不满足题意，

故选：B

4．荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据现有文献记载，它源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为120°，则该秋千最大摆角所对的弧长为（    ）

A．米 B．米 C．13.6米 D．198米

【答案】A

【分析】根据题意，求得秋千的最大摆角为，结合弧长公式，即可求解.

【详解】由题意，秋千的最大摆角为，且秋千的缆索长为米，即半径，

所以秋千最大摆角所对的弧长为米.

故选：A.

5．已知函数的部分图像如图所示，则正数值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据图像可得函数的周期，从而可求，再根据对称轴可求，结合图像过可求.

【详解】由图像可得，故，

而时，函数取最小值，故，

故，而，故，

因为图像过，故，故，

故选：B.

6．函数且的图象是下列图象中的（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的自变量，将函数变形为结合正弦函数的性质与图象，根据选项即可求解.

【详解】依题意，

由此判断出正确的选项为C.

故选：C.

7．设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ）

A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称

C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为

【答案】D

【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断．

【详解】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值，

所以，则，

所以，

整理得，

对于，，则不是函数的对称中心，故错误；

对于，，则不是函数的对称中轴，故错误；

对于，令，，

解得，，，

显然不包含区间，故错误；

对于，，所以的最小正周期为，故正确．

故选：D．

二、多选题

8．设函数，其中，若对任意的，在上有且仅有4个零点，则下列的值中不满足条件的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】利用换元思想转化为在，上有4个零点，则需满足，进而根据的取值范围得到的取值范围即可．

【详解】解：设，则，所以在，上有4个零点，

可知，所以，

又，所以，即，满足的只有，

故选：．

9．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A､B､C､D､E､F､O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量有（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】根据共线向量的概念和图形中的平行关系可得答案.

【详解】与向量共线的向量有、、，

故选：ABD

10．下列大小关系中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据正弦函数的单调性及和0的大小关系来确定答案.

【详解】，

又，；

且.

故选：BC.

11．下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．若，则

【答案】CD

【分析】根据同角函数的基本关系、和差公式、倍角公式逐一判断即可.

【详解】，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

若，则，故D正确；

故选：CD

12．已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则下列的值中满足条件的可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】根据已知，利用正弦函数图象与性质、函数的周期性，结合函数图象进行求解.

【详解】当时，，且定义在上的函数满足，

所以函数的大致图象为：

因为，，

所以，，

所以由有：，

当时，由有：，

所以若对任意，都有，则，故CD错误.

故选：AB.

三、填空题

13．已知，则__________.

【答案】

【分析】根据两角和的正切公式，化简得到，代入即可求解.

【详解】因为，可得，

所以，

由.

故答案为：.

14．若，则__________.

【答案】/

【分析】首先求出的值，然后根据二倍角的正弦公式可得答案.

【详解】因为，所以，

所以，

故答案为：.

15．在中，、、分别为角的对边，且满足，则角A的大小是______.

【答案】/

【分析】根据题意结合三角恒等变换运算求解即可得答案.

【详解】由，即，故

则，

可得，解得，

因为，所以.

故答案为：.

16．方程有__________个根.

【答案】

【分析】在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后可得答案

【详解】与在同一直角坐标系中的图像如下：

所以方程有个根，

故答案为：

四、解答题

17．用“五点法”作函数位一个周期内的图象时，列衣计算了部分数据：

(1)请根据上表数据，求出函数的表达式并写出表内实数的值；

(2)求函数在区间内的单调増区间.

【答案】(1).

(2)，.

【分析】（1）根据表中已知数据先得出的值，根据周期即可得到的值，从而得到的值，进而函数的解析式可得到，从而求出a,b,c,d的值；

（2）根据正弦函数图象性质，整体代入确定函数单调区间即可.

【详解】（1）由表中数据可得，，

所以，所以，由，可得，

所以，所以，

；

（2）令，解得，

因为，所以，令，则，令，则，

所以在内的单调增区间是，.

18．设函数，已知函数的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点对称.

(1)求的单调区间；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)单调递增区间：，，无递减区间

(2)

【分析】（1）根据函数周期性，结合函数图象过的点的坐标，代值计算即可求得参数，则解析式可求；利用整体法代换法，即可求得函数的单调区间；

（2）根据（1）中所求解析式，利用正切函数的单调性，即可解得不等式.

【详解】（1）由题意知，函数f(x)的最小正周期为T＝，

即，因为ω>0，所以ω＝2，从而f(x)＝tan(2x＋φ)，

因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，

所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z.

因为0<φ<，所以φ＝，故f(x)＝tan.

令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得，

即

所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间．

（2）由（1）知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤，

得Z，即Z

所以不等式－1≤f(x)≤的解集为.

19．已知.

(1)若，求的值.

(2)已知.求角的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系进行化简、计算.

（2）利用三角函数的诱导公式、和角公式、同角三角函数的基本关系进行化简、计算.

【详解】（1）由题知，，

因为，，

所以，

所以.

（2），

，，

又，，

，.

20．某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据：

一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．

(1)若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；

(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？

【答案】(1)函数模型更好，函数解析式为

(2)当与时，船能够安全进港，停留的时间最多不能超过16h.

【分析】(1)通过题目数据拟合函数图像，可判断函数模型更好，再由图像点坐标代入函数，求出函数解析式为

(2) 根据题意已知可求出水深范围，解三角函数不等式可得答案，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港.

【详解】（1）函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系.

根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像.

从拟合曲线可知，函数在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，

函数的最小正周期为12，因此.

又当时，；当时，

，

所求函数的表达式为

（2）由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深应大于或等于7+4.5=11.5(m).令,

可得

取 ，则 ；取，则；

取时，（不符合题意，舍去).

当与时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.

21．已知函数的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式.

(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.

(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，求的值域.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由二倍角公式和辅助角公式即可化简；

（2）利用三角函数的图像变换，可求出，由三角函数的性质求解在的值域；

（3）由方程，即，设，即，结合正弦函数的图象，，求出的范围，代入即可得出答案.

【详解】（1）由题意，函数

，

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，

故函数.

（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，

再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，

当时，，

当时，函数取得最小值，最小值为，

当时，函数取得最大值，最大值为，

故函数的值域.

（3）由方程，即，即，

因为，可得，

设，其中，即，

结合正弦函数的图象，如图所示：

可得方程在区间有5个解时，即，

其中，

即，，

解得，

所以.

从而

22．若函数满足且（），则称函数为“函数”．

(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；

(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；

(3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．

【答案】(1)不是“函数”，理由见解析

(2)，单调递增区间为，；

(3)

【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”；

（2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；

（3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到.

【详解】（1）不是“函数”，理由如下：

，

，，

则，

故不是“函数”；

（2）函数满足，故的周期为，

因为，

所以，

当时，，，

当时，，，

综上：，

中，

当时，，，此时单调递增区间为，

，中，

当时，，，

则，

当，即时，函数单调递增，

经检验，其他范围不是单调递增区间，

所以在上的单调递增区间为，；

（3）由（2）知：函数在上图象为：

当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为，

当时，有6个解，由对称性可知：其和为，

当时，有8个解，其和为，

所以.

【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：

（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；

（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；

（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.