2022-2023学年新疆生产建设兵团第一师第二高级中学等2校高一下学期2月月考数学试题含解析

新疆生产建设兵团第一师第二高级中学等2校2022-2023学年高一下学期2月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列各组集合中，表示同一集合的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据集合的定义逐项分析即可.

【详解】选项A表示点的集合，与不同，故A选项不正确，

集合中元素具有无序性，所以集合与集合相等，故B选项正确，

选项C中集合研究点集，集合研究单一的实数集，故不同，故C不正确，

选项D中集合研究点集，集合研究单一的实数集，故不同，故D不正确，

故选：B.

2．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长60步，直径32步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（    ）

A． B． C． D．120

【答案】A

【分析】根据扇形面积公式得到面积为步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.

【详解】因为直径步，故半径为步，

（平方步），

设扇形的圆心角为，则，

即．

故选：.

3．命题“对任意的，有”的否定是（    ）

A．不存在，使 B．存在， 使

C．存在，使 D．对任意的，

【答案】C

【分析】解不等式，改命题的量词再否定结论可得命题的否定.

【详解】“对任意的，有”，

即“对任意的，有”，

其否定为“存在，使”，

故选：C.

4．下列说法中正确的是（    ）

A．第一象限的角是锐角 B．小于的角是锐角

C．第二象限角必大于第一象限角 D．相等的角终边必定重合

【答案】D

【分析】根据角概念的推广逐项判断即可.

【详解】解：对于A，第一象限的角是指终边落在第一象限的角的集合，有正有负，而锐角仅指大于小于的角，故不相同，故A错误；

对于B，小于的角还包含和负角，而锐角仅指大于小于的角，故不相同，故B错误；

对于C，例如为第二象限的角，为第一象限的角，显然不满足，故C错误；

对于D，相等的角终边必定重合，故D正确.

故选：D.

5．设，，则的最小值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】A

【分析】利用消元法，整理函数，根据基本不等式，可得答案.

【详解】由，则，即，

由，则，即，

故，当且仅当，即时，等号成立，

故选：A.

6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．或

【答案】C

【分析】先解二次不等式求得的等价条件，再利用充分不必要条件的性质与数轴法即可求得的取值范围.

【详解】因为，所以，

因为“”是“”的充分不必要条件，

所以是的真子集，则，故，

所以实数的取值范围为．

故选：C．

7．是第三象限角，则下列函数值一定是负值的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据角的范围即可判定半角或倍角的范围.，从而确定函数的正负.

【详解】∵为第三象限角，

∴为第二、四象限角，为第一、二象限角或终边与轴非负半轴重合，

∴只有一定为负值.

故选：C.

8．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论错误的为（    ）

A．是偶函数 B．

C．的图象关于对称 D．

【答案】D

【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．

【详解】为奇函数，为偶函数，的图象关于点对称且关于直线对称，，，，

，所以是周期函数，4是它的一个周期．

，

，B正确；

，是偶函数，A正确；

因此的图象也关于点对称，C正确；

对任意的，且，都有，即时，，所以在是单调递增，

，，，

，∴，D错．

故选：D．

【点睛】结论点睛：（1）的图象关于点对称，也关于点对称，则是周期函数，是的一个周期；

（2）的图象关于直线对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期；

（1）的图象关于点对称，也关于直线对称，则是周期函数，是的一个周期．

二、多选题

9．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ）

A． B．是奇函数

C．是偶函数 D．在上单调递增

【答案】ACD

【分析】根据幂函数经过的点得其表达式，结合幂函数的性质即可根据选项逐一求解.

【详解】因为函数的图象过点，所以，即，所以，故A正确：

，定义域为，关于原点对称，所以，所以是偶函数，故B错误，C正确：

又，所以在上单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，故D正确．

故选：ACD．

10．下列计算正确的有（    ）

A． B．

C． D．已知，则

【答案】CD

【分析】利用指数幂运算、根式与有理数指数幂互化，对各选项化简求值.

【详解】A：，错误；

B：，错误；

C：，正确；

D：，正确.

故选：CD

11．符号表示不超过的最大整数，如，定义函数：，则下列命题正确的是（    ）

A．

B．当时，

C．函数的定义域为，值域为

D．

【答案】ABC

【分析】根据给定的定义，逐项计算即可判断作答.

【详解】对于A，，A正确；

对于B，当时，，则，B正确；

对于C，依题意，函数对任意实数都有意义，即函数的定义域为，

任意，总存在，使得，则，有，因此值域为，C正确；

对于D，，D错误.

故选：ABC.

12．给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（    ）

A．“x＞2”是“2x＞1”的充分不必要条件

B．函数过定点（1，1）

C．定义在（0，＋∞）上的函数满足，且，则不等式的解集为（0，3）

D．已知在区间（2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是[－4，4]

【答案】ACD

【分析】A选项利用2x＞1求出的范围，结合x＞2得到充分不必要条件；B选项利用对数性质直接求出对数恒过定点即可判断；C选项构建新函数，利用单调性解不等式；D选项把问题转化为二次函数在递减并且恒大于0，再结合二次函数图像性质即可判断.

【详解】对于A选项：结合2x＞1可得，可得出，而得不出，

所以是2x＞1的充分不必要条件，故A正确；

对于B选项：，当，，即过定点，故B错误；

对于C选项：不妨设，则，两边同时除以，

得，令，，则，所以在

单调递减，由变形，，即，

得，故C正确；

对于D选项：因为在区间（2，＋∞）上为减函数，由复合函数可知

只需要在恒成立并且令该二次函数

在单调递增即可，由二次函数图像可得，得，故D选项正确；

故选：ACD

三、填空题

13．函数的零点为_________．

【答案】或4

【分析】直接令解方程即可.

【详解】令，

得，解得或4

故答案为：或4.

14．已知函数，则________．

【答案】/

【分析】根据分段函数解析式直接求值即可.

【详解】∵

∴ ，

故答案为：

15．若，，则__________．

【答案】/

【分析】利用同角三角函数之间的基本关系即可求得结果.

【详解】由可得

所以，又，所以位于第三象限，

因此，即

故答案为：

16．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于8万元，同时奖金不超过企业年产值的12%.若函数，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】由题意可知函数的单调性，分离常数即可得取值范围.

【详解】由题意为增函数，

故，解得.

又根据题意可得对恒成立，

故在恒成立.

由对勾函数性质可知：

函数在区间上为增函数，

故，

由可得在区间上恒成立，

所以，

综上有，

即m的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．化简求值：

(1)；

(2)

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据指数幂运算和根式的性质运算即可；

(2)根据对数运算性质运算即可.

【详解】（1）

；

（2）

.

18．已知集合，．

(1)当时，求，；

(2)若，求实数a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）代入得到，计算或，再计算交集和并集得到答案.

（2）将转换为，根据集合的包含关系转化为不等关系计算得到答案.

【详解】（1）当时，，，

故，

或，故.

（2），故，需满足，解得，即.

19．已知函数满足对任意，都有恒成立.且当时，.

(1)求，判断在上的单调性，并证你的结论；

(2)解不等式.

【答案】(1)1，函数在上递减，证明见解析

(2)

【分析】（1）令可得，设，则，利用可证明函数在上单调递减；

（2）根据函数在上单调递减可得解不等式可得答案.

【详解】（1）对任意，都有，令，可得，又；

函数在上是单调递减函数，证明如下，

设，则，则，

且，

则函数在上单调递减；

（2）由（1）可知，，

又对任意，都有，

根据函数在上单调递减可得，解得，

故不等式的解集为.

20．某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值（值越大产品的性能越好）与这种新合金材料的含量（单位：克）的关系：当时，是的二次函数；当时，.测得部分数据如表所示.

（1）求关于的函数关系式；

（2）求该新合金材料的含量为何值时产品的性能达到最佳.

【答案】（1）；（2）4.

【分析】（1）当时，设出二次函数解析式，代入点坐标列方程组，解方程组求得函数解析式.当时，将代入，由此求得的值.从而求得关于的函数关系式.

（2）利用二次函数的性质求得当时的最大值，根据指数函数的单调性求得当时函数的最大值，由此确定出当时，产品的性能达到最佳.

【详解】（1）当时，是的二次函数，可设.依题意有，解得：，，，即.

当时，，由，可得，即.

综上可得

（2）当时，，即当时，取得最大值12；

当时，单调递减，可得，即当时，取得最大值3.

综上可得，该新合金材料的含量为4时产品的性能达到最佳.

【点睛】本小题主要考查待定系数法求分段函数解析式，考查二次函数、指数函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

21．已知函数的图像关于原点对称，其中为常数.

（1）求的值；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）－1；（2）．

【分析】（1）函数图象关于原点对称，则其为奇函数，根据奇函数定义可求得；

（2）求得的最大值即可得．

【详解】∵函数图象关于原点对称，∴它是奇函数，

∴，

，在函数定义域内恒成立，

∴，，

时，不合题意，

时，，定义域是，符合题意．

∴．

（2）由（1）

恒成立，

而在上，是减函数，，∴，

∴．即的取值范围是．

【点睛】本题考查对数函数的性质，考查函数的奇偶性，解题时由奇函数定义求得参数，由对数函数的单调性求得函数的最值（需稍改变函数定义域）从而求得的取值范围．

22．已知函数.

（1）求函数的定义域；

（2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围；

（3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【分析】（1）根据函数有意义，列出不等式，即可求解函数的定义域；

（2）由，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解；

（3）设，则，结合“对勾函数”的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数有意义，则满足，解得，

即函数的定义域为.

（2）由，且，

可得，

由对数函数的性质，可得为单调递增函数，且函数在上有且仅有一个零点，

所以，即，解得，

所以实数的取值范围是.

（3）由，设，则，

当时，函数在上为增函数，所以最小值为，

解得，不符合题意，舍去；

当时，函数在上为减函数，所以最小值为，

解得，不符合题意，舍去；

当时，函数在上是减函数，在上为增函数，

所以最小值为，解得，符合题意，

综上可得，存在使得函数的最小值为4.

【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域，以及函数的零点的存在定理，以及函数的基本性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.