2022-2023学年安徽省六安第一中学高一下学期第一次阶段检测数学试题含解析

2022-2023学年安徽省六安第一中学高一下学期第一次阶段检测数学试题

一、单选题

1．化简后等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解.

【详解】因为，

故选：.

2．设复数，则（    ）

A． B． C．3 D．5

【答案】A

【分析】求得后再求模长即可.

【详解】，故.

故选：A

3．在中，下列关系式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由正弦定理得到，结合正弦函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】由正弦定理，得，

在中，因为，所以，所以.

故选：D.

4．在平行四边形中，为一条对角线.若，，则（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【分析】在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用减法求.

【详解】在平行四边形中， ，，

所以，

所以.

故选：C

5．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用倍角公式将条件变形，然后结合列方程组求解.

【详解】,

①,

又②，

由①②得.

故选：D.

6．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角.

【详解】因为，所以，即①.

因为向量在向量方向的投影向量是，所以.

所以②，将①代入②得，，又，

所以.

故选：B

7．所在平面上一点，满足且，若的面积为4，则的面积为（    ）

A．6 B．8 C．12 D．16

【答案】B

【分析】取中点，连接，根据向量的运算法则可得，即，从而可得的面积与面积关系，即可得答案.

【详解】如图，取中点，连接

则，所以，故点到直线的距离等于2倍的点到直线的距离，

则.

故选：B.

8．已知锐角中，，则（    ）

A．9 B．8 C．5 D．4

【答案】C

【分析】利用三角形内角和定理与两角和的余弦公式得到，再利用余弦定理即可求解.

【详解】因为，所以，

因为，因为，

，所以，

因为为锐角三角形，所以，则，所以，

在中，由余弦定理可得，所以，

则，

故选：C.

二、多选题

9．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，c=3，则a的可能取值为（    ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】BC

【分析】由三角形ABC是锐角三角形，则cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0，即可得出答案.

【详解】因为三角形ABC是锐角三角形，所以cosA＞0，cosB＞0，cosC＞0，.

所以，

即，又a＞0，

解得，

故选：BC.

10．下列命题为真命题的是（    ）

A．若，为共扼复数，则为实数

B．若为虚数单位，为正整数，则

C．复数在复平面内对应的点在第三象限

D．复数的共轭复数为

【答案】AC

【分析】根据共轭复数的概念可判断A项；利用复数的乘方运算可判断B项；利用复数的几何意义可判断C项；利用复数的除法运算结合共轭复数的概念可判断D项.

【详解】解：设，则，故，故A正确；

因为，故B错误；

因为复数在复平面内对应点的坐标为，所以在第三象限，故C正确；

因为，其共轭复数为，故D错误；

故选：AC.

11．若将函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．g(x)的最小正周期为π B．g(x)在区间[0，]上单调递减

C．x=是函数g(x)的对称轴 D．g(x)在[﹣，]上的最小值为﹣

【答案】AD

【解析】函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度后得函数g(x)的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等.

【详解】函数f(x)=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度后得，最小正周期为π，A正确；

为g(x)的所有减区间，其中一个减区间为，故B错；

令，得，故C错；

[﹣，]，，，故 D对

故选：AD

12．在中，角的对边分别为，下列命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若满足的恰有一个，则

D．若为锐角三角形，则

【答案】ABD

【分析】根据两角和的正切公式可判断A；利用同角的三角函数关系结合正弦定理可判断B；作图分析结合解三角形可判断C；利用三角形为锐角三角形结合诱导公式可判断D.

【详解】对于A，由于，故

，A正确；

对于B，由于，故，

由正弦定理可知，B正确；

对于C，设上的高为，则，

当，即时，如图，A点即D点，此时为直角三角形形，恰有一个；

当，即时，此时以C为圆心，以6为半径画弧，与射线的交点只有一个（B除外），

即恰有一个，故C错误；

对于D，由于为锐角三角形，故，

由于在上单调递增，故,

同理,故，D正确，

故选：ABD

三、填空题

13．方程的复数根是__________.

【答案】

【分析】利用复数单位i的性质，解方程即可求得答案.

【详解】由题意得方程即，

故，

故的复数根是，

故答案为：

14．已知，则的最大值是__________.

【答案】4

【分析】将向量进行线性运算后，按照向量的求模公式，结合辅助角公式求最值即可.

【详解】

因为，所以，

所以，

所以的最大值为，

故答案为：.

15．若向量，则__________.

【答案】4

【分析】根据两个向量垂直，数量积为零，并结合向量的减法法则求得结果.

【详解】已知向量，

所以,

所以.

故答案为：4.

16．在中，若，则的最小值是__________.

【答案】/

【分析】利用平面向量的数量积定义和余弦定理得到，然后再次利用余弦定理和基本不等式即可求解.

【详解】因为，

则，

所以，

化简可得，在中，由余弦定理可得

（当且仅当时，即时取等），

所以的最小值是，

故答案为：.

四、解答题

17．已知平面向量，满足，.

(1)

(2)求向量与向量的夹角

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用向量加减运算、数量积运算的坐标表示进行求解.

(2)利用向量加减运算、数量积运算的坐标表示以及夹角公式进行求解.

【详解】（1）因为，，所以，，

所以.

（2）因为，，所以，

所以，

所以向量与向量的夹角.

18．已知，均为锐角，且，．

(1)分别求出和值；

(2)求的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据为锐角，得到，从而得到的值，然后由求解；

（2）由（1）得到，进而得到，然后由两角和的正切公式求解.

【详解】（1）解：∵为锐角，

∴，

又∵，

∴，

则，

，

．

（2）由（1）可得，

∵为锐角且，

∴，

∴．

∴．

19．在中，角所对的边分别为，且，再从条件①､条件②这两个条件中选一个条件作为已知，条件①：；条件②：.求：

(1)的值；

(2)的面积和边上的高.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①，利用余弦定理求得c，可得三角形为等腰三角形，即可求得答案；

选②，利用同角三角函数关系求出，再利用诱导公式以及两角和的正弦公式求得答案；

（2）选①，先根据面积公式求出三角形面积，根据等面积法即可求得边上的高；

选②，利用（1）可得，即可求得三角形面积，作出边上的高，利用解直角三角形即可求得边上的高.

【详解】（1）选条件①

由余弦定理，，

又，又中，

.

选条件②

中，，

，

；

（2）选条件①，的面积为，

设边上的高为，则，

边上的高为.

选条件②

由第（1）问有为三角形内角，，

的面积为，

过作，垂足为，则为边上的高，

在直角中，，

边上的高为.

20．在平行四边形中，为边上一点.

(1)若为中点，，求；

(2)若，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，利用向量运算得，则得到方程组解出即可；

（2）设，根据，则有，展开得到方程解出即可.

【详解】（1）设，则，

，即

得，.

（2）设，则，

，，

，即，

，即，

解得，.

21．在平面内四边形的对角线交点位于四边形内部，，，设.

(1)若，求与；

(2)当变化时，求的最大值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）在中，由余弦定理可得，进一步推出为等腰直角三角形得到，在中，由余弦定理可得答案.

（2）在中，由余弦定理可用表示，由正弦定理计算， 在中，由余弦定理可得，得到答案.

【详解】（1）在中，由余弦定理可得，

，则为等腰直角三角形，

，在中，由余弦定理，

；

（2）在中，，即，

，

在中，由余弦定理可得，

，

当时，的最大值为.

22．设锐角的内角所对的边分别为，已知.

(1)求证：；

(2)求的取值范围；

(3)若，求面积的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）由正弦定理和两角差的正弦公式，化简得到，结合为锐角三角形，得到，即可求解；

（2）由（1）求得，得到，结合正弦定理，即可求解；

（3）由正弦定理和面积公式，化简得到，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理得，所以，

又因为为锐角三角形，可得，

所以，可得，即.

（2）解：因为，且为锐角三角形，且，

可得，所以

又因为，即，可得，所以，

则，即的取值范围是.

（3）解：由正弦定理得，

所以

，

又由，可得，

设在为单调递减函数，可得，

所以，故的取值范围是.