2022-2023学年福建省福州高级中学高一下学期第三学段考试数学试题含解析

2022-2023学年福建省福州高级中学高一下学期第三学段考试数学试题

一、单选题

1．在复平面内，复数z满足，则复数z对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】先求出，即可根据复数的几何意义，得出答案.

【详解】由已知可得，，

所以，在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限.

故选：A.

2．化简的结果等于（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用向量加法法则及相反向量计算即可.

【详解】，

故选：B.

3．已知，则（    ）

A．2 B．5 C．6 D．8

【答案】B

【分析】利用“齐次式”和条件可直接求出结果.

【详解】因为，所以，

故选：B.

4．如图，在△OAB中，点P在边AB上，且．则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.

【详解】由于，所以，

所以

.

故选：B

二、填空题

5．已知向量，．若，则实数k的值为________．

【答案】8

【分析】根据向量的坐标运算，结合平行满足的坐标关系即可求解.

【详解】由题意可知，由可得，

故答案为：8

6．一艘船在静水中的航行速度为10km/h，河水的流速为4km/h，则船的实际航行的速度（单位：km/h）取值范围________．

【答案】

【分析】由向量的模的性质求解.

【详解】由公式及等号成立的条件可知，当船速与水速方向相同时，船的实际航行的速度最大，为10+4=14（km/h）；当船速与水速方向相反时，船的实际航行的速度最小，为10-4=6（km/h）.

故答案为：

三、解答题

7．已知复数（i是虚数单位）.

(1)求复数z的共轭复数和模；

(2)若.求a，b的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用复数运算化简，从而求得的共轭复数以及模.

（2）根据复数相等列方程，化简求得的值.

【详解】（1），

所以z的共轭复数，

.

（2）因为，

即，

也即，

所以，解得.

8．在中，角、、所对的边分别为、、．若，，．

(1)求角；

(2)边上高的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理计算可得；

（2）由（1）可得，即可得到三角形为等腰三角形，再由等面积法计算可得.

【详解】（1）因为，，，

由正弦定理，即，所以，

又，所以.

（2）又（1）可证，所以，则，

所以，所以.

四、单选题

9．设，则的一个可能值是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据辅助角公式以及三角函数的性质可得，进而可求解.

【详解】由于，又，所以，

所以，所以，

，

故选：B

10．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（    ）

A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

【答案】C

【分析】化简可得.然后根据图象的变换，逐项求出变换后的解析式，即可得出答案.

【详解】因为.

对于A项，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.向右平移个单位长度，得到，故A项错误；

对于B项，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象.向左平移个单位长度，得到，故B项错误；

对于C项，把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象.向左平移个单位长度，得到，故C项正确；

对于D项，把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象.向左平移个单位长度，得到，故D项错误.

故选：C.

11．已知是的外心，且满足，若在上的投影向量为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意可得是的中点，即可得到是以为直角顶点的直角三角形，过点向作垂线，垂足为，连接，即可得到，从而得到，再由锐角三角函数计算可得.

【详解】因为，

所以，

即，所以三点共线且是的中点，

因为是的外心，所以是圆的直径，

故是以为直角顶点的直角三角形，

过点向作垂线，垂足为，连接，如图所示：

因为在上的投影向量为，

所以在上的投影向量为

，

而，

则，

因为，所以.

故选：D.

12．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知可求得，进而根据图象可推得，求出的范围，即可得出答案.

【详解】设圆的半径为，则，所以.

如图，根据向量加法的三角形法则可知

，，且，

所以.

由已知可得，正方形上的点到点的距离，

所以，所以.

故选：D.

五、多选题

13．已知复数的实部与虚部互为相反数，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题目条件与余弦二倍角公式得到，,求出或，

结合，求出的值.

【详解】由条件知，，

∴，

∴或，

∵，

∴，或．

故选：ACD

14．在中，若，，，则a的值可以为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】AC

【分析】根据条件，利用余弦定理即可得到答案.

【详解】因为，，，由余弦定理，得，即，解得或，

故选：AC.

六、单选题

15．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是 D．若，则外接圆半径是

【答案】C

【分析】根据题意，由正弦定理可判定A错误；由余弦定理求得，结合向量的数量积的定义，可判定B错误；由三角形的面积公式，可判定C正确；由正弦定理求得外接圆的半径，可判定D错误.

【详解】由题意，在中，满足，

对于A中，由正弦定理，所以，

所以A不正确；

对于B中，设三边的长分别为，

由余弦定理得，

所以，所以B错误；

对于C中，若，可得，可得，则，

所以的面积为，所以C正确；

对于D中，设三边的长分别为，

由，即，可得，所以，

设外接圆的半径为，则，

所以，所以D错误.

故选：C.

七、多选题

16．给出下列命题，其中正确的选项有（    ）

A．若非零向量，满足，则与的夹角为

B．若非零向量，满足，则与共线且同向

C．在中，若，则为等腰三角形

D．若单位向量，的夹角为，则当取最小值时，

【答案】BC

【分析】选项A：根据得到以，，为三边的三角形为等边三角形，即可判断；选项B：把平方得到，然后根据，得出，从而得出；选项C：根据题意可得向量所在的直线为角的角平分线，再根据条件，即可判断为等腰三角形，选项D：利用平方法得到，从而判断出时取最小值；

【详解】对于A：非零向量，满足，则以，，为三边的三角形为等边三角形，

所以与的夹角都为，故A错误；

对于B：对非零向量，，

，

若使成立，即成立，

则，即，所以与共线且同向，故B正确；

对于C：由于表示向量方向上的单位向量， 表示向量方向上的单位向量，

所以向量所在的直线为角的角平分线，

因为，所以，

所以，故为等腰三角形，故C正确；

对于D：因为单位向量、的夹角为，

所以

，

所以时，取最小值，故D错误；

故选：BC

八、填空题

17．如图，作用于同一点O的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则________．

【答案】

【分析】先根据三力平衡，得到，再由向量模的计算公式，即可得出结果．

【详解】解：因为，，三个力处于平衡状态，所以，

所以，

所以,

故答案为：.

18．已知函数，，若当时，总有，则实数t的最小值为________．

【答案】/

【分析】由已知可推得，原不等式可化为.构造，根据余弦函数的单调性，即可得出实数t的取值范围，即可得出答案.

【详解】由已知可得，.

由可得，.

令，

所以有.

要使当时，恒成立，

则在上单调递增，即在上单调递增.

又在上单调递增，

所以由可得，，所以，

所以实数t的最小值为.

故答案为：.

九、解答题

19．已知，，．

(1)若，夹角为，求；

(2)设，若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得；

（2）依题意可得，，将两式两边平方再相加即可得解.

【详解】（1）因为，，

所以，，

又，夹角为，所以，

所以.

（2）因为，且，

所以，

所以，，

所以，，

所以，

即，即，

所以.

20．在①，，；②；③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．在中，内角的对边分别是，且满足________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

(1)求角；

(2)若，求面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）选①：由，得到，利用正弦定理和三角形内角性质化简得到，求得，即可求解；

选②：由正弦定理和三角函数的性质得到，得到，即可求解；

选③：由余弦定理求得，即可求解；

（2）由余弦定理求得，结合基本不等式求得，结合面积公式，即可求解.

【详解】（1）解：选①：因为，

由，可得，

由正弦定理得:

，

因为，可得，所以，

又因为，可得，所以，

因为，所以.

选②：因为，

由正弦定理得，

又因为，可得，则，

即，可得，

因为，所以.

选③：因为，可得，

由余弦定理得，

又因为，所以.

（2）解：因为，且，

由余弦定理知，即，

可得，

又由，当且仅当时，等号成立，

所以，

所以的面积，

即的面积的最大值为.

21．如图，在△ABC中，点D在边BC上，且，，．

(1)若，求的值；

(2)若BC边上点E满足，，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理即可求解，

（2）由正弦定理可得的值，进而根据向量的模长公式即可求解.

【详解】（1）在中，点在边上，，

，

，

，．

由正弦定理可得

（2）由（1）知，且为钝角三角形，由得，

, ，

，

在中,由正弦定理得 ，解得,

所以，

，

所以

22．在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直（满足），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD是固定的，路宽．设灯柱高，．

(1)经测量当，时，路灯C发出锥形灯罩刚好覆盖AD，求∠ACD；

(2)因市政规划需要，道路AD要向右拓宽6m，求灯柱的高h（用来表示）；

(3)在（2）的条件下，若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为，求S关于的函数表达式，并求出S的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)，最小值为.

【分析】（1）由余弦定理求出，则发现为等边三角形可得解；

（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；

（3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.

【详解】（1）在中，当时，，

所以，

由余弦定理，

所以，

在中，又，

所以是等边三角形，即.

（2），，，

在中，由正弦定理得，

所以

所以

在中，由正弦定理得，

所以，

所以；

（3）在中，由正弦定理得，

所以，

所以

所以

，

因为，所以，

所以当，即时，取最小值，

故关于的函数表达式为，最小值为.