2023年河南省洛阳市伊川县中考数学一模试卷(含答案解析)

这是一份2023年河南省洛阳市伊川县中考数学一模试卷(含答案解析)，共21页。试卷主要包含了 −15的倒数是， 下列计算正确的是， 阅读理解等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省洛阳市伊川县中考数学一模试卷1.  的倒数是(    )A.  B.  C.  D. 52.  如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是(    )A.
B.
C.
D. 3.  下列计算正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图，已知，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的度数为(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  成人每天维生素D的摄入量约为克．数据“”用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 6.  一元二次方程的根的情况是(    )A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根7.  如图，在半径为1的扇形AOB中，，点P是上任意一点不与点A，B重合，，，垂足分别为C，D，则CD的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 18.  阅读理解：为计算三角函数值，我们可以构建如图，使得，，延长CB使，连接AD，可得到，所以类比这种方法，请你计算的值为(    )
A.  B.  C.  D. 9.  如图，AB为的切线，点A为切点，OB交于点C，点D在上，连接AD，CD，OA，若，则的大小(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图．在中，，，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分的周长，则DE的长为(    )A. 1
B.
C.
D. 11.  请写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数的解析式______.12.  不等式组的解集是______ .13.  现有两个不透明的箱子，一个装有2个红球和1个白球，另一个装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．从两个箱子中各随机摸出1个球，摸出1红1白的概率是______.14.  如图，AB是的直径，弦，垂足为E，，，则阴影部分面积______.
 15.  矩形ABCD中，，，点E是CD的动点，若，则DE的长为______ .
 16.  计算：
；
 17.  伊川县教育主管部门为了了解学校“减轻学生作业负担”情况，在甲和乙两所初级中学中各随机抽查了50名学生完成书面作业所用的时间，并绘制了如下统计表：
甲学校50名学生完成书面作业时间统计表组别学生完成书面作业需要时间分钟频数频率A3B21CmD2n合计501根据以上表和如图图表信息回答下列问题：
统计表中______ ，______ ；
乙学校在调查的50名学生中，需要90分钟以上才能完成书面作业的有______ 人；
设a为甲学校抽取的50名学生完成书面作业时间的中位数，b为乙学校抽取的50名学生完成书面作业时间的中位数，则a ______ b；填“>”“=”或“<”
若该县有初中在校生15000人，根据对甲、乙两所学校调查的情况，估计能在国家规定的90分钟含90分钟内完成书面作业的人数.
18.  已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
根据函数图象，直接写出不等式的解集；
若点C关于y轴的对称点是点B，连结AC、BC，求的面积.
19.  嵩岳寺塔位于登封市区西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院内，为北魏时期佛塔．该塔是我国现存最早的砖塔，反映了中外建筑文化交流融合创新的历程，在结构、造型等方面具有很大价值，对后世砖塔建筑有着巨大影响．某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．
 课题测量嵩岳寺塔的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量方案在点C处放置高为米的测角仪CD，此时测得塔顶端A的仰角为，再沿BC方向走22米到达点E处，此时测得塔顶端A的仰角为说明：E、C、B三点在同一水平线上请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．
精确到米，参考数据：，，20.  某校为改善教师的办公环境，计划购进A，B两种办公椅共100把.经市场调查：购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元.
求A种，B种办公椅每把各多少元？
因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下不考虑其它因素，实际付款总金额按市场价九折优惠.请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用.21.  如图，抛物线经过点，且当时，函数y有最小值如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答
求抛物线的解析式；
点B的坐标为，点B关于原点的对称点为，点C是抛物线对称轴上一动点，若抛物线在直线下方的部分与直线BC有公共点，求点C纵坐标的取值范围.
22.  如图，在中，，以AC边为直径作交BC边于点D，过点D作于点E，ED、AC的延长线交于点
求证：EF是的切线；
若，且，求的半径与线段AE的长．
23.  问题背景如图，已知∽，求证：∽；
尝试应用如图，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新如图，D是内一点，，，，，直接写出AD的长．

答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：，
的倒数是，
故选：
根据互为倒数的两个数乘积为1即可求解．
本题考查的是倒数，解题的关键是掌握互为倒数的两个数乘积为
 2.【答案】D 【解析】解：从正面看易得有两层，底层三个正方形，上层左边是一个正方形．
故选：
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 3.【答案】D 【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 4.【答案】A 【解析】解：，

，
，
，
，

故选：
由平行线的性质及对顶角的性质可求解的度数，利用直角三角形的性质及对顶角的性质可求解的度数．
本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，直角三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
 5.【答案】C 【解析】【分析】
本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，表示形式为为正整数，关键是掌握n等于原数第一个非零数字前所有零的个数，包括小数点前面的这个零．根据用科学记数法表示绝对值较小的数的方法进行解答即可．
【解答】
解：
故选：  6.【答案】A 【解析】解：方程化为一般式为，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：
先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，从而可判断根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 7.【答案】B 【解析】解：连接

，，
，
，，
，，
是的中位线，
，
故选：
连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可．
本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题．
 8.【答案】B 【解析】解：如图：

在中，，，延长CB使，连接AD，
，
设，则，
，
在中，，
故选：
在中，，，延长CB使，连接AD，得，设，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，实数的运算，平方差公式，理解例题的解题思路是解题的关键．
 9.【答案】B 【解析】解：为的切线，点A为切点，
，
，
，

故选：
根据切线的性质得，再根据圆周角定理得到，然后利用互余计算出的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 10.【答案】B 【解析】解：延长BC至M，使，连接AM，作于N，
平分的周长，
，又，
，，
，
，
，
，，，，
，，
，
，
故选：
延长BC至M，使，连接AM，作于N，根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据等腰三角形的性质求出，再结合含角的直角三角形的性质，利用勾股定理解出AN，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，掌握三角形中位线定理、正确作出辅助线是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了正比例函数的性质：正比例函数，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．
直接根据正比例函数的性质求解．
【解答】
解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
可取1，
此时正比例函数解析式为
故答案为  12.【答案】 【解析】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组组的解集为
故答案为：
先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：列表如下： 白红红白白，白红，白红，白白白，白红，白红，白红白，红红，红红，红所有等可能的情况有9种，其中摸出1红1白的情况有5种，
所以摸出1红1白的概率是，
故答案为：
列表得出所有等可能的情况数，找出两人摸出1红1白的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 14.【答案】 【解析】解：连接

，
，，
，
，
，
，
，都是等边三角形，
，
四边形OCBD是菱形，
，
，
，
，
，
故答案为
连接证明，推出即可解决问题．
本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 15.【答案】2或8 【解析】解：设，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，
，
∽，
：：EC，
：：，
或，
的长是2或
故答案为：2或
由矩形的性质，垂直的定义推出，即可证明∽，得到DE：：EC，设，列出关于x的方程，求出x的值即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由条件证明∽，并注意有两个答案．
 16.【答案】解：原式
；
原式

 【解析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则是解题基础．
先分别化简绝对值，零指数幂，立方根，负整数指数幂，然后再计算；
分式的混合运算，先算小括号里面的，然后算括号外面的．
 17.【答案】 【解析】解：由题意可得，，
故答案为：24，；
由题意可得，人
即乙学校在调查的50名学生中，需要90分钟以上才能完成书面作业的有2人．
故答案为：2；
将甲学校的50个数据按从小到大的顺序排列后，第25、26个数均落在C组，即，
将乙学校的50个数据按从小到大的顺序排列后，第25、26个数均落在F组，即，

故答案为：>；
人
答：估计能在国家规定的90分钟含90分钟内完成书面作业的人数约为14400人．
根据各组频数之和等于数据总数可得m的值，根据频率=频数数据总数可得n的值；
用50乘以乙学校样本中需要90分钟以上才能完成书面作业的学生所占的百分比即可；
根据中位数的定义分别求出甲、乙两所学校抽取的50名学生完成书面作业时间的中位数，再比较即可；
利用样本估计总体的思想，用该市初中在校生总人数乘以样本中甲、乙两所学校的学生能在国家规定的90分钟含90分钟内完成书面作业的人数所占的百分比即可．
本题考查频数率分布表、扇形统计图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据统计图表得出解题所需数据及中位数的意义、样本估计总体思想的运用．
 18.【答案】解：反比例函数的图象过点，，
，
解得，，
，，
一次函数的图象过A点和B点，
，
解得，
一次函数的表达式为，
描点作图如下：

由中的图象可得，
不等式的解集为：或；
由图知中BC边上的高为6，，
 【解析】根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次函数的表达式即可；
根据图象直接得出不等式的解集即可；
根据对称求出C点坐标，根据A点、B点和C点坐标确定三角形的底和高，进而求出三角形的面积即可．
本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．
 19.【答案】解：延长FD交AB于点H，则，

由题意得，，，米，米，
设米，
，
米，米，
，
，即，
解得，
米，
答：嵩岳寺塔AB的高度约为米． 【解析】根据题意可得，，米，米，设米，在中，可得米，在中，根据的正切列方程可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义并构造直角三角形．
 20.【答案】解：设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，
依题意得：，
解得：
答：A种办公椅100元/把，B种办公椅80元/把．
设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅把，
依题意得：，
解得：
设实际所花费用为w元，则
，
随m的增大而增大，
当时，w取得最小值，最小值，此时
答：当购买75把A种办公椅，25把B种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为8550元． 【解析】设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，根据“购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅1把，共需380元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买A种办公椅m把，则购买B种办公椅把，根据购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设实际所花费用为w元，利用实际花费=单价总价折扣率，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
 21.【答案】解：当时，函数y有最小值，
抛物线的对称轴为直线，
，解得，
把点代入中，得，
抛物线的解析式为；
由题意得：
点C在抛物线的对称轴上，当时，，
当点C的纵坐标为时，直线轴，如图，直线BC与直线下方抛物线有一个公共点D；


当点C的纵坐标小于时，直线BC与直线下方抛物线无公共点，
直线经过原点，设直线的解析式为，
，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，
符合要求的点C的纵坐标的最大值应小于，
综上所述， 【解析】根据对称轴求得a的值，然后将A的坐标代入抛物线解析式求出c的值，确定出抛物线解析式；
由题意确定出坐标，以及二次函数的最小值，确定出C纵坐标的最小值，求出直线解析式，令求出y的值，即可确定出的取值范围．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
 22.【答案】证明：连结OD，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：在，，
设，则，
，，
在中，，
，
，
，解得，
，
，
即的半径长为 【解析】连结OD，如图，由得到，由得到，则，于是可判断，然后利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论；
在利用正弦的定义得到，则可设，，所以，，在中由于，可得到，接着表示出BE得到，解得，于是可得到AE和OD的长．
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．灵活应用三角函数的定义是解决小题的关键．
 23.【答案】问题背景
证明：∽，
，，
，，
∽；
尝试应用
解：如图1，连接EC，

，，
∽，
由知∽，
，，
在中，，
，

，，
∽，

拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，

，
，
，
，
又，
∽，
，
又，
，
即，
∽，
，
，
，
，

拓展创新
 【解析】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
问题背景
由题意得出，，则，可证得结论；
尝试应用
连接EC，证明∽，由知∽，由相似三角形的性质得出，，可证明∽，得出，则可求出答案．
拓展创新
如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，

，
，
，
，
又，
∽，
，
又，
，
即，
∽，
，
，
，
，