2023年湖北省十堰市茅箭区中考数学一模试卷(含答案解析)

这是一份2023年湖北省十堰市茅箭区中考数学一模试卷(含答案解析)，共23页。试卷主要包含了 − 11的绝对值是， 下列运算中，正确的是， 如图已知反比例函数C1等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省十堰市茅箭区中考数学一模试卷
1. − 11的绝对值是(    )
A. − 11 B. 11 C. 11 D. −11
2. 由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是(    )

A. B. C. D.
3. 下列运算中，正确的是(    )
A. 5−2 5=−2 B. 6a4b÷2a3b=3ab
C. (−2a2b)3=−8a6b3 D. (a+b)2=a2+b2
4. 为迎接中国共产党建党一百周年，某班50名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，其中有两个数据被遮盖.
成绩/分
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
人数
■
■
1
2
3
5
6
8
10
12
下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是(    )
A. 平均数，方差 B. 中位数，方差 C. 中位数，众数 D. 平均数，众数
5. 甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了90个零件时乙做了120个零件，设甲每小时能做x个零件，根据题意可列分式方程为(    )
A. 90x=12035−x B. 120x=9035−x C. 90x=12035+x D. 120x=9035+x
6. 函数y= x+1x2−4的自变量x的取值范围是(    )
A. x≥−1 B. x≥−1且x≠2 C. x≠±2 D. x>−1且x≠2
7. 根据图中数字的规律，若第n个图中的q=168，则p的值为(    )

A. 121 B. 144 C. 169 D. 196
8. 如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD//AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为(    )


A. 30∘
B. 35∘
C. 40∘
D. 45∘
9. 如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点(不与B、C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosa=45.下列结论：①当BD=6时，△ABD与△DCE全等；②△ADE∽△ACD；③△DCE为直角三角形时，BD为8或252；④CD2=CE⋅CA.其中正确的结论有几个(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图已知反比例函数C1：y=kx(k<0)的图象如图所示，将该曲线绕点O顺时针旋转45∘得到曲线C2，点N是由曲线C2上一点，点M在直线y=−x上，连接MN、ON，若MN=ON，△MON的面积为 3，则k的值为(    )
A. −2 3
B. − 3
C. −2
D. −1
11. 据报道，春节期间微信红包收发高达320000000次，数字320000000科学记数法表示为__________ .
12. 不等式2x−1>5的解集是______ .
13. 小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度，如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30∘，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60∘，则旗杆EF的高度为______ 米.(结果保留小数点后一位，参考数据： 3≈1.732)

14. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=10，点E在边BC上，DF⊥AE，垂足为F.若DF=6，则线段EF的长为______.


15. 如图，将半径为6的半圆，绕点A逆时针旋转60∘，使点B落到点B′处，则图中阴影部分的面积是______.


16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，BC=4，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是______ .


17. 计算：−12023+ 27+(π−3.14)0−| 3−2|.
18. 先化简，再求值：(1−3x+1)÷x2−4x+4x2−1，其中x=3.
19. 已知关于x的一元二次方程x2−(m−3)x−m=0.
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22−x1x2=19，求m的值.
20. 2020年3月我国因“新冠病毒”的疫情，都不能如期开学，我市某校网上开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程，要求学生在家选择一项网上学习，为了解全校学生对每类课程的选择情况，随机抽取了若干名学生进行调查(每人必选且只能选一类)，先将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

(1)本次随机调查了多少名学生？
(2)若该校共有2000名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数.
(3)学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”，请用树状图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率.(书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A，B，C，D表示)
21. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

22. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE.

(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．
23. 某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少.商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整数).
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？

24. 如图1，正方形ABCD对角线AC、BD交于点O，E、F分别为正方形ABCD边AB、AD上的点，EF⊥AC交于点M，N为BF中点.

(1)请直接写出ON与OM的数量关系.
(2)若将△AEF绕点A旋转到图2所示位置时，(1)中的结论是否成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若AB=8，E为AB中点，△AEF绕点A旋转过程中，直接写出点M与点C的最大距离与最小距离之差.
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知AB=5，tan∠CAB=3，OC：OB=3：4.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、BC交于点E、F，求EF的长；
(3)在(2)的条件下，联结CE，如果点P在该抛物线的对称轴上，当△CEP和△CEB相似时，求点P的坐标.


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：− 11的绝对值是 11.
故选：C.
根据绝对值的性质即可求解．
本题考查了实数的性质，关键是熟悉负数的绝对值是它的相反数的知识点．

2.【答案】A 
【解析】解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；
从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，
从俯视图上看，底面有3个小正方体，
故选：A.
从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．
此题主要考查了有三视图判断几何体的组成，关键是熟练把握从各方面看可以得到的结论．

3.【答案】C 
【解析】解：A、原式=− 5，故A不符合题意．
B、原式=3a，故B不符合题意．
C、原式=−8a6b3，故C符合题意．
D、原式=a2+2ab+b2，故D不符合题意．
故选：C.
根据单项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式以及二次根式的减法运算即可求出答案．
本题考查整式的加减运算、乘除运算以及二次根式的加法运算．

4.【答案】C 
【解析】解：由表格数据可知，成绩为91分、92分的人数为50−(12+10+8+6+5+3+2+1)=3(人)，
成绩为100分的，出现次数最多，因此成绩的众数是100，
成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数都是98分，因此中位数是98，
因此中位数和众数与被遮盖的数据无关，
故选：C.
通过计算成绩为91、92分的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，同时不影响找第25、26位数据，因此不影响中位数的计算，进而进行选择．
考查中位数、众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提．

5.【答案】A 
【解析】解：设甲每小时能做x个零件，根据题意可得：90x=12035−x，
故选：A.
关键描述语为：“甲做90个零件所用的时间和乙做120个零件所用的时间相同”；等量关系为：90÷甲的工效=120÷乙的工效．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：根据题意得：x+1≥0x2−4≠0，
解得x≥−1且x≠2.
故选：B.
根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，以及分母不等于0，据此即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，及分式有意义的条件．

7.【答案】B 
【解析】解：通过观察可得规律：p=n2，q=(n+1)2−1，
∵q=168，
∴(n+1)2−1=168，
解得n=12或−14(舍去)，
∴p=n2=122=144，
故选：B.
每个图形中，左边三角形上的数字即为图形的序数n，右边三角形上的数字为p=n2，下面三角形上的数字q=(n+1)2−1，先把q=168代入求出n的值，再进一步求出p的值．
本题考查了图形中有关数字的变化规律，能准确观察到相关规律是解决本题的关键．

8.【答案】D 
【解析】
【分析】
由切线的性质知∠OCB=90∘，再根据平行线的性质得∠COD=90∘，最后由圆周角定理可得答案．
本题主要考查切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，求出∠COD的度数是解题的关键.
【解答】
解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90∘，
∵OD//AB，
∴∠COD=90∘，
∴∠CED=12∠COD=45∘，
故选：D.  
9.【答案】C 
【解析】解：作AH⊥BC于H，如图1，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∵AB=AC，
∴BH=CH，
在Rt△ABH中，∵cosB=cosα=BHAB=45，
∴BH=45×10=8，
∴BC=2BH=16，
当BD=6时，CD=10，
∴AB=CD，
∴△ABD≌△DCE，所以①正确；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
所以②正确；
当∠DEC=90∘时，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠ADB=∠DEC=90∘，即AD⊥BC，
∴点D与点H重合，此时BD=8，
当∠EDC=90∘，如图2，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠DAB=∠EDC=90∘，
在Rt△ABD中，cosB=cosα=ABBD=45，
∴BD=1045=252，
∴△DCE为直角三角形时，BD为8或252，所以③正确；
∵∠BAD=∠CDE，
而AD不是∠BAC的平分线，
∴∠CDE与∠DAC不一定相等，
∴△CDE与△CAD不一定相似，
∴CD2=CE⋅CA不成立，所以④错误．
故答案为①②③．
故选：C.
①作AH⊥BC于H，如图1，先证明△ABD∽△DCE，再利用余弦定义计算出BH=8，则BC=2BH=16，当BD=6时，可得AB=CD，则可判断△ABD≌△DCE，于是可对①进行判断；
②根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，而∠ADE=∠B=α，则∠ADE=∠C，所以△ADE∽△ACD，于是可对②进行判断；
③由于△DCE为直角三角形，分类讨论：当∠DEC=90∘时，利用△ABD∽△DCE得到∠ADB=∠DEC=90∘，即AD⊥BC，易得BD=8，当∠EDC=90∘，如图2，利用△ABD∽△DCE得到∠DAB=∠EDC=90∘，然后在Rt△ABD中，根据余弦的定义可计算出BD=252，于是可对③进行判断；
④由于∠BAD=∠CDE，而AD不是∠BAC的平分线，可判断∠CDE与∠DAC不一定相等，因此△CDE与△CAD不一定相似，这样得不到CD2=CE⋅CA，则可对④进行判断．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．也考查了解直角三角形．

10.【答案】B 
【解析】解：∵将直线y=−x和曲线C2绕点O逆时针旋转45∘后直线y=−x与x轴重合，
∴旋转后点N落在曲线C1上，点M落在x轴上，如图所示，
设点M和点N的对应点分别为点M′和N′，
过点N′作N′P⊥x轴于点P，连接ON′，M′N′，
∵MN=ON，
∴M′N′=ON′，M′P=OP，
∴S△MON=2S△PN′O=2×|k|2=|k|= 3，
∵k<0，
∴k=− 3.
故选：B.
将直线y=−x和曲线C2绕点O逆时针旋转45∘，则直线y=−x与x轴重合，曲线C2与曲线C1重合，即可求解．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义、旋转的性质，体现了直观想象、逻辑推理的核心素养．

11.【答案】3.2×108 
【解析】解：320000000=3.2×108，
故答案为：3.2×108.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位．
此题考查科学记数法的表示方法．

12.【答案】x>3 
【解析】解：移项得，
2x>6，
系数化1得，
x>3；
所以，不等式的解集为x>3.
利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上1再除以2，不等号的方向不变；即可得到不等式的解．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．

13.【答案】18.9 
【解析】解：延长AD交EF于点G，

由题意得：AG⊥EF，AB=CD=GF=1.58米，AD=BC=20米，∠EAD=30∘，∠EDG=60∘，
∵∠EDG是△ADE的一个外角，
∴∠AED=∠EDG−∠EAD=30∘，
∴∠EAD=∠AED=30∘，
∴DA=DE=20米，
在Rt△EDG中，EG=ED⋅sin60∘=20× 32=10 3(米)，
∴EF=EG+FG=10 3+1.58≈18.9(米)，
故答案为：18.9.
延长AD交EF于点G，根据题意可得：AG⊥EF，AB=CD=GF=1.58米，AD=BC=20米，∠EAD=30∘，∠EDG=60∘，然后利用三角形的外角性质可得∠EAD=∠AED=30∘，从而可得DA=DE=20米，然后在Rt△EDG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

14.【答案】3 
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=3，BC=AD=10，AD//BC，
∴∠AEB=∠DAF，
∴△AFD∽△EBA，
∴AFBE=ADAE=DFAB，
∵DF=6，
∴AF= AD2−DF2= 100−36=8，
∴8BE=10AE=63，
∴AE=5，
∴EF=AF−AE=8−5=3，
故答案为：3.
证明△AFD∽△EBA，得到AFBE=ADAE=DFAB，求出AF，即可求出AE，从而可得EF.
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．

15.【答案】24π 
【解析】
【分析】
本题考查的是扇形面积的相关计算，根据整体思想求出表示阴影部分面积的方法，再用公式计算扇形的面积即可．
根据整体思想，可知S阴影=S半圆AB′+S扇形ABB′−S半圆AB=S扇形ABB′，再利用扇形面积公式计算即可．
【解答】
解：∵S阴影=S半圆AB′+S扇形ABB′−S半圆AB
而根据旋转的性质可知S半圆AB′=S半圆AB
∴S阴影=S半圆AB′+S扇形ABB′−S半圆AB=S扇形ABB′
而由题意可知AB=12，∠BAB′=60∘
即：S阴影=60⋅π⋅122360=24π
故答案为24π.  
16.【答案】6 
【解析】解：作AB的中点O，连接OE，如图：

由题意知：BD=BC=4，
∵点E为AD的中点，点O为AB中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE=12BD=2，
∴点E的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，
∴当点E在CO延长线上时，CE最大，
∵∠ACB=90∘，∠BAC=30∘，BC=4，
∴AB=8，
∵点O为AB中点，
∴OC=12AB=4，
∴CE最大为OC+OE=4+2=6，
故答案为：6.
作AB的中点O，连接OE，根据E为AD的中点，O为AB中点，可得OE=12BD=1，从而知点E的轨迹是以点O为圆心，1为半径的圆，可求得CE最大值．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，确定点E的运动轨迹是解题的关键．

17.【答案】解：−12023+ 27+(π−3.14)0−| 3−2|
=−1+3 3+1−(2− 3)
=−1+3 3+1−2+ 3
=4 3−2. 
【解析】首先计算乘方、零指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．

18.【答案】解：(1−3x+1)÷x2−4x+4x2−1
=x+1−3x+1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x−2x+1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x−1x−2，
当x=3时，原式=3−13−2=2. 
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

19.【答案】(1)证明：x2−(m−3)x−m=0，
∵Δ=(m−3)2−4×(−m)
=m2−6m+9+4m
=m2−2m+1+8
=(m−1)2+8≥8>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)由根与系数的关系可得：x1+x2=m−3，x1x2=−m，
∵x12+x22−x1x2=19，
∴(x1+x2)2−3x1x2=19，即(m−3)2+3m=19，
整理得：m2−3m−10=0，即(m−5)(m+2)=0，
所以m−5=0或m+2=0，
解得：m=5或m=−2.
故m的值是5或−2. 
【解析】(1)表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
(2)利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出m的值．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

20.【答案】解：(1)本次随机调查的学生人数为30÷15%=200(名).
(2)由题意得，选择“书画”类的学生人数为200×25%=50(人)，
∴选择“戏曲”类的学生人数为200−50−80−30=40(人)，
∴估计全校学生选择“戏曲”类的人数约为2000×40200=400(人).
(3)列表如下：

A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
BA

BC
BD
C
CA
CB

CD
D
DA
DB
DC

由表可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到“器乐”和“戏曲”类，即B和C的结果有2种，
∴恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率为212=16. 
【解析】(1)用选择“棋类”的学生人数除以其所占的百分比可得本次随机调查的学生人数．
(2)先求出选择“书画”类的学生人数，进而可得选择“戏曲”类的学生人数，根据用样本估计总体，用2000乘以本次随机调查中选择“戏曲”类的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
(3)列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=12OB，DF=12OD，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD ∠ABE=∠CDF BE=DF ，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
(2)解：当AC=2AB时，四边形EGCF是矩形；
理由如下：
∵AC=2OA，AC=2AB，
∴AB=OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG=90∘，
同理：CF⊥OD，
∴AG//CF，
∴EG//CF，
由(1)得：△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵EG=AE，
∴EG=CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG=90∘，
∴四边形EGCF是矩形． 
【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
(1)由平行四边形的性质得出AB=CD，AB//CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
(2)证出AB=OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90∘，同理：CF⊥OD，得出EG//CF，EG=CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．

22.【答案】(1)证明：连结OA，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC//OA，
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE，
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线；
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为点F，
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90∘，
∴四边形AOFE是矩形，
∴OF=AE=4cm，
又∵OF⊥CD，
∴DF=12CD=3cm，
在Rt△ODF中，OD= OF2+DF2=5cm，
即⊙O的半径为5cm. 
【解析】(1)连接OA，因为点A在⊙O上，所以只要证明OA⊥AE即可；由同圆的半径相等得：OA=OD，则∠ODA=∠OAD，根据角平分线可知：∠OAD=∠EDA，所以EC//OA，由此得OA⊥AE，则AE是⊙O的切线；
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为点F，证明四边形AOFE是矩形，得OF=AE=4cm，由垂径定理得：DF=3，根据勾股定理求半径OD的长．
本题考查了切线的判定和性质，在判定一条直线为圆的切线时，分两种情况判定：①当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径即可，②当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，此题属于第二种情况：连接OA，是半径，证明垂直即可．

23.【答案】解：(1)y与x的函数关系式为y=−10x+700(40≤x≤60)5x−200(60 (2)设获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w=(x−30)(−10x+700)=−10(x−50)2+4000，
∵−10<0，
∴当x=50时，w有最大值，最大值为4000元；
②当60 ∵5>0，
∴当60 ∴当x=70时，w有最大，最大值为5(70−50)2+2500=4500(元)，
∴4500>4000，
综上所述，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元． 
【解析】解：(1)设线段AB的表达式为y=kx+b(40≤x≤60)，
将点(40,300)、(60,100)代入上式，
得300=40k+b100=60k+b，
解得k=−10b=700，
∴线段AB的表达式为y=−10x+700(40≤x≤60)，
设线段BC的表达式为y=mx+n(60 将点(60,100)、(70,150)代入上式，
得60k+b=10070k+b=150，
解得k=5b=−200，
∴线段BC的表达式为y=5x−200(60 ∴y与x的函数关系式为y=−10x+700(40≤x≤60)5x−200(60 (2)见答案；

本题考查了二次函数在实际生活中的应用.
(1)先设出一次函数关系式，分40≤x≤60和60 (2)设获得的利润为w元，分①当40≤x≤60时和②当60
24.【答案】(1)解：OM= 2ON.
如图1，连接MN，

由正方形的性质得，O是BD的中点，AB=AD，∠BAD=90∘，
∵ME=MF，
∴M为EF的中点，且EF⊥AC，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=AF，BE=DF，
∵N为BF中点，
∴MN和ON分别为△BEF和△BDF的中位线，
∴MN//AB，ON//AD，MN=12BE，ON=12DF，
∴∠MNO=90∘，MN=ON，
∴OM= MN2+ON2= 2ON，
∴OM= 2ON；
(2)解：成立．
证明如下：如图2，连接MN，连接BE、DF交于点H，

由(1)知AE=AF，∠EAF=90∘，
由正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90∘，∠ABD=∠ADB=45∘，
∵∠DAF=∠DAE+∠EAF，∠BAE=∠BAD+∠DAE，
∴∠DAF=∠BAE，
∵AF=AE，∠DAF=∠BAE，AD=AB，
∴△DAF≌△BAE(SAS)，
∴DF=BE，∠ADF=∠ABE，
∴∠BHD=180∘−(∠ABD−∠ABE)−(∠ADB+∠ADF)=90∘，
∴BE⊥DF，
∵M为EF的中点，N为BF中点，
∴MN和ON分别为△BEF和△BDF的中位线，
∴MN//BE，ON//DF，MN=12BE，ON=12DF，
∴∠MNO=90∘，MN=ON，
∴OM= MN2+ON2= 2ON，
∴OM= 2ON；
(3)解：由题意知，AE=12AB=4，AM=AE⋅sin45∘=2 2，
∴M在以A为圆心，2 2为半径的圆上运动，如图3，

由题意知，当C、A、M三点共线时，CM取最大与最小值，且最大与最小的差为⊙A的直径4 2，
∴点M与点C的最大距离和最小距离的差为4 2. 
【解析】(1)连接MN，由四边形ABCD是正方形可证明∠ABD=∠ADB=45∘，∠BAC=∠BCA=45∘，根据三角形的中位线定理可证明ON//DF，MN//BE，进而证得∠NOM=∠NMO，∠ONM=90∘，则ON=MN，所以OM= 2ON；
(2)先证明△DAF≌△BAE，得DF=BE，∠ADF=∠ABE，再证明∠FGB=90∘，根据三角形的中位线定理证明ON//DF，ON=12DF，MN//BE，MN=12BE，则ON=MN，再证明∠ONM=90∘，所以OM= 2ON；
(3)判断出点M的运动轨迹，求出⊙A的半径，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理、“两点之间，线段最短”等知识，此题难度较大，属于考试压轴题．

25.【答案】解：(1)由抛物线的表达式知，点C(0,3)，即OC=3，
∵OC：OB=3：4，则OB=4，即点B(4,0)，
∵tan∠CAB=3，OC=3，则OA=1，即点A(−1,0)，
设抛物线的表达式为：y=a(x−x1)(x−x2)，
则y=a(x+1)(x−4)=a(x2−3x−4)，
即−4a=3，则a=−34，
则抛物线的表达式为：y=−34x2+94x+3；

(2)设直线BC的表达式为：y=kx+3，
将点B的坐标代入上式得：0=4k+3，
解得：k=−34，
则直线BC的表达式为：y=−34x+3，

由抛物线的表达式知，其对称轴为x=32，
当x=32时，y=−34x+3=158，
即EF=158；

(3)由(2)知，点F(32,158)，
则CF= (32)2+(3−158)2=158=EF，
则∠CEF=∠ECF=∠OCE=α，
则tan∠CEF=OECO=323=12=tanα，
而tan∠OBC=34=tanβ，
由C、E的坐标得，CE=3 52，
∵△CEP和△CEB相似，∠CEF=∠ECF，
故存在∠P=∠ABC=β或∠PCE=∠ABC=β两种情况，
当∠P=∠ABC=β时，

过点C作CH⊥PE于点H，
在Rt△CHP中，设CH=3m=OE=32，
则PH=4m=2，
即点P(32,5)；
当∠PCE=∠ABC=β时，
过点P作PH⊥CE于点H，

在Rt△PHE中，tanα=12，
设PH=3m，则EH=6m，
则Rt△PHC中，tanβ=34，则CH=4m，
则CE=CH+EH=10m=3 52，
则PE= PH2+HE2=3 5m=94，
则点P(32,94)，
综上，点E的坐标为P(32,5)或(32,94). 
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)求出直线BC的表达式为：y=−34x+3，即可求解；
(3)由△CEP和△CEB相似和∠CEF=∠ECF知：存在∠P=∠ABC=β或∠PCE=∠ABC=β两种情况，再用解直角三角形的方法即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，线段旋转的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质是解题的关键．