2023年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一调试卷(含答案解析)

2023年山东省枣庄市台儿庄区中考数学一调试卷

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  襄阳市正在创建全国文明城市，某社区从今年6月1日起实施垃扱分类回收．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

4.  已知直线，将含角的直角三角板按如图所示摆放．若，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若，则称x是以10为底N的对数．记作：
例如：，则；，则
对数运算满足：当，时，
例如：，则的值为(    )

A. 5 B. 2 C. 1 D. 0

6.  已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7.  如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：：2，连接AC，过点O作交AC的延长线于若，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 3

8.  为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当的面积为时，k的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作于点H，连接OH，，若菱形ABCD的面积为，则CD的长为(    )

A. 4
B.
C. 8
D.

11.  如图，内接于，，，BD是的直径，若，则(    )

A.
B.
C. 3
D. 4

12.  如图，已知二次函数的图象与x轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④其中正确的有个.(    )

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

13.  若实数m，n满足，则______.

14.  如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______

15.  三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是______.

16.  按一定规律排列的一组数据：，，，，，，….则按此规律排列的第10个数是______ .

17.  如图，在中，AB是的弦，的半径为为上一点，，则AB的长为______

18.  已知函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为______.

19.  先化简，再求值：，其中，

20.  为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机抽取了______名同学；扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为______；
若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数；
现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率．

21.  湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构其中：伞柄AH始终平分，，当时，伞完全打开，此时请问最少需要准备多长的伞柄？结果保留整数，参考数据：
 

22.  如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于第二、四象限A、B两点，过点A作轴于D，，，且点B的坐标为
求一次函数与反比例函数的解析式；
是y轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标．

23.  如图，在中，，，，AD平分，AD交BC于点D，交AB于点E，的外接圆交AC于点F，连接
求证：BC是的切线；
求的半径r及的正切值．

24.  综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到点A的对应点为点延长AE交于点F，连接
猜想证明：
试判断四边形的形状，并说明理由；
如图②，若，请猜想线段CF与的数量关系并加以证明；
解决问题：
如图①，若，，请直接写出DE的长．
 

25.  已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
求抛物线的解析式；
当点P运动到什么位置时，的面积有最大值？
过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，故A选项错误，不符合题意；
B.，故B选项正确，符合题意；
C.，故C选项错误，不符合题意；
D.，故D选项错误，不符合题意．
故选：
根据分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，进行计算即可进行判断．
本题考查了分式的乘除法，算术平方根，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是掌握以上知识熟练进行计算．
 

2.【答案】C 

【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

3.【答案】C 

【解析】解：，，
且，
故选：
根据二次根式的被开方数是非负数，即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
 

4.【答案】D 

【解析】解：过含角的直角三角板的直角顶点B作，交AC于点F，

，

，

，
，

，，
，
，
，

故选：
过点B作，交AC于点F，利用三角形的外角的性质，平行线的性质定理和对顶角相等的性质解答即可．
本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质定理，三角形的外角的性质，对顶角相等，过点B作，交AC于点F是解题的关键．
 

5.【答案】C 

【解析】解：原式





故选：
首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．
本题主要考查了定义运算，实际上是对数的运算，读懂题目意思是关键．
 

6.【答案】C 

【解析】解：方程两边同时乘以得，，
解得
为正数，
，解得，
，
，即，
的取值范围是且
故选：
先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
本题考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解题的关键．
 

7.【答案】C 

【解析】解：如图，过点P作轴于点Q，
，
，，
∽，
：：：2，
，
，
：：：2，
，
，
，

故选：
根据，证明出∽，得到CP：：：2，过点P作轴于点Q，根据，得到，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：：：2，根据，得到，得到，根据正切的定义即可得到的值．
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，根据平行线分线段成比例定理得到OQ：：：2是解题的关键．
 

8.【答案】A 

【解析】

【分析】
本题考查的用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有6种，
甲被抽中的概率为，
故选：  

9.【答案】B 

【解析】解：点E为OC的中点，
的面积的面积，
点A，C为函数图象上的两点，
，
，
，
∽，
，
，
则，

故选：
根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

10.【答案】C 

【解析】解：，
，
四边形ABCD是菱形，
，，，
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，
，，
由得，
，
，
，
，
故答案为：
在中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．
 

11.【答案】C 

【解析】解：过点O作于点E，如图所示：

，，
，
又对应圆周角为和，
，
而BD为直径，
，
在中，，，
，
，
，
又，，
，
又，
为直角三角形，
，
，
由垂径定理可得：，故C正确，
故选：
根据，即可推出和的度数，然后由同弧所对圆周角相等以及直径所对圆周角为直角即可推出为直角三角形且，即可算出直径BD的长，再过点O过点O作于点E，利用直角三角形中锐角三角函数计算出BE的长，再根据垂径定理即可计算出BC的长．
本题考查与圆有关的计算，本题正确作出辅助线，熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，圆周角定理等知识并能灵活运用是解题的关键．
 

12.【答案】B 

【解析】解：①抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，
，，，
，
故结论①错误；
②二次函数的图象与x轴交于，顶点是，
抛物线与x轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，
当时，，
故结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线，
，
，
把，代入得：
，
，
解得或，
当，则或，
故结论③正确；
④把，代入得：
，，，
，
，
，
抛物线与x轴的另一个交点为，
，
，
，
故选：
①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得abc的符号，结论①错误；
②由抛物线与x轴交于，顶点是，可判断出抛物线与x轴的另一个交点为，当时，，结论②正确；
③由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论③正确；
④把，代入并计算可得，由对称轴可得，，由可得，再计算的值，可判断④错误．
本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，观察函数图像结合二次函数图形与系数关系，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

13.【答案】7 

【解析】解：，
，，
，，

故答案为：
根据非负数的性质求出m和n的值，再代入计算可得．
本题考查的是非负数的性质、解二元一次方程组等，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：将沿DE翻折得到，点F落在AE上，
，，，，
，
，，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：
根据将沿DE翻折得到，点F落在AE上，可得，，，，而，即得，，由四边形ABCD是矩形，可得，，从而，在中，用勾股定理得，从而
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是，
所以A点的坐标是，
故答案为：
根据正六边形的性质可得点A和点B关于原点对称，进而可以解决问题．
本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标特征．
 

16.【答案】 

【解析】解：原数据可转化为：，…
第n个数为：，
第10个数为：
故答案为：
把第3个数转化为：，不难看出分子是从1开始的奇数，分母是，且奇数项是正，偶数项是负，据此即可求解．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接AO并延长交于点D，

是的直径，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：
连接AO并延长交于点D，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】1或 

【解析】解：函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，，，
②与x、y轴各一个交点，
，，
，
解得或，
综上所述：m的值为1或
函数的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，，，②与x、y轴各一个交点，得出，
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
 

19.【答案】解：


，
当，时，原式 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

20.【答案】解：；；
人，
答：估计该校最喜欢冬季的同学的人数为150人；
画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中恰好选到A，B去参加比赛的结果数为2，
所以恰好选到A，B去参加比赛的概率 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
由“夏季”的人数除以占的百分比得出调查学生的总数即可；求出“春季”的人数占的百分比，乘以360即可得到结果；
根据题意列式计算即可；
画树状图展示所有等可能的结果数，找出恰好选到A，B去参加比赛的的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】
解：此次调查一共随机抽取的学生数为：名；
扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：120；；
见答案；
见答案．  

21.【答案】解：作于点E，

，AH平分，
，
，
，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
最少需要准备72cm长的伞柄． 

【解析】作于点E，根据三角函数求出AE和EB，再利用等腰直角三角形的性质得出DE，再根据比例关系求出AH的长度即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
 

22.【答案】解：一次函数与反比例函数图象交于A与B，且轴，
，
在中，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
代入反比例解析式得：，即，
把B坐标代入得：，即，
代入一次函数解析式得：，
解得：，即；
当，即，；
当时，得到，即；
当时，由，，得到直线AO解析式为，中点坐标为，
垂直平分线方程为，
令，得到，即，
综上，当点或或或时，是等腰三角形． 

【解析】由垂直的定义及锐角三角函数定义求出AO的长，利用勾股定理求出OD的长，确定出A坐标，进而求出m的值确定出反比例解析式，把B的坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
是的直径，
的中点是圆心O，
连接OD，则，
，
平分，
，
，
，
是的切线；
解：在中，由勾股定理得，，
，
∽，
，即，
，
在中，，
，
在中，，
，
 

【解析】由垂直的定义得到，连接OD，则，得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，于是得到BC是的切线；
由勾股定理得到，推出∽，根据相似三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，三角函数的定义，正确的识别图形是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
将绕点B按顺时针方向旋转，
，，，
又，
四边形是矩形，
又，
矩形是正方形；
；
理由如下：如图②，过点D作于H，

，，
，
，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
又，，
≌，
，
将绕点B按顺时针方向旋转，
，
四边形是正方形，
，
，
；
 

【解析】

【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
由旋转的性质可得，，，进而可证四边形是正方形；
过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“AAS”可得≌，可得，由旋转的性质可得，可得结论；
如图①，过点D作于H，

四边形是正方形，
，
，，，
，
，
，
由可知：≌
，，
，
  

25.【答案】解：抛物线过点、，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
所以抛物线解析式为；
方法一：如图1，过点P作于点M，交AB于点N，作于点G，

设直线AB解析式为，
将点、代入，得：
，
解得：，
则直线AB解析式为，
设其中，
则，
，






，
当时，即：时，的面积有最大值；
方法二：如图2，连接OP，作轴于点H，作轴于点G，

设，其中，
则，，



，
当时，即：时，的面积有最大值.
如图3，

恒为
若为等腰直角三角形，
则，
设点P的横坐标为，点E的横坐标为，
，
、E关于抛物线的对称轴对称，
，
则，
，
，
解得：或，
所以或 

【解析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识点．
待定系数法求解可得；
方法一：如图1，作于点M，交AB于点N，作，先求出直线AB解析式为，设，则，由列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
方法二：如图2，连接OP，作轴于点H，作轴于点G，设，根据，进而得出利用二次函数的性质求解可得.
若为等腰直角三角形，则，设点P的横坐标为，表示出PD、PE的长，列出关于的方程，解之可得答案．