湘教版数学九上 第四章 《锐角三角函数》小结与复习 课件

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小 结 与 复 习第4章 锐角三角函数(3)∠A的正切：tanA＝ 　　　　　　＝　　　.要点梳理一、要点疏理锐角正弦、余弦、正切的概念知识点❶(2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　＝　　　；ABACACBC1特殊角正弦、余弦、正切值知识点❷00不存在不存在0锐角三角函数知识点❸对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数.锐角三角函数知识点❸ 对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦\正切叫做∠A的锐角三角函数. ★00,且随a的增大而增大同角与互余两角的三角函数关系知识点❹同角三角函数关系互余两角三角函数关系①角与角之间 两锐角互余：∠A+∠B=90°②边与边之间 两直角边的平方和等于斜边的平方③角与边之间 满足三角函数关系 ★直角三角形斜边的中线等于斜边一半知识点❺解直角三角形的几个重要关系知识点❻三角函数的应用几个重要概念在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.铅直线水平线视线视线仰角俯角①仰角、俯角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i = tan α. 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.显然，坡度越大， 坡角α就越大， 坡面就越陡.如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i = .②坡度、坡角③方位角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角,叫做方位角. 如图所示：30°65°BOA东西北南OA北偏东30°OB南偏西65°45°45°西南O东北西北东南45°45°三、专题讲练知识点❶求三角函数的值例1 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则tanB的值为（ ） A.　　 B.　 　 C.　 　D.B1. 在△ABC中， ∠A、 ∠B都是锐角，且sinA=cosB， 那么△ABC一定是______三角形．2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B， C都在格点上，则∠ABC的正切值是____.直角例2 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点， 沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE．108分析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得 tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值．解：由折叠的性质可得，CF=CD，∠EFC=∠EDC=90°.∵∠AFE+∠EFC+∠BFC=180°，∴∠AFE+∠BFC=90°.∵∠BCF+∠BFC=90°，∴∠AFE=∠BCF.在Rt△BFC中，BC=8，CF=CD=10，由勾股定理易得BF=6.108解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD = ∴BD = AD·tan∠BAD=12× =9，∴CD=BC－BD=14－9=5，∴∴sinC =知识点❷特殊角的三角函数的值(1) tan30°＋cos45°＋tan60°(2) tan30°· tan60°＋ cos230°.4. 计算解：原式解：原式知识点❸ 解直角三角形例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC = ，求：(1) DC的长；(2) sinB的值．又 BC－CD＝BD，解得x =6，∴CD=6.例4 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC = ，求：(1) DC的长；(2) sinB的值．解：BC=BD+CD=4+6=10=AD，在Rt△ACD中，在Rt△ABC中，方法总结：此类型主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解. 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°. 求△ABC的周长 (结果保留根号).解：在Rt△ADC中，∴BD＝2AD＝4.∴BC＝BD＋DC＝5.在Rt△ABC中，知识点❹三角函数的应用例5、 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．(结果保留根号) F解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF =∠α=60°，则AF=AB·sin60°= (m)，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则 (m).故改造后的坡长 AE 为 m.4. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45°，高10米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加 固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底 加宽2米，加固后背水坡EF的坡比i =1:　 ．求加固 后坝底增加的宽度AF. (结果保留根号)GH解：作DG⊥AB于G，EH⊥AB于H，则GH=DE=2米，EH=DG=10米.又∵AG=DG=10米，例6 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，os48°≈0.67，tan48°≈1.11， ≈1.73）HG解：如图，过点 D 作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，则四边形DHCG为矩形．故DG=CH，CG=DH，DG∥HC，∴∠DAH=∠FAE=30°，在直角三角形AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH= ，∴CG=3，设BC为x，在直角三角形ABC中， 在Rt△BDG中，∵ BG=DG · tan30°，解得：x ≈13，∴大树的高度为：13米.GH例7 、如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）解：设B处距离码头O x km，在Rt△CAO中，∠CAO=45°，∵tan∠CAO=CO/AO ，∴CO=AO · tan∠CAO=（45×0.1+x）· tan45°=4.5+x，在Rt△DBO中，∠DBO=58°，∵tan∠DBO=DO/BO ，∴DO=BO · tan∠DBO=x · tan58°，∵DC=DO－CO，∴36×0.1=x · tan58°－（4.5+x），因此，B处距离码头O大约13.5km.5. 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l 如图．救 生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的 B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同 时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶 到海岸线上的D处，再向B处游去．若 CD＝40米，B在C的北偏东35°方向， 甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先 到达B处？请说明理由 (参考数据： sin55°≈0.82，os55°≈0.57，tan55°≈1.43).分析： 在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.∴BD＝CD · tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．BC＝CD · cos∠BCD＝40×cos55°≈70.2(米)．∴t甲≈57.22÷2＋10＝38.6(秒)，t乙≈70.22÷2＝35.1(秒)．∴t甲>t乙．答：乙先到达B处．锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题正弦锐角三角函数余弦正切三边关系三角关系边角关系仰俯角问题方位角问题坡度问题如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选 择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、 C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线 上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m． (1) 求点B到AD的距离； C(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．(2) 求塔高CD（结果用根号表示）．解：在Rt△ABE中，∵∠A=30°，∴∠ABE=60°，∵∠DBC=75°，∴∠EBD=180°－60°－75°=45°，∴DE=EB=20m，则AD=AE+EB= (m)，在Rt△ADC中，∠A=30°，答：塔高CD为 m.