新高考数学二轮复习专题4统计与概率解答题专项提分计划（教师版）

这是一份新高考数学二轮复习专题4统计与概率解答题专项提分计划（教师版），共46页。
新高考复习
专题4 统计与概率解答题专项提分计划
1．（2022·广东·统考模拟预测）为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试，从该次考试成绩中随机抽取样本，以，，，，分组绘制的频率分布直方图如图所示．

(1)根据频率分布直方图中的数据，估计该次考试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)取（1）中的值，假设本次考试成绩X服从正态分布，且，从所有参加考试的乡镇干部中随机抽取3人，记考试成绩在范围内的人数为Y，求Y的分布列及数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图的平均数的计算公式计算可得；
（2）由（1）可知，根据正态曲线对称性可得，则，根据二项分布的概率公式求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望；
【详解】（1）解：依题意可得
（2）解：由（1）可知，且，
所以
所以，则的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以的分布列为











所以
2．（2022·广东·校联考模拟预测）常言说“病从口入”，其实手才是罪魁祸首，它担任了病菌与口之间的运输工具．洗手是预防传染病最简便有效的措施之一，保持手的清洁卫生可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．正确的洗手应遵循“七步洗手法”，精简为一句话就是“内外夹弓大立腕”，每一个字代表一个步骤．某学校在开学复课前为了解学生对“七步洗手法”的掌握程度，随机抽取100名学生进行网上测试，满分10分，具体得分情况的频数分布表如下：
得分
4
5
6
7
8
9
10
女生
2
9
14
13
11
5
4
男生
3
5
7
11
10
4
2

(1)现以7分为界限，将学生对“七步洗手法”的掌握程度分为两类，得分低于7分的学生为“未能掌握”，得分不低于7分的学生为“基本掌握”．完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关？

未能掌握
基本掌握
合计
女生



男生



合计




(2)从参与网上测试且得分不低于9分的学生中，按照性别以分层抽样的方法抽取10名同学，在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，求X的分布列与期望．
附：，．
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828


【答案】(1)表格见解析，没有；
(2)分布列见解析，数学期望.

【分析】（1）根据已知数据，结合题意，完成列联表，再求，即可判断；
（2）根据分层抽样的特点求得抽取10人中男生和女生的分布情况，再求得的取值，结合超几何分布的概率求解求得分布列，再求数学期望即可.
【详解】（1）由得分情况的频数分布表得列联表如下：

未能掌握
基本掌握
合计
女生
25
33
58
男生
15
27
42
合计
40
60
100

故，
因为，
所以没有95%的把握认为学生对“七步洗手法”的掌握程度与性别有关．
（2）由得分情况的频数分布表可知，参与网上测试且得分不低于9分的学生中，
女生9人，男生6人，从而分层抽样抽取的10人中，女生6人，男生4人．
在10人中随机抽取3人，记抽到女生的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
所以，，
，，
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P





所以．
3．（2022·广东韶关·统考一模）在某校开展的知识竞赛活动中，共有三道题，答对分别得2分､2分､4分，答错不得分.已知甲同学答对问题的概率分别为，乙同学答对问题的概率均为，甲､乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互独立.
(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；
(2)运用你学过的统计学知识判断，谁的得分能力更强.
【答案】(1)
(2)乙

【分析】（1）先求其对立事件的概率即可.
（2）分别求甲乙两同学得分的概率分布及均值，比较甲乙两同学得分的均值的大小即可.
（1）
设甲同学三道题都答对的事件为,则，
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为.
（2）
设甲同学本次竞赛中得分为，则的可能取值为分，
则,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：

0
2
4
6
8







所以
设乙同学本次竞赛中得分为，由的可能取值为分
,
,
,
,
,
所以的概率分布列为：

0
2
4
6
8







所以,
所以，所以乙的得分能力更强.
4．（2022·广东揭阳·揭西县河婆中学校考模拟预测）某岗位聘用考核共设置2个环节，竞聘者需要参加全部2个环节的考核，通过聘用考核需要2个环节同时合格，规定：第1环节考核5个项目至少连续通过个为合格，否则为不合格；第2环节考核3个项目至少通过个为合格，否则为不合格.统计已有的测试数据得出第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立.
（1）求通过改岗位聘用考核的概率；
（2） 若第1环节考核合格赋分60分，考核不合格赋分0分；第2环节考核合格赋分40分，考核不合格分0分，记2个环节考核后所得赋分为，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【分析】（1）记（，）分别为两个环节第个项目通过，先求得第1个环节通过的概率，再求得第2环节通过的概率，即可得答案.
（2）x可取0,40,60,100，分别求得各个概率，列出分布列，计算即可得答案.
【详解】（1）记（，）分别为两个环节第个项目通过，之间相互独立，
P（第1环节通过）
P（第2环节通过）
则P（通过应聘考核）.
（2） 依题意，.
；；
；.
故的分布列为











所以
5．（2022·广东广州·统考三模）为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位： ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；
（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：

①计算这一天平均值与标准差；
②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位： ）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？
参考数据： ， ，， ， ，， ， .
【答案】（1）0.0260；（2）① ；②生产线异常，需要进一步调试，理由见解析.
【解析】（1）根据原则,可求得当和时的概率,结合对立事件的概率关系即可求得;由正态分布的期望公式即可求得X的数学期望.
（2）根据茎叶图,列出数据即可求得平均值,由方差公式先求得,再求得标准差;由正态分布的原则,计算出.观测5个零件与该范围关系,即可判断是否需要进一步调试.
【详解】（1）由题意知：或 ，，
∵，∴；
（2）①
，所以
②结论：需要进一步调试．
理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，
，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．
【点睛】关键点睛：（1）解题关键利用原则和正态分布的期望公式求解；（2）根据茎叶图,列出数据求得标准差，再由正态分布的原则，进而求解；难度属于中档题
6．（2022·广东广州·统考三模）为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图

(1)根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；
(2)通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布
（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；
（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.
参考数据：
①；
②若，则
【答案】(1)7.03
(2)（i）841；（ii）不正常，理由见解析.

【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可；
（2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可.
【详解】（1）由可得中位数在区间内，
设中位数为，则，解得；
（2）（i）由可得，
则，只；
（ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，
设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则，
所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.
7．（2022·广东潮州·校考三模）2020年，我国已经实现全面脱贫的历史性战略任务.但巩固脱贫成果还有很多工作要继续，利用互联网电商进行产品的销售就是一种有效的方式.某村盛产脐橙，为了更好销售，现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，其质量分布在区间（单位：克），统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示.

(1)按分层抽样的方法从质量落在，的脐橙中随机抽取5个，再从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；
(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的脐橙种植地上大约还有100000个脐橙待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有脐橙均以7元/千克收购；B.低于350克的脐橙以2元/个收购，其余的以3元/个收购.请你通过计算为该村选择收益较好的方案.
（参考数据：）
【答案】(1)；
(2)选择方案B，理由见解析.

【分析】（1）求出质量落在，的脐橙频率比，确定分层抽样落在有2个，质量落在有3个，利用超几何分布的概率公式求出2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率；（2）计算出这100个脐橙的平均质量，从而计算出A方案的收益，再根据频率求出低于350克的脐橙个数和不低于350克的脐橙个数，求出方案B的收益，比较得到结论.
（1）
质量落在，的脐橙的频率分别为，，其中，
所以用分层抽样的方法抽取的5个脐橙中，质量落在有2个，质量落在有3个，
则从这5个脐橙中随机抽2个，求这2个脐橙质量至少有一个小于300克的概率为
（2）
设这100个脐橙的平均质量为，
则A方案：设收益为，则（元）；
B方案：设收益为，以频率代表概率，
则低于350克的脐橙个数为，
不低于350克的脐橙个数为，
所以
因为，所以该村选择收益较好的方案B.
8．（2022·广东韶关·校考模拟预测）教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.
消费金额（千元）






人数
30
50
60
20
30
10

(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数x以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）.
①试估计该机构学员2021年消费金额为的概率（保留一位小数）；
②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的方差.
参考数据：；若随机变量，则，，.
【答案】(1)X的分布列为：
X
1
2
3
P




；
(2)①．
②．

【分析】（1）由已知频数统计表，得出频率，从而可得抽取的5人在两个区间的人数，得出的可能值为，计算出概率得分布列，然后由期望公式计算期望；
（2）①由频数分布表得各概率，计算出平均值和标准差，再由正态分布的概率性质求得概率发；②由二项分布的方差公式计算方差．
【详解】（1）由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为X，则，
所以，，，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P




；
（2）①由题意得，
所以，
所以．
②由题意及①得，，，所以．
9．（2022·广东广州·统考一模）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试.经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们的“向量数量积”知识点掌握的情况进行调查，样本调查结果如下表：

甲校
乙校
使用AI作业
不使用AI作业
使用AI作业
不使用AI作业
基本掌握
32
28
50
30
没有掌握
8
14
12
26

假设每位学生是否掌握“向量数量积”知识点相互独立.
(1)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，用表示抽取的2名学生中使用“AI作业”的人数，求的分布列和数学期望；
(2)用样本频率估计概率，从甲校高一学生中抽取一名使用“AI作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“X=1”表示该名使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X=0”表示该名使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用“Y=1”表示该名不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y=0”表示该名不使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”.比较方差DX和DY的大小关系.
【答案】(1)分布列见解析，；
(2).

【分析】（1）根据超几何分布列分布列，求解期望；
（2）由二项分布的方差公式求解.
（1）
依题意，没有掌握“向量数量积”知识点的学生有60人，其中，使用“AI作业”的人数为20人，不使用“AI作业”的人数为40，
所以，1，2，且，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
P




故
（2）
由题意，易知服从二项分布，，
服从二项分布，，故.
10．（2022·广东韶关·统考一模）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：

(1)从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；
(2)“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望；
(3)现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望：
(3)至少要进行11轮测试

【分析】(1)根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；
(2)的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得的分布列和数学期望；
(3)根据题意，结合二项分布的概率公式求解
【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，
其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件，
则，，
所以，.
（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，的所有可能取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下表：

0
1
2
3






所以
（3）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件，则，
由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布，
由题意列式，得，因为，所以的最小值为11，故至少要进行11轮测试
11．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）2022年2月4日北京冬季奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，与此同时，也带火了相关产业.某体育销售公司对销售人员的奖励制度如下：（假设为月销售量，单位是件）①当时，当月给奖金1000元；②当时，当月给奖金3000元；③当时，当月给奖金10000元.已知该产品的月销售量.
(1)该公司销售人员的月奖金大约为多少元？（精确到整数位）
(2)现从该公司一批产品中，随机抽出9件产品进行检验.已知该产品是合格品的概率为，记这9件产品中恰有3件不合格品的概率为，试问当等于多少时，取得最大值？
（参考数据：若，则
【答案】(1)该公司销售人员的月奖金大约为2001元
(2)当时，取得最大值

【分析】（1）结合原则以及数学期望的求法求得正确答案.
（2）先求得的表达式，并利用导数求得当时，取得最大值.
【详解】（1）月销售量，即，
于是发生的概率是，
发生的概率是，
发生的概率是，
所以销售人员的月奖金为
（元）.
（2）依题意，，
则.
令，得；令，得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值.
12．（2022·广东广州·统考一模）世界卫生组织建议成人每周进行至5小时的中等强度运动.已知社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，社区有的居民每周运动总时间超过5小时，且三个社区的居民人数之比为.
(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；
(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且.现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设三个社区的居民人数为，分别求出三个社区每周运动总时间超过5小时的人数为，再由概率公式即可求出答案.
（2）由正态分布的性质求出，再由独立事件的乘法公式即可得出答案.
【详解】（1）因为三个社区的居民人数之比为，
设三个社区的居民人数为，
所以社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
社区每周运动总时间超过5小时的人数为：，
该居民每周运动总时间超过5小时的概率.
（2）因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量（单位：小时），且，
所以，由（1）知，，
所以，
因为随机变量服从正态分布，且关于对称，
所以，
所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：
.
13．（2023·广东广州·统考二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．
x
100
150
200
300
450
t
90
65
45
30
20


(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求的概率分布列；
(2)令，由散点图判断与哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（，的结果精确到0.1）
(3)根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率×收费标准x）
参考数据：，，，，，，，，，，．
【答案】(1)

0
1
2
P




(2)
(3)150元/天

【分析】（1）根据图象得出的所有可能情况，利用超几何分布求得不同下的概率，进而列出分布列.
（2）由散点图判断出更适模型的回归方程，分别求出和，求出回归方程.
（3）写出100天销售额L的表达式，再根据导数求得最大值，即可得出收费标准.
【详解】（1）由题意，抽取两家深入调查，可能为0，1，2.
,，，
∴的分布列为：

0
1
2
P




（2）由散点图可知,散点并非均匀分布在一条直线的两侧，而是大致分布在一条曲线的两侧，不符合线性回归模型要求，∴更合适于此模型，


∵
∴
∴回归方程为：
（3）由题意得，,
在中

当时，解得：，
当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴函数在处取最大值，
∴收费标准为150元/天时，100天销售额L最大.
14．（2022·广东·统考三模）学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一､二､三､四名.首局中的第一名积3分，第二､三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分.假设用户在首局获得第一､二､三､四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为.
(1)设用户首局的得分为，求的分布列；
(2)求用户在“四人赛”中的总得分的期望值.
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）按照求离散型随机变量分布列的步骤求解即可
（2）方法一，直接按照求离散型随机变量分布列的步骤求解即可；方法二，总得分是第一局和第二局得分之和，所以总得分的期望是第一局得分期望和第二局得分期望之和
(1)
的所有可能取值为，，，
，，
其分布列为









(2)
方法一：设总得分为，则的取值为，，，，
则，
，
的分布列为
Y
5
4
3
2
P





所以.
方法二：.
设第二局得分为，则的取值为，.
则有，
化简得Y的分布列为







，
四人赛总分期望为
15．（2022·广东深圳·深圳市光明区高级中学校考模拟预测）某商场准备在五一期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装，2种家电，3种日用品这3类商品中，任意选出3种商品进行促销活动.
(1)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
(2)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m元的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是，请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？
【答案】(1)；
(2)100元.

【分析】（1）求出任选3种商品的试验所含基本事件总数，利用古典概率公式结合对立事件求解作答.
（2）根据给定条件，求出顾客3次抽奖所获奖金总额的期望，再列出不等式求解作答.
（1）
从2种服装，2种家电，3种日用品中，任选出3种商品一共有种选法，选出的3种商品中没有日用品的选法有种，
所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.
（2）
顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额X是一个随机变量，其所有可能值为0，m，2m，3m，
当时，表示顾客在3次抽奖中都没有获奖，则有，
同理，，，，
因此，顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额的期望，
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额，即，解得，
所以商场应将中奖奖金数额最高定为100元，才能使促销方案对商场有利.
16．（2022·广东韶关·统考二模）甲、乙两所学校高三年级分别有1000人，1100人，为了了解两所学校全体高三年级学生高中某学科基础知识测试情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了105名学生的该学科成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．
甲校：
分组




频数
1
2
9
8
分组




频数
10
10
x
3

乙校：
分组






频数
2
3
10
15


分组






频数
15
y
3
1



甲校
乙校
总计
优秀



非优秀



总计




(1)计算x，y的值；
(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异？
(3)现从甲校样本学生中任取2人，求优秀学生人数转的分布列和数学期望．

0.10
0.05
0.025
0.010

2.706
3.841
5.024
6.635

附：
【答案】(1)，
(2)列联表见解析，有
(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据分层抽样的定义分别求出甲校和乙校所抽的人数，即可求出；
（2）由频数分布表即可完成列联表，再根据公式求出，对照临界值表即可得出结论；
（3）写出抽取到优秀学生人数的所有可能取值，求出对应概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出期望即可.
(1)
解：由题可知，采用分层抽样共抽取105人，，
所以甲校抽取人，乙校抽取人，
故，解得，
，解得；
(2)
解：由频数分布表可得列联表为

甲校
乙校
总计
优秀
20
10
30
非优秀
30
45
75
总计
50
55
105

所以
故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异；
(3)
解：从甲校样本学生抽取2人，可知抽取到优秀学生人数的取值可以为0，1，2，
，，，
的分布列为：

0
1
2
P




的数学期望．
17．（2022·广东·校联考二模）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．
(1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．
(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．
【答案】(1)
(2)小李应选择路线1；理由见解析

【分析】（1）设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，由对立事件概率公式计算概率；
（2）设路线1累计增加时间的随机变量为，则，由二项分布的期望公式得期望，设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，
设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，依独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得期望，比较可得．
(1)
设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则，
所以至少遇到一个红灯的事件为，
由对立事件概率公式，
得，
所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为．
(2)
设路线1累计增加时间的随机变量为，则，
所以，
设路线2第i个路口遇到红灯为事件（，2），则，，
设路线2累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为0，1，2，则
，
，
，
所以．
因为，
所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1．
18．（2022·广东广州·校联考三模）冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分，冰壶的重心落在圆环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环B中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为，；甲、乙得2分的概率分别为，；甲、乙得1分的概率分别为，．

(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；
(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）求出甲乙二人都得0分的概率，然后由两人同时得0分、1分、2分、3分计算概率并相加即可；
（2）由题意X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，分别计算出概率得分布列，由期望公式计算期望．
【详解】（1）由题意知甲得0分的概率为，
乙得0分的概率为，
所以甲、乙两人所得分数相同的概率为．
（2）X可能取值为0，1，2，3，4，5，6，
则，
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P








所以．
19．（2022·广东佛山·统考二模）男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞.2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆.本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛，比赛规则12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）.正赛分小组赛阶段与决赛阶段；小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛
(1)本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？
(2)某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为、、、，且每支球队晋级后每场比赛相互独立，试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率.
【答案】(1)30；
(2).

【分析】（1）分别求出小组赛、附加赛、四分之一决赛、铜牌赛、金牌赛各自的比赛场次，加起来即可得到答案.
（2）先求出甲、乙、丙、丁队获得冠军的概率，则1减去甲、乙、丙、丁队获得冠军的概率为甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率.
(1)
根据赛制，小组赛共安排比赛场
附加赛共安排比赛场
四分之一决赛共安排比赛场，
半决赛共安排比赛场，铜牌赛、金牌赛各比赛一场共2场，
总共安排比赛场.
(2)
设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件，都没获得冠军为事件，
由于晋级后每场比赛相互独立，故
由于四队实力相当，故
又，且事件互斥

故甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为.
20．（2022·广东湛江·统考二模）某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有、两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从、两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.、两类知识挑战成功分别可获得万元和万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对、两类知识的挑战成功率分别为、，且挑战是否成功与挑战次序无关.
(1)若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；
(2)为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.
【答案】(1)分布列答案见解析
(2)优先选择挑战类知识，理由见解析

【分析】（1）分析可知的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列；
（2）记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，计算出、的值，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：由题意可知，的可能取值有、、，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：









（2）解：记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，
甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，
由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，
则，，
，
所以，（元），
（元），
所以，，
所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战类知识.
21．（2022·广东江门·统考模拟预测）浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，每年的和都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分布直方图.

(1)用频率分布直方图估计样本的平均数近似代替，标准差s近似代替，已知.根据以往经验，把果径与的差的绝对值在内的果实称为“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“”的主打产品，该产品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，若采用款包装盒，成本元，且每盒出现坏果个数满足，（为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?
参考数据：；；；；；.
【答案】(1)0.38
(2)当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.

【分析】（1）利用二项分布求出相应概率；（2）分别求出采用A，B款包装盒获得利润的数学期望，通过比较大小，得到相应结论.
(1)
由题意得：，所以，，则，，所以，设从农场中摘取20颗果，这20颗果恰好有一颗不是“标准果”为事件A，则
(2)
由，解得：，所以，采用A款包装盒获得利润的数学期望，
采用B款包装盒获得利润的数学期望，
令，解得：a=，
由于，令，解得：，
令，解得：，
故当时，采用两种包装利润一样，当时，采用B款包装盒，当时，采用A款包装盒.
22．（2022·广东汕头·统考一模）足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.
(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.
(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为，乙队每名球员射进点球的概率为.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2).

【分析】（1）根据题意，即可计算分布列及期望；
（2）“甲VS乙：3:0”记为事件， “甲VS乙：3:1”记为事件，此两互斥事件的和即为所求事件，分别计算两事件的概率，求和即得解.
（1）
依题意，，的可能取值为：0,1,2,3，
；
.
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P





.
（2）
记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A.
依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS乙：3:0”记为事件，或“甲VS乙：3:1”记为事件，则，且与互斥.
依题意有：，

，
.
23．（2022·广东茂名·统考模拟预测）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测.若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁.某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示.

(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)现从样本产品中利用分层抽样的方法随机抽取10件产品，再从这10件中任意抽取3件，设取到二级品的件数为，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理.
【答案】(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望是；
(3)升级方案合理.

【分析】(1)根据给定条件求出抽一件是一级品的概率，再利用对立事件、独立事件的概率公式计算作答.
(2)求出10件产品中二级品的数目，再求出的可能值及各个取值的概率，列出分布列，计算期望.
(3)由给定数据求出今年的利润，明年预计的利润，再比较大小作答.
（1）
抽取的100件产品是一级品的频率是，则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，
设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，
所以至少有一件产品是一级品的概率是.
（2）
依题意，10件产品中一级品7件，二级品2件，三级品1件，的可能值是，
，，，
所以的分布列为：

0
1
2





.
（3）
今年利润为：(万元)，
明年预计利润为：(万元)，显然有，
所以该次升级方案合理.
24．（2022·广东深圳·统考一模）2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．
(1)求随机变量X的分布列及数学期望；
(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)

【分析】（1）先得出随机变量X可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；
（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率．
（1）
由题意得，随机变量X可取的值为1，2，3，
易知，，所以，
则随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
P
0.3
0.6
0.1

所以
（2）
由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，
记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，
若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则；
若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“”、“”的情形，
则；
若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，
有“”、“”的情形，则；
记“参与者能够领取纪念品”为事件A，则
．
25．（2022·广东茂名·统考二模）某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为．乙答对每道题目的概率为，且两人各道题目是否回答正确相互独立．
(1)求乙同学得100分的概率；
(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.

【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率；
（2）由题意知可能值为，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望.
（1）
由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，
所以乙同学得100分的概率为.
（2）
由题意，甲同学的累计得分可能值为，
；；
；；；
分布列如下：

0
50
100
150
200







所以期望.
26．（2022·广东·统考模拟预测）2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照，，，，，，，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；
(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，，，，的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在，的人数，求的分布列和数学期望；
(3)转化为百分制后，规定成绩在，的为等级，成绩在，的为等级，其它为等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得等级的人数设为，记等级的人数为的概率为，写出的表达式，并求出当为何值时，最大？
【答案】(1)，68
(2)分布列见解析，
(3)，，1，3，，40，40

【分析】（1）利用频率之和为列方程，化简求得的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中位数.
（2）结合超几何分布的知识计算出的分布列和数学期望.
（3）根据二项分布的知识求得，由此列不等式，解不等式来求得的最大值时对应的的值.
（1）
由频率分布直方图的性质可得，，
解得，
设中位数为，
，解得．
（2）
，，，，，的三组频率之比为，
从，，，，，中分别抽取7人，3人，1人，
所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故的分布列为：

0
1
2
3






故．
（3）
等级的概率为，
，，1，3，，100，
令①，②，
由①可得，，解得，由②可得，，解得，
故时，取得最大．
27．（2022·广东广州·华南师大附中校考模拟预测）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.
（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；
（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以表示，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．
（2）的可能取值为0，1，2，，，，，，，，，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为，
用表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则服从二项分布，即，
所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率.
（2）的可能取值为：0，1，2，…，.
，，，……，
，.
所以的分布列为：

0
1
2
……






……



的数学期望为：
，    （1）
.    （2）
（1）-（2）得：

，
.
所以.
【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
28．（2022·广东潮州·统考二模）我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为，收益率为％的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为0.4，收益率为％的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．
(1)已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；
(2)若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：
年份x
2018
2019
2020
2021

1
2
3
4
累计投资金额y（单位：亿元）
2
3
5
6

请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．
附：收益＝投入的资金×获利的期望；线性回归中，，．
【答案】(1)该风投公司投资光刻胶项目；
(2)；2022年年末．

【分析】（1）设投资光刻机项目和光刻胶项目的年收益分别为和，分别列出和的分布列，计算出数学期望，使期望值相等求解出的值，再计算方差即可比较；
（2）根据题目所给公式先计算回归系数和，写出回归直线方程，列出收益的表达式，使收益大于或等于亿元，求解的取值范围．
（1）
若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为

0.3

P
p


所以．
若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为

0.3

0
P
0.4
0.1
0.5

所以．
因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，
所以，所以．
因为，
，
所以，，
这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥．
综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目．
（2）
，，
，，
则，
，故线性回归方程为．
设该公司在芯片领域的投资收益为Y，则，解得，
故在2022年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元．
29．（2023·广东茂名·统考一模）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分.现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析（ii）分布列见解析，均值为0

【分析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，由条件概率公式结合全概率公式求解；
（2）（i）的可能取值为－2，0，2，计算出相应概率，即得分布列；（ii）的可能取值为－4，－2，0，2，4，计算出相应概率，即得分布列和均值；
【详解】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”



由全概率公式得

（2）（i）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为－2，0，2，则



得分为的分布列用表格表示

－2
0
2
P




（ii）设在二轮比赛中得分为，则的可能取值为－4，－2，0，2，4，则




得分为的分布列用表格表示为

－4
－2
0
2
4
P







30．（2022·广东深圳·统考二模）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中．
(1)若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望的取值范围．
【答案】(1)业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛
(2)的取值范围为：（单位：万元）.

【分析】（1）分别求出第一场比赛，业余队安排乙与甲或丙与甲进行比赛业余队获胜的概率，比较两者的大小即可得出答案.
（2）由已知万元或万元，分别求其对应的概率，得到分布列，求出，由，求出的取值范围.
【详解】（1）第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
;
第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为：
，
因为，所以，所以.
所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.
（2）由已知万元或万元.
由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.
此时，业余队获胜的概率为，
专业队获胜的概率为，
所以，非平局的概率为，
平局的概率为.
的分布列为：







的数学期望为（万元）
而，所以的取值范围为：（单位：万元）.